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DEVOIR ANALYSE COMPLEXE 1

par

3M266Exercice 1. -Calculer les ra yonsde con vergencedes series entièr essuiv antes:

1. 1X k=0z 2k 2. X n0(1 +(1)nn )n2zn: Exercice 2. -1. Redémontrerque la fonctionf(z) =1z définie une fonction holo- morphe surC. 2. Calculer l"int égrale,où le cer cleunit éest orient épositiv ement,Z

C(0;1)dzz

3.

Soit a;b >0deux réels. On pose, pourt2[0;2],

(t) =acos(t) +ibsin(t):

Géométriquement, que décrit le chemin

? Le tracer. 4.

Justi fier que,Z

dzz =Z

C(0;1)dzz

5.

En dé duirela v aleurde l"int égrale,

Z 2 0dta

2cos2(t) +b2sin2(t):

23M266

Exercice 3. -Soit f=P

n0anznune fonction entière. On suppose qu"il existeM >0 etm2Ntel que jf(z)j M(1 +jzjm);8z2C: 1. Donner un e xempled"une f onctionfvérifiant les hypothèses précédentes. 2. Exprimer les coe fficientsanen fonction des valeurs des dérivées def. 3.

R appelerle théor èmede Cauch y.

4.

Montr erque, pour t outR >0,

a n=12iZ

C(0;R)f(z)dzz

n+1:

Indication : Montrer que

R

C(0;R)dzz

k= 0pour toutk2. 5. En dé duireque fest un polynôme de degré au plusm.

Exercice 4. -On pose f(z) =eiz1+z2.

1. T rouverle domaine de dé finition def. Sur quel ouvertUdeCest-elle holomorphe?

Le justifier.

2.

Justi fier que l"on peut écrire pour toutz2U,

f(z) =i2e(zi)+g(z); oùg(z)est une fonction holomorphe surCrfig.

Indication : On pourra décomposer

11+z2en éléments simples.

3.

On not eRle chemin suivant.Que vaut

Z

Rf(z)dz?

4.

En dé duirela v aleurde l"int égrale

Z +1

1cos(x)1 +x2dx:3M266, Bureau 509, Tour 15-16, 4 Place Jussieu, 75005 ParisE-mail :valentin.hernandez@imj-prg.fr

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