Œuvres générales sur l'analyse complexe et les séries de Fourier Il y a un grand assortiment de livres qui introduisent le sujet d'analyse complexe (voir le rayon
que les séries de Fourier sont aux fonctions périodiques, ces deux approches ayant C'est la partie réciproque qui nécessite vraiment de l'analyse complexe
Quelques applications aux séries et aux intégrales de Fourier sont enfin exposées L'étudiant est réputé être familier avec les méthodes de l'analyse (≪ les ϵ
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Analysecomplexe
CoursdeL3,ENSL yon,autom ne2014
Jean-ClaudeSikorav
versionÞnale
1Pr "eliminaires:notations,point`alÕinÞni,fonctions "e l"ementaires....................1
1.1Lesde uxpoint sdevuesurC
1.2Notati ons
1.3Poin t`alÕinÞni,sph `erede Riemann
1.5Fonct ionsrationnelles
1.6Fonct ionsalg"ebriques,foncti onspuissances.................................................3
1.7Expon entielle
1.8Logarith me
1.9Fonct ions"el"ementaires.....................................................................4
2Fon ctionsholomorphesdÕunevar iablecomplexe......................................5
2.1Fonct ionsC-d"erivables,fonctionsholomorphes
2.2Exem plesdefonctionsholomorphes........................................................6
2.3Exem plesdefonctionsnonholomorphes ...................................................7
3For muleetrepr"esentat ionint" egralesdeCauchy.......................................8
3.1Int" egraledÕunefonctionlelongdÕu nchemin,dÕunlac et
3.2Int" egralesurleborddÕundomainecom pact..............................................10
3.3Formu leint"egraledeCauchy .............................................................11
3.4Repr "esentationint"egraledeCauchy.......................................................14
3.5Analyt icit"edesfonctionsholomorphes
3.6R"ec iproquedelarepr"esentationdeCauchy ...............................................16
3.7Caract "erisationdesfonctionsholomorphesparlaformul edeCauchy (th"eor`emedeMorera)17
4Z" eros,principedumaxim um,th"eor`emedeLiouville................................18
4.1Z"er osdesfonctionsholom orphes,degr "eenunpoint
4.2Prolon gementanalytique.................................................................19
4.3Prin cipedumaximum....................................................................20
4.4Th"e or`emedeLiouville
5D" eriv"ees,int"egrales,suitesdefonct ionsholomorphes...............................22
5.1Repr "esentationint"egraledesd"eriv"eesetholomorph iedÕuneint"egrale`aparam`et re
5.2Esti m"eedeCauchysurlesd"eriv "ees.......................................................23
5.3Suit esdefonctionsholomorph es
5.4S"er ies,produits..........................................................................24
5.5Famil lessommables,sommationparp aquets..............................................26
5.6Quel quesexemplesclassiques.............................................................27
6S" eriesdeLaurent,singular it"esi sol"ees.................................................30
6.1S"er iesdeLaurent
6.2Singu larit"esisol"ees.......................................................................31
i
6.3Singu larit"eslevables
6.5Fonct ionsm"eromorphes..................................................................33
6.6Fonct ionsm"eromorphessurunouv ertdeC
6.7Lafonc tion Gamma......................................................................34
6.8Singu larit"esessentielles...................................................................36
7For muledesr"esidus.....................................................................37
7.1R"es iduenunpoint
7.2Formu ledesr"esidus
7.3Prin cipedelÕargument...................................................................38
8Pr opri"et"eslocalesdesfonctionsholomorphe s........................................40
8.1Ouve rturedÕunefonctionholomorphe
8.2Th"e or`emedÕinversionlocale
8.3Repr "esentationconforme.................................................................41
8.4Forme normalelocale dÕunefonctionholom orphe
8.5Th"e or`emedesfonctionsimplicites........................................................42
9In dice,cycles,formuledeC auchyg"en"erale...........................................44
9.1Homotopi edelacets
9.2Indi cedÕunlacetparrapport` aunpoint
9.4Indi ceduborddÕundomainep arrapport `aunpoint......................................47
9.5Formu lesdeCauchyetdesr"esi dusg"e n"erales
10R" egionssimplementconne xes........................................................49
10.1R"egi onssimplementconnex esethomologiquementtriviales
10.2Lemm edeSchwarz......................................................................50
10.3Automor phismesdudisqueoududemi-plan
10.4Th"e or`emederepr"esentationconforme deRiem ann.......................................51
11M" etriquehyperbolique................................................................53
11.1Lemme deSchwarz-Pic k
11.2M"et riqueetdistancehyperboliques ur
11.3Courb uredÕunem"etriqueconf orme......................................................55
ii
Analysecomplexe11
1Pr "eliminaires:notations,point`alÕinÞni,foncti ons" el"ementaires
1.1Les deuxpoints devuesurC
Lecor psCdesnombres complexespeutsevoir dedeuxfaüconsdi⌦"erentes,alg"ebro-analytique oug" eom"etrique: ¥ExtensionducorpsRparajout dÕuneracinecar r"eede1;c orps alg"ebriqueme ntclos,muni dÕunenormeleren dantcomplet. ¥Planvector ieleuclidienorient"emuni dÕunebase(1,i).Oni dentiÞ ealorslenombrecomplexe z=x+iyaveclepoint(x,y).Unevar iantede cetteinterpr"etati onestde voirtoutnombrecomp lexe nonnulc ommeunesi militudevect orielledi rectedÕunplanvectorieleuclidien :lamultiplication pariestlequart detourau tourdelÕorigin edansle senstrigonom "etrique,la propri" et"ei 2 =1 exprimelefaitquedeuxqu artsde toursdonnen tundemi-t our.Eng"en"e ral,lenombrecompl exe a+ib=re i estlasimi litude derapportretdÕangl e.
1.2Notation s
Siz 0 ⌦Cetr⌦]0,+#[,onnote (z 0 ,r)le disque ouvert(z 0 ,r)={z⌦C:|zz 0 |
0}ledemi-plansup"erieur,app el"eaussidemi-plandePoincar"e (ouparfoi sdeLoba tchevski). SiI,Jsontdesint ervallesde R,onn oteI+iJlerec tangle{x+iy:x⌦I,y⌦J}.En particu lier, R+iIestuneband ehorizontale ,I+iR,un ebandevert icale. Unouv ertdeCnonvide etconnexepararc ssera appel"euner"egion. 1.3Point `alÕinÞni,s ph`ere deRiemann
Ilests ouventcommo dedÕajouter`aCunpoint`alÕinÞn inot"e#.LÕe nsembleC%{#}estappel"e sph`eredeRiemann.Nou slenote ronsC. *Remarque.Dupoin tdevuedelag" eom"etr iealg"ebr ique,i lestnot "eP 1 (C)et appel"e droiteprojective complexe*. StructuredÕespacetopologique.Ond"eÞ nitunetopologiesurCendisan tqueUestouverts i ¥U&Cestunouver tdeC
Propri"et"es(exercice)
1)CÕest bienunetopolo gie.
2)Onal es"equival ences suivan tes:
¥pourunesuite denombresc omplexes:lim
n⌦# z n =#(lim n⌦# 1 z n =0. ¥pourunefoncti ond"eÞnie auvoisinagedez
0 ⌦C:lim z⌦z0 f(z)=#(lim z⌦z0 1 f(z) =0. ¥pourunefoncti ond"eÞnie pour|z|>r:lim
z⌦# f(z)=w 0 ⌦C(lim z⌦0 f 1 z =w 0 ,lim z⌦# f(z)= #(lim z⌦0 f 1 z $1 =0 3)LÕappl icationz⌦C)*
2z |z| 2 +1 |z| 2 1 |z| 2 +1 ,#)*(0,0,1)estlÕin versedelaprojectionst"er "eogra- phique(x 1 ,x 2 ,x 3 )⌦S 2 \{(0,0,1)})* x 1 +ix 2 1x 3 ,(0,0,1))*#,etd onn eunhom"eomorphi smede Analysecomplexe12
Csurlasph` ereunit "eS
2 ={(x 1 ,x 2 ,x 3 )⌦R 3quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
[PDF] Analyse Complexe S´eries de Fourier