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3M266 { Analyse complexe

TD3-1. Fonctions Cosinus et Sinus holomorphes.

Exercice 1.

(a) Montrer que pour toutz2C, sin2(z) + cos2(z) = 1 (b) Montrer que pour toutz2C, cosh2(z)sinh2(z) = 1 Exercice 2.SoitUun ouvert deC, etf2 O(U). On appelle determination du logarithme defsurUtoute fonction holomorphe surUtelle que

8z2U; eF(z)=f(z):

Supposons queFexiste, alors

(a) CalculerF0(z) pour toutz2U. (b) Si on suppose de plusUconnexe, expliciter toutes les determinations holomorphes surUdu logarithme def. (c) Trouver le disque de convergence de la serie entiereX n1z nn et donner son expression dans ce disque. Exercice 3.SoitUun ouvert deC, on appelle determination holomorphe de arcsinus surUtoute fonction holomorphefsurUveriant

8z2U;sin(f(z)) =z:

(a) Supposons quefexiste, montrer queUne contient ni 1 ni1. (b) SiUest un ouvert ne contenant ni 1 ni1, et soitfune fonction holomorphe. Montrer que les deux armations suivantes sont equivalentes: fest une determination holomorphe de arcsin surU.

Il existegholomorphe surUtelle que, pour toutz2U

g

2(z) = 1z2eteif(z)=iz+g(z):

(c) Montrer que sifest une determination holomorphe de arcsin surU, alors pour tout z2U,f0(z) =1g(z). (d) SoitU=Cn fx2R:jxj 1g. Montrer qu'il existe surUau plus une unique determination holomorphefde arcsin telle quef(0) = 0.

Rappel TD1:

Exercice 4.Soient

un ouvert connexe deC,f2 O( ) etg2 O( (a) On suppose que, pour toutz2 ,f(z) +g(z) est reel. Montrer qu'il existe une constante reellectel quef=g+c. (b) On suppose maintenant quegne s'annule pas sur et que, pour toutz2 ,f(z)g(z) est reel. Montrer qu'il existe une constante reellectel quef=cg. 1quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29