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Analyse de Fourier

Sylvie Benzoni

1 1 erjuillet 2011 1 Universit´e de Lyon / Lyon 1 / ICJ, benzoni@math.univ-lyon1.fr 2

Table des mati

`eres I S

´eries de Fourier 5

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 2 Th ´eorie hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

II Transformation de Fourier 19

1 Transformation de Fourier des fonctions int

´egrables . . . . . . . . . . . . . . .19

2 Transformation de Fourier surL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3 Transformation de Fourier surS0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

4 Transform

´ees de Fourier classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

5 Applications de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

5.1 Espaces de Sobolev fractionnaires construits surL2. . . . . . . . . . .31

5.2 R ´esolution d"E.D.P. lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

6 Compl

´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

6.1 Noyau de Green des ondes en dimension 3s . . . . . . . . . . . . . . .

34

6.2 Principe de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

6.3 Th

´eorie de Paley-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

III Transformation de Fourier discr

`ete 39

1 Cas d"un r

´eseau infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

2 Cas d"un r

´eseau fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

3 Transformation de Fourier rapide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Bibliographie 43

Index45

3

4TABLE DES MATI`ERES

Chapitre I

S

´eries de Fourier

1 Introduction

Pourp2N, on noteLp(T)l"espace des (classes de) fonctions mesurables surR, 1- p ´eriodiques (au sens o`uf(x+ 1) =f(x)pour presque toutx2R) et de puissancep-i`eme int ´egrable sur[0;1], que l"on munit de la norme naturelle kfkLp(T)=Z1 0 jf(x)jpdx 1=p: (ParTon d´esigne le"tore»R=Z.) L"espaceL1(T)est celui des (classes de) fonctions essen- tiellement born

´ees, muni de la norme

kfkL1(T)=sup essx2[0;1]jf(x)j: On remarque en particulier l"inclusionLp(T)L1(T)pour toutp1(cons´equence de l"in ´egalit´e de H¨older, sur l"intervalleborn´e[0;1]). Sif2L1(T), on d´efinit sescoefficients de Fourierpar (I.1)cn(f) =Z 1 0 f(x)e2i nxdx; n2Z: La"suite»(index´ee parZ) des coefficients de Fourier(cn(f))n2Zest born´ee : jcn(f)j kfkL1(T);pour toutn2Z:

Autrement dit, les coefficients de Fourier d

´efinissent une application lin´eaire continue : L

1(T)!`1(Z)

f7!(cn(f))n2Z

de norme au plus1, et en fait´egale`a1(atteinte pour la fonction constante´egale`a1). On montre

m

ˆeme plus pr´ecis´ement que cette application est`a valeurs dans le sous-espace des suites tendant

vers z ´ero, ce qui est l"objet du lemme de base suivant. 5

6CHAPITRE I. S´ERIES DE FOURIER

Lemme I.1 (Riemann-Lebesgue)Pour toutf2L1(T), on a limjnj!1cn(f) = 0:D

´emonstration:On observe que pour toutn2Z,

c n(f) =Z 1 0 f(x+12n)e2i nxdx: Ceci vient du changement de variablesx7!x+ 1=(2n)et du fait que la fonctionx7! f(x)e2i nxest1-p´eriodique. On peut donc aussi´ecrire c n(f) =12 Z 1 0 (f(x)f(x+12n))e2i nxdx; d"o `u la majoration jcn(f)j 12 kfT1=(2n)fkL1(T); o

`uT1=(2n)d´esigne l"op´erateur de translation par1=(2n)enx. Si l"on note plus g´en´eralement

T af:x7!f(x+a), on montre que lim a!0kfTafkL1(T)= 0; quel que soitf2L1(T). Ceci est imm´ediat pour une fonctionfcontinue, par passage`a la limite dans l"int

´egrale sur le compact[0;1]. Dans le cas g´en´eralf2L1(T), cela r´esulte de la densit´e

des fonctions continues dansL1(T)(cons´equence du th´eor`eme de Lusin, voir par exemple Rudin

[4, p. 66]) et de l"invariance de la normeL1(T)parTa, quel que soita2R.Ainsi, en notantC0l"espace des suites index´ees parZtendant vers z´ero`a l"infini, muni de

la norme du sup, l"application f:L1(T)!C0 f7!(cn(f))n2Z est lin ´eaire continue de norme1(encore atteinte pourf1). Elle est de plus injective, c"est-`a- dire que sif2L1(T)est telle quecn(f) = 0pour toutn2Z, alorsf= 0presque partout. Pour le d ´emontrer, c"est`a nouveau plus facile (bien qu"un peu technique) dans le cas d"une fonction fcontinue (voir par exemple [2, pp. 40-41]). Le casf2L2(T)se d´eduira de l"identit´e de

Parseval (th

´eor`eme I.3 ci-apr`es). Le cas g´en´eralf2L1(T)se ram`ene au cas d"une fonction continue en faisant appel `a des propri´et´es assez fines de l"int´egrale de Lebesgue. L"id´ee, pour une fonctionf2L1(T)dont tous les coefficients de Fourier sont nuls, est de consid´erer une "primitive»bien choisie, et plus pr´ecis´ement :

F(x) =Z

x 0 f(t)dt+c; la constantec´etant choisie pour queR1

0F(x)dx= 0(ce qui donnec=Rx

0(t1)f(t)dt).

Puisquec0(f) =R1

0f(x)dx= 0, la fonctionFest1-p´eriodique, donc elle appartient bien`a

L

1(T). Elle est de plus continue, et mˆeme d´erivable presque partout [4, p. 158] et

F

0(x) =f(x);pour presque toutx2[0;1]:

2. TH

´EORIE HILBERTIENNE7

Par suite, on peut int

´egrer par parties dans la d´efinition decn(f)et l"on trouve que pourn2Z, c n(F) =cn(f)=(2in) = 0. Comme de plusc0(F) =R1

0F(x)dx= 0, on en d´eduit queFest

identiquement nulle, et donc quefest nulle presque partout. On appelles´erie de Fourierd"une fonctionf2L1(T)la s´erie formelle X nc ne2i nx; sans pr

´esager de sa convergence. On notera

S

N(f) :x7!NX

n=Nc ne2i nx les sommes partielles de cette s ´erie pour toutN2N: ce sont des fonctions bien d´efinies R!C, appartenant`aLp(T)quel que soitp2N, faisant partie de ce que l"on appelle les polyn

ˆomes trigonom´etriques.

2 Th

´eorie hilbertienne

On observe queL2(T)est unespace de Hilbertpour le produit hermitien hf ; gi=Z 1 0 f(x)g(x) dx naturellement associ

´e`a la normek kL2(T):

kfkL2(T)=hf ; fi1=2: D"autre part, sif2L2(T), alors n´ecessairementf2L1(T)et kfkL1(T) kfkL2(T):

Comme on l"a d

´ej`a fait remarquer, c"est une cons´equence de l"in´egalit´e de H¨older, et plus pr ´ecis´ement ici de l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz : kfkL1(T)=Z 1 0 jf(x)jdxZ1 0 jf(x)j2dx 1=2Z1 0 1 dx

1=2=kfkL2(T):

Par cons

´equent la formule (I.1) permet de d´efinir les coefficients de Fourier de toute fonction f2L2(T). Une observation cruciale pour la suite est que la famille(fn:x7!e2i nx)n2Zest ortho- normale dansL2(T). On v´erifie en effet par le calcul que kfnkL2(T)= 1ethfn; fki= 0quels que soientnetkavecn6=k: Gr ˆace`a cette propri´et´e on a le r´esultat suivant.

8CHAPITRE I. S´ERIES DE FOURIER

Th ´eor`eme I.1 (In´egalit´e de Bessel)Pour toutf2L2(T)et pour toutN2N, (I.2)kSN(f)kL2(T) kfkL2(T):D

´emonstration:Par d´efinition, on a

S

N(f) =X

jnjNhf;fnifn; d"o `u hSN(f);fSN(f)i= 0 et par suite kfk2L2(T)=kSN(f)k2L2(T)+kfSN(f)k2L2(T):Remarque I.1 il existeN0tel que pour toutNN0,SN(g) =g.Th

´eor`eme I.2Pour toutf2L2(T),

limN!+1kSN(f)fkL2(T)= 0:D ´emonstration:Soientf2L2(T)et" >0. Par densit´e des fonctions continues dansL2(T) (cons ´equence du th´eor`eme de Lusin, voir par exemple`a nouveau Rudin [4, p. 66]), il existef0 continue et1-p´eriodique telle que kff0kL2(T)"=4: Cette application continue1-p´eriodiquef0induit une application continueF0sur le cercle unit

´eCtelle que

f

0(x) =F0(e2i x):

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