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Th´eor`emed'Amp`ereetapplication s
1Th´ eor`emed'Amp`ere
Equivalentduth´eor`emedeGauss pourl'´ electrostatique.Permetdecalcu lerdes champssimple mentenutilisantlasym´etriedesc ourants .Maisilfautqueled´egr´edesym´ etriesoit´ elev´e(onverradanslesap plications) .
1.1Fil infiniparcourupa runcourant,circulationduchamp magn´etique
Soitunfilin finiparc ouruparu ncourantI.
Calculduchampmagn´e tiquec r´e´eparcec ourantLech ampmagn´etiquec r´e´eparcecourantenunpointMsitu´e`aunedistance rdufilp eutsec alculerdela
fa¸consuivante. SoitPunpoint dufil(voirfigur e6.1,con sid´eronslesegment´el´ementaire dzencep oint. Figure6.1:Sch ´emaetconventionspourlecalculdu champg´e n´er´eparunfilinfini. Lech ampmagn´etique ´el´ementairecr´e´epar dzest: dB(M)= 04⇡
I dl^ PM PM 3Commecechampe storthogon al`a
dzet PMsimultan´ement,ilestdirig´eperpendiculairem entaupl ande lafigur e.Lar`egledutire- bouc honnousdonnesonsen s,comme indiqu´esurcettemˆemefigurepar. 6768Chapitre6-Th´eor`emed'Amp `ere eta pplications
Lepr oduitvectoriel
dz^PMpeuts'´ecri redanslabase(~u
r ,~u ,~u z )com me: dz^ PM= dz^( PO+OM)=dz~u
z ^(z~u z +r~u r )=dzr~u z ^r~u r o`ul'onn'a laiss´eque leprodui tvectorieldonnantunr´ esultatnon nuleto `ul'onposeOP=zetOM=r.Puisque~u
z ^r~u r =~u etPM= p z 2 +r 2 ,le champ´ el´ementairep euts'´ecrire dB(M)= 04⇡
Idzr p z 2 +r 2 3 ~u (6.1)Pourobtenir lechampmagn´etiquetot alenM,nou sdevonsint ´egrercetteexpr essionpourtousles´el´ement s
decouran tdz,ce quine semblepast rivial. Apr`esplusieursess ais,onse rendcomptequec'estbeau coupplus simpleenfaisantunch angement devariablepourint ´egrers url'angle↵: z=rtan↵)dz=r(1+tan 2 ↵)d↵=r d↵ cos 2 PM= p z 2 +r 2 r cos↵Etlorsq u'onremplacedansl'´eq.6.1,onob tie nt:
dB(M)= 0 I4⇡r
cos↵d↵~u (6.2)Enpren antcommevariablel'angle ↵,var iantde⇡/2`a⇡/2pou rzallantde1`a+1,onp eut int´egrer
lescontri butionsdetousles´el´ementsdufilinfin i,etonob tientlan ormeduchamp enM: B(M)= 0 I4⇡r
Z 2 2 cos↵d↵= 0 I4⇡r
h sin( 2 )sin( 2 i Cequi donnefinalem ent,puisquel etermeentrecrochetsest´egal `a sin( 2 )sin( 2 =1(1)=2, B(M)= 0 I2⇡r
(6.3)Circulationduchamplelongd'unec ourbefe rm´ee
Consid´eronsmaintenantunecourbefer m´ee(C)en tourantlefil(figure6.2).Laci rculationde
Bsurcecont ourfaiti ntervenirlepet itd´eplace ment´el´ementaire dl.Celui-cipeuts'´ecrire enunpoi ntMdonn´esur(C),def a¸contr` esg´en´erale: dl=dr~u r +rd✓~u +dz~u zLaci rculation´el´ementaireestalors:
B· dl= 0 I2⇡r
~u·(dr~u
r +rd✓~u +dz~u z1-T h´eo r`emed'Amp`ere69
Figure6.2:Sch´emaet conventionspourle calcul delacirculationduchampsurunecourbe ferm´eeautour d'unfil
infini.Cequid onne,puisq ueseulrestelet ermeen~u
·~u
B· dl= 0 I2⇡
d✓ Etdoncl acirculati ontotale surlecontourferm´eestdonn´ee, enint´egrantsu rl'angle✓: C= I C B· dl= I C 0 I2⇡
d✓= 0 I2⇡
I C d✓ Surlecontou rferm´ e,l'angle✓variede0`a2⇡(onfaitu ntourcomple t).Ona donc C= I C B· dl= 0 I2⇡
Z2⇡
0 d✓= 0 I2⇡
2⇡=µ
0 I Expressionremarquablecarellen ed´ependpasdelaformeducontour, dumomen tqu'ilentoure lefil. Si parcontr elecontourestcomp l`etem ent`al'ext´erie urdufil(fi gure6.3)Figure6.3:Sch´ema etconventionspourlec alculd elacirculationduchampsurunecourbefe rm´eesitu´ee `al'ex t´erieur
d'unfilinfini.70Chapitre6-Th´eor`emed'Amp `ere eta pplications
Lecal culestpresquele mˆemeque ci-dessus,except´equ el'angle ✓va,lorsd el'int´egr ation,pas serde0pour
revenir`a0enayantpass´ eparunm axim um.Laci rculations'acr italors: C= I C B· dl= 0 I2⇡
Z 0 0 d✓= 0 I2⇡
·0=0
Laci rculationestdoncnulledanscecas.
Quelquesremarquesetconclu sions:
-Lecon tour(C)estorient´e,se lonlar`egledu tire-b ouchonparrapportause nsducou rantI.Ceciinflue surlesigne del'in t´egrale.-Danslecas´e lectros tatiqu e,lacirculationduchamp´electrostatiquesuruncontourf erm´e esttoujours
nulle.-Silecon tourenlacelecouran t,c'est`adirequel ecourantItraverselasurfaceorient´ee s'appu yantsurle
contourferm´e,alors lacirculationduchampest ´egale`aC=µ 0 I. -Silecou rantnet raversepascette surface ,lacirculationduchampestnu lle.1.2G´en´e ralisation,th´eor`emed'Amp`ere
Onmontr e(maisilfautdesou tilsmath´emati quesqu ivontunpe uaudel`ade cecours)queler´ esultatpr´ec´edentseg´en´eralise`atousles courants ,passeulementceuxcirculantsurunfilr ectil igneinfini.
Pourcefair e,oncons id`ereuncontourferm ´eq uelconque(C)et unesur face(S)s' appuyantsurcecontour.A
partcettec ontrainte,(S)pe utˆetrequelc onque.Onsuppose´ egalementlapr´esencedeplusieurs circui tsfiliformes
quitrave rsentoupaslasurface(S)et quisont parcouruspar descourant s,g´en´erantdoncunchamp magn´eti que
(figure6.4).Figure6.4:Sch´ema etconventionspourlec alculd elacirculationduchampsurunecourbeferm ´eeorient´ee .Un
ensembledecircuitsfiliforme ssontp arcouruspardescourantse ttraversentounonunesurfa ces'appuyant surlecont our.Lecon tourestorient´eet donclanorm ale`alasurfaceentoutpoin testori ent´eeave clar` egledutire-bouchon .
Uncou rantquitraverset outesurfac e(S)s' appuyantsurlecontourestditenlac´eparlecon tour.2-E xemp lesetapplications71
Th´eor`emed'Amp`ere
Danslevid e,laci rculationduchampm agn´etiq uesuruncontourferm´eetorient´ eest´e gale`alasomme
alg´ebriquedescourantsenlac´esparl econtourmul tipli´eeparµ 0 laperm ´eabilit´emagn´etiqueduvide: C= I (C) B· dl=µ 0 X I enlac´e (6.4) Attention,lasommeestalg´ebriq ue,donc lesensdecirc ulationd'u ncourantinfluesurlesignedesacontri-bution.SiIsortdanslem ˆemesensq uelan ormale,sacontribut ionestpositiv e,sinonell eestn´ egative.
1.3Utilis ationduth´eor`emed'Amp`ere
Commeleth´eor` emedeG auss,celuid'Amp`eres'utilise princ ipalementlorsquel essym´etriesdu probl`eme
sontsusantes.Onveutcalcule rlech ampenunpointMdel'es pace.Ilfauttrouveruncontourf erm´e quientourecertainscourant settelquelacirculation duchampmagn´etiquesoi tsimpl e`acalcul er,c'est` adire
-surlatotal it´eouu nepartieducontour, B// dletlanor mekBkestconstant e
-ou/etsurune partieducon tour B? dldonclacir culation seranullesurcettepartiel`a.2Exe mplesetapplications
2.1Sol´ eno¨ıdeinfini
Sym´etriesdusyst`eme
Soitunsol´e no¨ıde infinid'axe(Oz)con stitu´edespiresjointives.O nconsid `ereque,bienquele filsoitenroul´e
enh´el ice,untourcorrespond`aunes pire,c equiestap proximativementvraisil'onc onsid`e redesspir esjointives
etundi am`etre defiln´egligeabledevantleray ondusol´ eno¨ı de.Lera yondusol´eno¨ı deestRetlenom bredes piresparunit´ed elongueu rseranot´en.On cherc helechamp
enunpoi ntMquelconquedel'espace.Onseplac e´evi demmentdansunsyst`emedec oordonn´ eescyl indriques.
Sym´etriesdescourants:
-planconten antunespire.C'estunplan desym´et rie.Lechampestdoncpe rpendiculaire`ac eplan.V rai quelquesoitlapositiondec eplansurl 'axe(Oz). -planconten antl'axe(Oz).C'es tunpland'anti-sym ´etri edescourant s.Ilcontientdonclechamp.Ceciest vraiquelq uesoitl'orientationduplan. Leve cteurchampmagn´etiquees tdoncselonladi rection~u z .Et sanorme estind ´ependantede lacoordonn´ eez.Ene↵et,quelqu esoitlapositionzdupoint M,ce lui-civoitunsol´en¨ıdeinfi ni(invarian cepartr anslationle
longde(Oz)).Enconcl usion,kB(M)kned´ep endquedelacordonn´eer:
B= B(r).Choixducontour
Onchois itdonccommecontourunr ectangle(ABCD)don tlalongueu rAB=L,dan sunpland'an ti-sym´etrie(plancontenantl'axe(Oz)).Cerec tangleaur adeuxcot´esparall`eles` a(Oz),res pectivement(AB)et
(DC),auxr ayonsr 1 etr 2 etdeux cot´esperpen diculaires,(BC)et(DA).72Chapitre6-Th´eor`emed'Amp `ere eta pplications
Figure6.5:Choixde scontourspourl'a pplicati onduth´eor`emed'Amp` eredanslecasd 'unsol´eno¨ıdeinfini.
Calculdelacircu lation
Laci rculationduchampsed´ecomposeenq uatrepar ties,correspon dant`a chaquecot´edurectangle: C= Z cot´e(AB)r=r2 B(r 2 )·~u z·(dz)~u
z Z cot´e(BC)B(r)·~u
z·(dr)~u
r Z cot´e(CD)r=r1 B(r 1 )·~u z·(dz)~u
z Z cot´e(DA)B(r)·~u
z·(dr)~u
rCertainesdecesint´egralesson tnull es,celles surlescot´esperpendiculaires `a(Oz)(on voitdans cesint´egr ales
destermes~u z·~u
r quisontnu ls).Ilres te,enutilisant~u z·~u
z =1: C= I (C) B· dl= Z cot´e(AB)r=r2 B(r 2 )·(dz)+ Z cot´e(CD)r=r1 B(r 1 )·dz=B(r 1 )LB(r 2 )L=L[B(r 1 )B(r 2Utilisationduth´eor`emed'Amp `ere
Leth `eor`emed'Amp`eres'´ecritdans cecas:
C= I (C) B· dl=L[B(r 1 )B(r 2 0 X I enlac´e (6.5) Donctoutd´e penddelap ositionducontouretdufaitq u'ily aitounond escourantsenlac´es. -Silecon tourset rouvecompl`eteme nt`al' int´erieurdusol ´eno¨ıde,c'est`adirer 22-E xemp lesetapplications73
-Silec ontourse trouve`achevalsur quelq uesspiresdusol´e no¨ıd e,nou spouvonsd´e terminerle
nombredecourantsen lac´es .Chaquespireconduitu ncourantIetily anspiresparunit´edelon gueur. Doncpourunc ontour-rect anglede longueurL,le nombred ecourantsenlac´es estnL.De plus,l echamp enr 1 ,qu iest`al'i nt´erieur dusol´ eno¨ıde,estconstantet´egal`aB 0 .Lec hamp enr 2 ,quiest`al'ext´erieur, estnul.On a,enutilisant l'´equ ation 6.5 L[B 00]=µ
0 (nL)I(6.7) etdonc B 0 0 nI(6.8) Conclusion:lechamp`al'int´ eri eurdus ol´eno¨ıdein finiest constantet´egal`aB 0 0 nIo`unestladensit ´elin´eiquedespiresetIlecour antlestraversant. Cechampes tdirig´eselonl'axedusol´eno¨ıde. Lechampe stnul
`al'ext ´erieur.