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Sujets et corrigés des DS de mathématiques et d'informatique BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 Sébastien Godillon Table des matières Sujet du DS no 1 

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Sujets et corrigés des DS

de mathématiques et d"informatique

BCPST1A lycée Hoche 2014-2015

Sébastien Godillon

Table des matières

Sujet du DS n

o1 (mathématiques, 3h) 3

Corrigé du DS n

o15

Exercice 1 (logique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Exercice 2 (nombres réels, sommes, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Exercice 3 (nombres réels, polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Exercice 4 (nombres réels, équations, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Sujet du DS n

o2 (mathématiques, 3h) 13

Corrigé du DS n

o215 Exercice 1 (nombres complexes, équations, sommes, produits) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Exercice 2 (sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Exercice 3 (nombres complexes, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Exercice 4 (sommes, nombres complexes, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Exercice 5 (sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Sujet du DS n

o3 (mathématiques, 3h) 25

Corrigé du DS n

o327

Exercice 1 (suites, sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Exercice 2 (dénombrement, applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Exercice 3 (dénombrement, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Exercice 4 (équivalents, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Sujet du DS n

o4 (mathématiques, 3h) 35

Corrigé du DS n

o437

Exercice 1 (équations différentielles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Exercice 2 (matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Problème (dénombrement, suites, sommes, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 1 sur 109 Sébastien Godillon

Sujet du DS n

o5 (mathématiques, 3h) 47

Corrigé du DS n

o549

Exercice 1 (polynômes, nombres complexes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Exercice 2 (géométrie, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Exercice 3 (polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Exercice 4 (géométrie, matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Sujet du DS n

o6 (mathématiques, 3h) 63

Corrigé du DS n

o665

Exercice 1 (probabilités, matrices, suites, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Exercice 2 (statistiques, fonctions de deux variables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Exercice 3 (polynômes, nombres complexes, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Sujet du DS n

o7 (mathématiques, 3h) 76

Corrigé du DS n

o778

Exercice 1 (étude de fonctions, continuité, suites, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

Exercice 2 (logique, continuité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Exercice 3 (étude de fonctions, continuité, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Exercice 4 (probabilités, sommes, suites, matrices, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Sujet du DS n

o8 (mathématiques, 3h) 86

Corrigé du DS n

o888

Exercice 1 (étude de fonctions, continuité, applications, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Exercice 2 (étude de fonctions, dérivabilité, développements limités, suites, limites) . . . . . . .

92

Exercice 3 (développements limités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Sujet du DS n

o9 (mathématiques, 3h) 99

Corrigé du DS n

o9101

Problème (variables aléatoires, probabilités, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

Exercice 1 (dérivabilité, développements limités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

Exercice 2 (sous-espaces vectoriels, applications linéaires, familles de vecteurs) . . . . . . . . . .

1 07BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 2 sur 109 Sébastien Godillon

DS n o1 de mathématiques durée : 3 heures

Exercice 1

Dans un haras, un test génétique de couleur de robe (alezane, baie ou noire) est pratiqué sur les chevaux

de trait de deux races différentes : comtoise et percheronne. On considère les deux propositions suivantes :

P: "Il existe un percheron dont l"échantillon d"ADN est porteur du gène noir.» Q: "Si l"analyse est pratiquée sur un comtois, alors son échantillon d"ADN est porteur du gène alezan et du gène bai.» On noteHl"ensemble des chevaux analysés du haras;A,BetNles sous-ensembles de chevaux dont

les échantillons d"ADN sont porteurs des gènes alezan, bai et noir (respectivement); et enfinCetPles

sous-ensembles de chevaux de races comtoise et percheronne (respectivement). On pourra utiliser la lettre

hpour désigner un cheval analysé (c"est-à-dire un élément générique deH). 1.

Réécrire les prop ositionsPetQen langage mathématique à l"aide de quantificateurs et d"opérateurs

logiques. 2.

Réécrire la prop ositionQen langage mathématique à l"aide d"opérations sur des ensembles.

3. Donner, en français, la négation de Pet la négation deQ. 4. Donner, en français, la con traposéeet la récipro quede Q. 5.

P ourc hacunedes prop ositionssuiv antes,dire si elle est vraie ou fausse (les justifications ne son t

pas demandées) : (a) P ourprouv erque Pest vraie, il est suffisant de prouver que tous les échantillons d"ADN du haras sont porteurs du gène noir. (b) P ourprouv erque Pest fausse, il est nécessaire de prouver l"existence d"un percheron dont l"échantillon d"ADN n"est pas porteur du gène noir. (c) P ourprouv erque Qest fausse, il est suffisant de prouver que tous les échantillons d"ADN des comtois sont porteurs du gène noir. (d) P ourprouv erque Qest vraie, il est nécessaire de prouver que tous les échantillons d"ADN

neutres (c"est-à-dire porteurs d"aucun gène : ni alezan, ni bai, ni noir) ont été prélevés sur des

percherons.

Exercice 2

On considère la série harmonique(Hm)m>1définie pour tout nombre entierm>1par : H m= 1 +12 +13 +14 +15 ++1m1+1m =mX k=11k On propose de démontrer que la suite(Hm)m>1diverge vers+1. 1. Démon trerque la suite (Hm)m>1est strictement croissante. 2. P ourtout nom breen tierm>1, on pose l"entierNm=jln(m)ln(2) k (a)

Mo ntrerque limm!+1Nm= +1.

(b)

Mon trerque 8m>1;m2

<2Nm6met en déduire que8m>1; Hm>H2Nm. (c) Démo ntrerqu"il est suffisan tde p rouverque la suite (H2n)n>0tend vers+1pour prouver que la suite(Hm)m>1tend vers+1. 3.

P ourcette question, on fixe un nom breen tiern>0.BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 3 sur 109 Sébastien Godillon

(a)Do nnerle nom bred"élémen tsd el"ensem bleEn=fk2N= k>2n+ 1etk62n+1g. (b)

Mon trerque 8k2En;1k

>2(n+1). (c)

En déduire que :

2 n+1X k=2n+11k >12 4.

Démon trerque 8n>0; H2n>1 +n2

5.

Conclure.

Exercice 3

On considère les nombres réels=3p2 +

p5et=3p2p5(on rappelle que pour tout nombre réely, on note

3pyl"unique solution de l"équationx3=yd"inconnuex2R). On propose de simplifier l"expression

deet. 1. (a)

Calculer et3+3.

(b) Vérifier que 8(a;b)2R2;(a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3. (c) En déduire une expression simple d e(+)3en fonction deet. 2. On p oseu=+et on considère la fonction polynomialeP:x7!P(x) =x3+ 3x4. (a)

A l"aide de la question précéden te,mon trerque uest une racine deP, c"est-à-dire queP(u) = 0.

(b)

T rouverune racine éviden tede P.

(c) T rouvertrois nom bresréels a,betctels que8x2R; P(x) = (x1)(ax2+bx+c). (d)

Résoudre l"équation P(x) = 0d"inconnuex2R.

(e)

En déduire la v aleurde u.

3. On considère la fonction p olynomialeQ:x7!Q(x) = (x)(x). (a) A l"aide des questions précéden tes,dév elopperet simplifier Q(x)pour tout nombre réelx. (b) En déduire que etsont solutions de l"équationx2x1 = 0d"inconnuex2R. (c)

Déterm inerdes expressions plus simples de et.

Exercice 4

On considère l"équation (E) d"inconnuex2[0;2 ]définie par : pcos(x) +psin(x) = 1:(E)

On propose de résoudre cette équation de deux manières différentes. Les questionsA)etB)suivantes sont

donc totalement indépendantes.

A)Première méthode :

1. Vérifier que 8(a;b)2R2;(a+b)4=a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+b4. 2. Démon trerque l"équation (E) est équiv alenteà l"équation (E") suiv ante: pcos(x)sin(x)

2cos(x) + 3pcos(x)sin(x) + 2sin(x)

= 0:(E") 3.

Justifier que 8x2[0;2

];2cos(x) + 3pcos(x)sin(x) + 2sin(x)>0. 4.

En déduire les solutions de l"éq uation(E).

B)Deuxième méthode :

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