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Sujets et corrigés des DS

de mathématiques et d"informatique

BCPST1A lycée Hoche 2016-2017

Sébastien Godillon

Table des matières

Sujet du DS n

o1 (mathématiques, 3h) 3

Corrigé du DS n

o15

Exercice 1 (nombres réels, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Problème 1 (logique, ensembles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Exercice 2 (nombres réels, équations, inéquations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Problème 2 (logique, quantificateurs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Exercice 3 (étude de fonctions, ensembles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Sujet du DS n

o2 (mathématiques, 3h) 18

Corrigé du DS n

o220

Exercice 1 (équations, inéquations, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Problème 1 (produit, nombres complexes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Exercice 2 (sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Problème 2 (ensembles, logique, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Exercice 3 (applications, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Sujet du DS n

o3 (mathématiques et informatique, 4h) 35

Corrigé du DS n

o340

Problème 1 (informatique, suites, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Problème 2 (applications, ensembles, dénombrement, sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 BCPST1A lycée Hoche 2016-2017 1 sur 151 Sébastien Godillon

Sujet du DS n

o4 (mathématiques et informatique, 4h) 60

Corrigé du DS n

o463

Exercice 1 (informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Exercice 2 (matrices, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Exercice 3 (équations différentielles, primitives, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Problème (suites, sommes, logique, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Sujet du DS n

o5 (mathématiques, 3h) 78

Corrigé du DS n

o580

Exercice 1 (matrices, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Exercice 2 (géométrie, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

Exercice 3 (géométrie, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Problème (sommes, produits, suites, limites, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Sujet du DS n

o6 (mathématiques et informatique, 3h) 97

Corrigé du DS n

o6100

Exercice 1 (informatique, suites, matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

Problème 1 (probabilités, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

Exercice 2 (matrices, polynômes, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

Problème 2 (études de fonctions, limites, continuité, applications) . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

Sujet du DS n

o7 (mathématiques, 3h) 113

Corrigé du DS n

o7115

Questions de cours (variables aléatoires, lois usuelles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 15

Exercice (sous-espaces vectoriels, systèmes linéaires, matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

Problème (suites, études de fonctions, continuité, dérivabilité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

Sujet du DS n

o8 (mathématiques et informatique, 3h) 131

Corrigé du DS n

o8134

Exercice 1 (variables aléatoires, dérivées) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

Exercice 2 (développements limités, étude de fonctions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 36

Exercice 3 (intégrales, étude de fonctions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

Problème 1 (informatique, intégrales, suites, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

Problème 2 (applications linéaires, matrices, familles de vecteurs) . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 43BCPST1A lycée Hoche 2016-2017 2 sur 151 Sébastien Godillon

DS n o1 de mathématiques durée : 3 heures

Exercice 1

On considère le nombre réel suivant :

x=3q20 + 14 p2 +

3q2014p2:

1. Déterminer un couple (;)2R2tel quexvérifie une égalité du typex3=x+. 2. Mon trerqu"il existe (a;b;c)2R3tel que8X2R; X3X= (Xa)(X2+bX+c). 3.

Simplifier x.

Problème 1

Pour tout ensembleAN, on notep(A)le produit des éléments deA, ainsi :p(f2;3;7g) = 237 = 42. Et pour tout ensembleEN?, on notes(E)la somme de tous les1p(A)oùAdécrit l"ensemble des parties non vides deE, ainsi :s(f4;2g) =14 +12 +142=78
. Le but de ce problème est de calculers(J1;nK)pour tout entiern>1, où on rappelle queJ1;nKdésigne l"intervalle d"entiersf1;2;3;:::;ng. 1.

Calculer s(J1;nK)pour :

(a)n= 1; (b)n= 2; (c)n= 3. 2. P ourcette question, on fixe un en tiern>1et on suppose ques(J1;nK) =n. On pose : E

1=P(J1;nK)n f;getE2=fAJ1;n+ 1Kj(n+ 1)2Ag

où on rappelle queP(J1;nK)désigne l"ensemble des parties deJ1;nK. (a) Da nscette question, on considère le cas où n= 2. DécrireE1etE2puis reconnaîtreE1[ E2. (b) Donner la somme s1de tous les1p(A)oùAdécritE1. (c)

Mon trerque E2=ffn+ 1gg [ fB[ fn+ 1g jB2 E1g.

(d) i. Soit A=B[ fn+ 1goùB2 E1. Exprimerp(A)en fonction dep(B). ii.

Mon trerque la somme de tous les

1p(A)oùAdécritfB[ fn+ 1g jB2 E1gvauts1n+ 1.

iii. En déduire la somme s2de tous les1p(A)oùAdécritE2. (e) Prouv erque E1etE2forment une partition deP(J1;n+ 1K)n f;g. (f)

En déduire s(J1;n+ 1K).

3. Conclure. BCPST1A lycée Hoche 2016-2017 3 sur 151 Sébastien Godillon

Exercice 2

Le but de cet exercice est de résoudre l"équation suivante d"inconnuex2R: b pxc=jx2 k :(E) 1. Mon trerque si x2Rest solution de (E) alorsxest solution du système d"inéquations suivant : 8< :px < x2 + 1 x2 1P ourc haqueen tierk2J0;7K, vérifier si les réels de[k;k+ 1[sont solutions de l"équation (E).

5.

Conclure.

Problème 2

On dit qu"une fonctionf:R!Rest continuesi et seulement si pour tout réel" >0et touta2R, il existe un réel >0tel quef(x)2]f(a)";f(a)+"[pour toutx2]a;a+[, autrement ditf:R!R est continue si et seulement si l"assertion suivante est vérifiée :

8" >0;8a2R;9 >0;8x2R;jxaj< =) jf(x)f(a)j< ":(C)

1.

Prouv erque la fonction f1:x7!x+ 42est continue.

2.

On considère la fonction f2:x7!x2.

(a) Mon trerque 8(a;x)2R2;jf2(x)f2(a)j6jxaj(jxaj+ 2jaj). (b)

Prouv erque la fonction f2est continue.

On dit qu"une fonctionf:R!Rest uniformément continuesi et seulement si pour tout réel" >0, il existe un réel >0tel quef(x)2]f(a)";f(a)+"[pour touta2Ret toutx2]a;a+[, autrement ditf:R!Rest continue si et seulement si l"assertion suivante est vérifiée :

8" >0;9 >0;8a2R;8x2R;jxaj< =) jf(x)f(a)j< ":(UC)

3. Prouv erque la fonction f1:x7!x+ 42est uniformément continue. 4.

On considère la fonction f2:x7!x2.

(a) É crire(a vecdes quan tificateurs)la négation de l"assertion (UC). (b) On fixe >0pour cette question. Montrer qu"il existe un réela >0tel quejf2(a+2 )f2(a)j>1. (c) Prouv erque la fonction f2n"est pas uniformément continue.

Exercice 3

On considère l"ensemble suivant :

E=n f(x)jx20;2 o oùf:x7!xtan(x)1tan

2(x) + 1:

1.

Mon trerque f(x) =x+12

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