Méthode de Gauss Cet algorithme permet ainsi de calculer, rapi- dement, le http:// www math-info univ-paris5 fr/~pastre/meth-num/gauss0 21 Gauss 2
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UniversiteReneDescartes
UFRdemathematiquesetinformatique
chapitre1Resolutiondessystemeslineaires
MethodedeGauss
Methodesnumeriques2003/2004-D.Pastre
licencedemathematiquesetlicenceMASS 1Resolutiondessystemeslineaires
Notations
a11x1+a12x2+:::+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+:::+a2nxn=b2 an1x1+an2x2+:::+annxn=bnnequations ninconnues A=2 6 6 6 4a11a12:::a1na21a22:::a2n:::
a n1an2:::ann3 7 7 7 5B=2 6 6 6 4b1b2:::
b n3 7 7 7 5AX=BEtudedessolutions:
Sidet(A)6=0(Areguliere)solutionunique
Exemple:
x+y=3 x+2y=5Sidet(A)=0(Asinguliere)systemedegenere
(impossibleouindetermine)Exemples:
2x+3y=4
4x+6y=5
2x+3y=4
4x+6y=8
2Theorie
Expressiondessolutionsparlareglede
Cramer:
x k=detk(A) det(A)avec detk(A)= a11:::a1;k1b1a1;k+1:::a1n
a21:::a2;k1b2a2;k+1:::a2n
a n1:::an;k1bnan;k+1:::annCalcultheoriqued'undeterminant
det(A)=nX i=1(1)i+jaijmij oumijestledeterminantdelasous-matrice obtenueensupprimantdeAlaiemeligneetla j emecolonneExercice:evaluerlenombreNnd'operations
necessairespourcalculerundeterminanten utilisantcetteformule.Aide:onchercherad'abordunerelationde
recurrenceentreNnetNn1. 3MethodedeGauss
superieureExemple:
2x+y4z=8
3x+3y5z=14
4x+5y2z=16A=2
6 4214335
4523
7 5B=2 6 48
14 163
7 5
Notation:A=
2148335
14 452
16
1erpivot:2
2emeligne-1ereligne3/2
3 emeligne-1ereligne2 214803=21 2 036
0
2emepivot:3/2
3emeligne-2emeligne2
214803=21 2 004 4 4
3emepivot:4
D'ou: 4z=432y1=22x+2+4=8
z=1 y=2 x=1Remarque:Touteslesmatricesintermediaires
ontlem^emedeterminantquiestdoncegala 2324=12
5
Autrefacondeconduirelescalculs
(ligne1)/pivot2 (ligne2)-(nouvelleligne1)3 (ligne3)-(nouvelleligne1)411=224
03=21 2 0360 (ligne2)/pivot3/2 (ligne3)-(nouvelleligne2)3 11224
012
3430044
(ligne3)/pivot411=224
012=3 4=3 001 1 D'ou: z=1 y=4=32=3z x=41=2y(2)z z=1 y=2 x=1Remarque:LedeterminantdeAestegalau
produitdespivots,soit23 24=126
2emeexemple
A=2 6 4214427
2113
7 5 la1ereetapedonne:2 6
411=22
001 00337 5
Lesystemeestimpossibleouindetermine
exemples B=2 6 4815 93
7 5!2 6 44
1 13 7 5 B=2 6 48
15 53
7 5!2 6 44
1 33
7 5 z=13=1 8 :z=1 yquelconque x=2y=2 7
3emeexemple
A=2 6 4214427
2213
7 5 la1ereetapedonne:2 6
411=22
001 01337 5 8
Resolution
2phases:
-substitutions!resolutionOnsupposequeAestderangn
1Onsupposea11nonnul(sinononfaitun
echangedelignes).Onresoutlapremiereequationparrapporta
x1etonremplacedanslesautresequations.
Onobtientlesystemeequivalent
a11x1+a12x2+:::+a1nxn=b1 a(2)22x2+:::+a(2)
2nxn=b(2)
2 a(2) n1x1+a(2) n2x2+:::+a(2) nnxn=b(2) n avec a(2) ij=aijai1a1j=a11 b(2) i=biai1b1=a11pour2i;jn et a(2) i1=0pouri2 9Iterations
Onrecommenceaveclepivota(2)
22supposenon
nulsinononfaitunechangedelignes,etc...EnposantA:;n+1=BetA(1)=A,al'etape
k,aveclepivota(k) k;k6=0,onaA(k+1)=2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4a (1)11a(1)
12:::a(1)
1k a(1) 1;n+1 0a(2)22:::a(2)
2k a(2) 2;n+1 0a(k) k;k a(k) k;n+100a(k+1)
k+1;k+1::: a(k+1) k+1;n+100a(k+1)
n;k+1::: a(k+1) n;n+13 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 a (k+1) ij=a(k) ija(k) ika(k) kj=a(k) kkpourk+1inetk+1jn+1 a(k+1) ij=0pourk+1inetj=k a (k+1) ij=a(k) ijsinonRemarque:det(A)=leproduitdespivots.
10Findelaresolution
2Ala(n1)emeetape,onaunematrice
triangulairesuperieure 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4a (1)11a(1)
12:::a(1)
1k:::a(1)
1;n 0a(2)22:::a(2)
2k:::a(2)
2;n00:::a(k)
k;k:::a(k) k;n00:::00a(n)n;n3
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 526 6 6 6 6 6 6 6 4x 1x2 x k::: x n3 7 7 7 7 7 7 7 7 5=2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4a (1) 1;n+1 a(2) 2;n+1 a (k) k;n+1 a (n) n;n+13 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 A (n)XB(n)