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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Cours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss Clément Rau

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Introduction

Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesCours 1: Autour des systèmes linéaires,

Algorithme du pivot de Gauss

Clément Rau

Laboratoire de Mathématiques de Toulouse

Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan

Module complémentaire de maths, année 2012

Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

Introduction

Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

But1Introduction

Définition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situationsBut

2Cas des systèmes 22.Méthode graphique

Méthode par substitution

Méthode par addition

3Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les

sytémes linéairesBut de l"algorithme

Opérations autorisées

Un exemple avant la "théorie"

Mécanismes du Pivot

Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

Introduction

Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

But1Introduction

Définition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situationsBut

2Cas des systèmes 22.Méthode graphique

Méthode par substitution

Méthode par addition

3Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les

sytémes linéairesBut de l"algorithme

Opérations autorisées

Un exemple avant la "théorie"

Mécanismes du Pivot

Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

Introduction

Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

ButDéfinition d"un système linéaire

On veut résoudre le système suivant :

8>>< >:a

1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxn=y1

a

2;1x1+a2;2x2+:::+a2;nxn=y2

a n;1x1+an;2x2+:::+an;nxn=yn

Lesyiet lesai;jsont donnés, on cherche lesxi.Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

Introduction

Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

ButDéfinition d"un système linéaire

On veut résoudre le système suivant :

8>>< >:a

1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxn=y1

a

2;1x1+a2;2x2+:::+a2;nxn=y2

a

n;1x1+an;2x2+:::+an;nxn=ynLesyiet lesai;jsont donnés, on cherche lesxi.Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

Introduction

Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

ButCas particulier

Ex : Système 33

8< :a

1x+b1y+c1z=d1

a

2x+b2y+c2z=d2

a

3x+b3y+c3z=d3Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

Introduction

Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

ButCas particulier

Ex : Système 338

:a

1x+b1y+c1z=d1

a

2x+b2y+c2z=d2

a

3x+b3y+c3z=d3Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

ButVariante

On veut résoudre le système suivant :

8>>< >:a

1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxny1

a

2;1x1+a2;2x2+:::+a2;nxny2

a n;1x1+an;2x2+:::+an;nxnyn Lesyietai;jsont données, on cherche les régions où se situent lesxi.Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

ButVariante

On veut résoudre le système suivant :

8>>< >:a

1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxny1

a

2;1x1+a2;2x2+:::+a2;nxny2

a n;1x1+an;2x2+:::+an;nxnynLesyietai;jsont données, on cherche les régions où se situent lesxi.Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

ButExemple 1

Une usine fabrique trois produits P1, P2 et P3. Ces produits passent dans trois ateliers différents A,B et C, avec les temps de passages suivants :P1 passe 2h dans l"atelier A, 1h dans l"atelier B et 1h dans latelier CP2 passe 5h dans l"atelier A, 3h dans l"atelier B et 2h dans l"atelier CP3 passe 3h dans l"atelier A, 2h dans l"atelier B et 2h dans l"atelier C

Question :

Lors dun prog rammede f abrication,la charge

horaire des différents ateliers a été de 104h pour A, 64h pour B et 55h pour C. Quelles sont les quantités de P1, P2 et P3 fabriquées? Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

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Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

ButExemple 1

Une usine fabrique trois produits P1, P2 et P3. Ces produits passent dans trois ateliers différents A,B et C, avec les temps de passages suivants :P1 passe 2h dans l"atelier A, 1h dans l"atelier B et 1h dans latelier CP2 passe 5h dans l"atelier A, 3h dans l"atelier B et 2h dans l"atelier CP3 passe 3h dans l"atelier A, 2h dans l"atelier B et 2h dans l"atelier CQuestion :Lors dun prog rammede f abrication,la charge horaire des différents ateliers a été de 104h pour A, 64h pour B et 55h pour C. Quelles sont les quantités de P1, P2 et P3 fabriquées? Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

Introduction

Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

ButExemple 1

Pouri=1::3, soitnila quantité de produitsPifabriqués.

L"énoncé se traduit par le système :

8< :2n1+5n2+3n3=104 n

1+3n2+2n3=64

n

1+2n2+2n3=55Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

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Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

ButExemple 1

Pouri=1::3, soitnila quantité de produitsPifabriqués.L"énoncé se traduit par le système :

8< :2n1+5n2+3n3=104 n

1+3n2+2n3=64

n

1+2n2+2n3=55Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

Introduction

Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

ButExemple 2

La fabrication d"un produit artistique P exige l"assemblage de pièces de type 1 et de type 2. Une pièce de type 1 coûte 6 euros et necessite 3h de travail alors qu"une pièce de type B coûte 3 euros et nécessite 4h de travail.

Contraintes économiques

: on souhaite que le pr ixdu produit P ne dépasse pas 180 euros. Par ailleurs, le temps de fabrication de P ne doit pas excéder 160h.

Question :

Quels sont les valeurs possibles pour le nombre de pièces de type 1 et 2 pour la fabrication de P Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

Introduction

Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

ButExemple 2

La fabrication d"un produit artistique P exige l"assemblage de pièces de type 1 et de type 2. Une pièce de type 1 coûte 6 euros et necessite 3h de travail alors qu"une pièce de type B coûte 3 euros et nécessite 4h de travail.

Contraintes économiques

: on souhaite que le pr ixdu produit P ne dépasse pas 180 euros. Par ailleurs, le temps de fabrication de P ne doit pas excéder 160h.Question : Quels sont les valeurs possibles pour le nombre de pièces de type 1 et 2 pour la fabrication de P Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations ButSoitx1etx2le nombre respectifs de pièces de type 1 et 2 pour fabriquer un produit P.

On doit a voir:

8 >:x 10 x 20

6x1+3x2180

3x1+4x2160Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

Introduction

Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations ButSoitx1etx2le nombre respectifs de pièces de type 1 et 2 pour fabriquer un produit P.On doit avoir : 8 >:x 10 x 20

6x1+3x2180

3x1+4x2160Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations ButSoitx1etx2le nombre respectifs de pièces de type 1 et 2 pour fabriquer un produit P.On doit avoir : 8 >:x 10 x 20

6x1+3x2180

3x1+4x2160Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesDéfinition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

ButBut

Trouver une méthode "automatique" pour résoudre les systèmes linéaires -> Fabriquer un algorithme Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

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Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situations

ButBut

Trouver une méthode "automatique" pour résoudre les systèmes linéaires-> Fabriquer un algorithme Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

Introduction

Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesMéthode graphique

Méthode par substitution

Méthode par addition1Introduction

Définition d"un système linéaire

Exemples concrets de votre filière d"où peuvent provenir ces situationsBut

2Cas des systèmes 22.Méthode graphique

Méthode par substitution

Méthode par addition

3Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les

sytémes linéairesBut de l"algorithme

Opérations autorisées

Un exemple avant la "théorie"

Mécanismes du Pivot

Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

Introduction

Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesMéthode graphique

Méthode par substitution

Méthode par additionPartons des 3 exemples suivants : (S1)3x12x2=9

2x1+x2=13(S2)x1+3x2=5

2x16x2=10

(S3)x1+3x2=5

2x16x2=8Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

Introduction

Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesMéthode graphique

Méthode par substitution

Méthode par additionMéthode graphique

Géométriquement, on peut obtenir la "forme" des solutions.On retrouvera ces résultats à l"aide de la structure du noyau d"une application linéaire (cours à venir).Tracer les droites correspondantes au système

Point(s) d"intersection éventuel(s)

Les 2 droites sont sécantes en un point,

il y a un unique couple solution.Les 2 droites sont paralléles (et disjointes),pas de solutions au système.Les 2 droites sont confondues,infinité de solutions, tout point de "la" droite est solution.

Inconvénients de cette méthode :

précision des résultats ... Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss

Introduction

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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesMéthode graphique

Méthode par substitution

Méthode par additionMéthode graphique

Géométriquement, on peut obtenir la "forme" des solutions.On retrouvera ces résultats à l"aide de la structure du noyau d"une application linéaire (cours à venir).Tracer les droites correspondantes au système

Point(s) d"intersection éventuel(s)

Les 2 droites sont sécantes en un point,

il y a un unique couple solution.Les 2 droites sont paralléles (et disjointes),pas de solutions au système.Les 2 droites sont confondues,infinité de solutions, tout

point de "la" droite est solution.Inconvénients de cette méthode :précision des résultats ...

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Méthode par substitution

Méthode par additionMéthode graphique

Géométriquement, on peut obtenir la "forme" des solutions.On retrouvera ces résultats à l"aide de la structure du noyau d"une application linéaire (cours à venir).Tracer les droites correspondantes au système

Point(s) d"intersection éventuel(s)

Les 2 droites sont sécantes en un point,

il y a un unique couple solution.Les 2 droites sont paralléles (et disjointes),pas de solutions au système.Les 2 droites sont confondues,infinité de solutions, tout

point de "la" droite est solution.Inconvénients de cette méthode :précision des résultats ...

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Méthode par substitution

Méthode par additionMéthode graphique

Géométriquement, on peut obtenir la "forme" des solutions.On retrouvera ces résultats à l"aide de la structure du noyau d"une application linéaire (cours à venir).Tracer les droites correspondantes au système

Point(s) d"intersection éventuel(s)

Les 2 droites sont sécantes en un point,il y a un unique couple solution.Les 2 droites sont paralléles (et disjointes),pas de solutions au système.Les 2 droites sont confondues,infinité de solutions, tout

point de "la" droite est solution.Inconvénients de cette méthode :précision des résultats ...

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Point(s) d"intersection éventuel(s)

Les 2 droites sont sécantes en un point,il y a un unique couple solution.Les 2 droites sont paralléles (et disjointes),pas de solutions au système.Les 2 droites sont confondues,infinité de solutions, tout

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Méthode par substitution

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Point(s) d"intersection éventuel(s)

Les 2 droites sont sécantes en un point,il y a un unique couple solution.Les 2 droites sont paralléles (et disjointes),pas de solutions au système.Les 2 droites sont confondues,infinité de solutions, tout

point de "la" droite est solution.Inconvénients de cette méthode :précision des résultats ...

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Méthode par substitution

Méthode par additionMéthode graphique

Géométriquement, on peut obtenir la "forme" des solutions.On retrouvera ces résultats à l"aide de la structure du noyau d"une application linéaire (cours à venir).Tracer les droites correspondantes au système

Point(s) d"intersection éventuel(s)

Les 2 droites sont sécantes en un point,il y a un unique couple solution.Les 2 droites sont paralléles (et disjointes),pas de solutions au système.Les 2 droites sont confondues,infinité de solutions, tout

point de "la" droite est solution.Inconvénients de cette méthode :précision des résultats ...

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Cas des systèmes22.

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Méthode par substitution

Méthode par additionMéthode graphique

Géométriquement, on peut obtenir la "forme" des solutions.On retrouvera ces résultats à l"aide de la structure du noyau d"une application linéaire (cours à venir).Tracer les droites correspondantes au système

Point(s) d"intersection éventuel(s)

Les 2 droites sont sécantes en un point,il y a un unique couple solution.Les 2 droites sont paralléles (et disjointes),pas de solutions au système.Les 2 droites sont confondues,infinité de solutions, tout

point de "la" droite est solution.Inconvénients de cette méthode :précision des résultats ...

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Cas des systèmes22.

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesMéthode graphique

Méthode par substitution

Méthode par additionMéthode graphique

Géométriquement, on peut obtenir la "forme" des solutions.On retrouvera ces résultats à l"aide de la structure du noyau d"une application linéaire (cours à venir).Tracer les droites correspondantes au système

Point(s) d"intersection éventuel(s)

Les 2 droites sont sécantes en un point,il y a un uniquequotesdbs_dbs16.pdfusesText_22