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"RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page i - #3

Table des matières

Avant propos ii

1 Intégrale de Riemann 1

1.1 Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Fonctions intégrables au sens de Riemann . . . . . . . .

6

1.3 Propriétés générales de l"intégrale de Riemann . . . . . .

16

1.4 Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1 . . . . .

31

2 Primitives et intégrales 55

2.1 Intégrale indéfinie et primitive . . . . . . . . . . . . . .

55

2.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.3 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.4 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.5 Limite uniforme dans les intégrales . . . . . . . . . . . .

80

2.6 Calcul approché d"une intégrale . . . . . . . . . . . . .

82

2.7 Énoncés et solutions des exercices du chapitre . . . . . .

89

3 Intégrales généralisées 141

3.1 Notion d"intégrale généralisée . . . . . . . . . . . . . .

141

3.2 Propriétés des intégrales généralisées . . . . . . . . . . .

146

3.3 Intégrales généralisées des fonctions positives . . . . . .

148

3.4 Calcul pratique des intégrales généralisées . . . . . . . .

151

3.5 Intégration des relations de comparaison . . . . . . . . .

159

3.6 Intégrales semi-convergentes. Règle d"Abel . . . . . . .

163

3.7 Intégrales généralisées et séries . . . . . . . . . . . . . .

165

3.8 Cas des fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . .

168
iRetrouver ce titre sur Numilog.com "RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page ii - #4 ii INTÉGRATION3.9 Énoncés et solutions des exercices du chapitre . . . . . .170

4 Intégrales dépendant d"un paramètre 223

4.1 Intégrales définies dépendant d"un paramètre . . . . . .

224

4.2 Intégration sur un intervalle quelconque . . . . . . . . .

231

4.3 Convergence monotone, convergence dominée . . . . . .

247

4.4 Théorèmes de continuité et de dérivabilité . . . . . . . .

250

4.5 Énoncés et solutions des exercices du chapitre . . . . . .

257

5 Intégrales multiples, intégrales curvilignes 319

5.1 Définition de l"intégrale multiple de Riemann . . . . . .

319

5.2 Théorèmes de Fubini-Tonelli et de Fubini . . . . . . . .

322

5.3 Théorème de changement de variables . . . . . . . . . .

325

5.4 Intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

328

5.5 Énoncés et solutions des exercices du chapitre . . . . . .

334

6 Problèmes de révision et de synthèse 369

A Rappels d"analyse fondamentale 477

A.1 Bornes supérieure et inférieure . . . . . . . . . . . . . . 477
A.2 Continuité et limites de fonctions d"une variable . . . . . 479
A.3 Dérivabilité en une variable . . . . . . . . . . . . . . . . 487
A.4 Limite et continuité en plusieurs variables . . . . . . . . 494
A.5 Différentielle et dérivées partielles . . . . . . . . . . . . 497

Bibliographie 503

Index 505Retrouver ce titre sur Numilog.com

"RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page iii - #5

Avant-proposiiiAvant-propos

S"il est incontestable que l"intégrale de Lebesgue constitue aujourd"hui l"un des outils les plus performants pour de nombreuses questions théo- est l"outil incontournable dès lors que se pose la question fondamentale du calcul effectif des intégrales ou de leur approximation. Le but de cet ouvrage est de présenter de manière claire et détaillée la construction de l"intégrale de Riemann ainsi que l"essentiel des théo- rèmes permettant son utilisation pratique. Nous avons essayé d"éviter tout formalisme inutile, et la rédaction de ce travail a d"abord été guidée par un souci pédagogique. Nous avons constamment recherché l"équi- libre nécessaire entre les points de vue théorique et pratique, et avons veillé à ce que les concepts et les méthodes proposés soient illustrés de nombreux exemples. Chacun des cinq premiers chapitres offre un grand choix d"exercices ju- dicieusement sélectionnés en vue d"une bonne assimilation des concepts et d"une réelle maîtrise des techniques. Le chapitre six est lui entière- ment consacré à des problèmes de révision destinés au travail d"appro-quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3