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1 fév 2014 · g(x)dx c) Enfin, il découle clairement de la définition que l'intégrale d'une fonction en escalier réelle positive est positive

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on montre tout d'abord (1) lorsque f est en escalier, puis on traite le cas général par passage à la limite 3 Page 4 Corrigé 1 Si f est une fonction en escalier

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Feuille d'exercices n° 1 2012 Révisions - Intégrale de Riemann Rappel théorique (Définition de l'intégrale de Riemann) : Soient Montrer que f n'est pas Riemann intégrable (L'intégrale de Lebesque corrige `a ce défaut, car f est Lebesgue

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Exercices sur l"Intégrale

de Riemann------------

Université d"Eleuthéria-Polites

République de Poldévie

Licence2

Bruno Deschamps

Version3.0Suites de fon?ionsExercice1.-Pourp1 etx >0, on pose f p(x) =1(1+x)1+1=p Etudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fon?ions (fp)p. Exercice2.-Sur quels intervalles y-a-t-il convergence uniforme pour la suite (fn)nlorsque : a)fn(x) =2nx1+n2nx2pourx2R. b)fn(x) = 4n(x2nx2n+1) pourx2[0;1].

Exercice3.-Etudier sur [0;+1[ la convergence simple et uniforme de la suite de fon?ions (un)ndéfinie par

u n(x) =xnlnx 2

Exercice4.-Etudier sur [0;1] la convergence simple et uniforme de la suite de fon?ions (un)ndéfinie par

u n(x) =xn(1+xn) Exercice5.-Pourn0 etx2[0;+1[, on poseun(x) =enxsin(nx). a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)nsur [a;+1[ poura >0. b) Même que?ion sur [0;+1[.

Exercice6.-Pourn0 etx2R, on poseun(x) =1(1+x2)n.

a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)nsur ]1;a][[a;+1[ poura >0. b) Même que?ion surR. Exercice7.-Pourn0 etx2[0;+1[, on poseun(x) =nx2enx. a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)nsur [a;+1[ poura >0. b) Même que?ion sur [0;+1[.

Exercice8.-Pourn0 etx >0, on poseun(x) =x2sin1nx

etun(0) = 0. a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)nsur [a;a] poura >0. b) Même que?ion sur [0;+1[.

Exercice9.-Soitfn:R+!Rdéfinie parfn(x) =

1+xn n. a) Etudier la limite simple de la suite (fn)n. b) Montrer que, pour toutx >0, la suite (fn(x))ne? ?ri?ement décroissante et en déduire que f n(x)>limnfn(x) c) Après avoir montré que, pour toutt0, on a : tt22 ln(1+t)t ju?ifier que la suite (fn)nconverge uniformément sur tout intervalle [0;a] (aveca >0). d) Etablir qu"en fait, la suite de fon?ions (fn)nconverge uniformément sur [0;+1[. Exercice10.-Soit (Pn)nune suite de fon?ions polynomiales qui converge uniformément surR vers une fon?ionf. Montrer quefe?nécessairement une fon?ion polynomiale. Exercice11.-Soient (fn)net (gn)ndeux suites de fon?ions d"un intervalleIversR, qui con-

vergent uniformément vers des fon?ionsfetgsupposées bornées. Montrer que la suite (fngn)nconverge uniformément vers la fon?ionf g.

Exercice12.-Montrer que la limite uniforme d"une suite de fon?ions uniformément continues d"un intervalleIversRe?elle-même une fon?ion uniformément continue. Exercice13.-Etablir que la limite simple d"une suite de fon?ions convexes d"un intervalleI versRe?convexe. Exercice14.-Soientfn: [0;1]!Rdes fon?ions décroissantes et continues telles que la suite (fn)nconverge simplement vers la fon?ion nulle. Montrer que cette convergence e?uniforme. 3

Exercice15.-(Théorème de Dini) On considère une suite décroissante (fn)nde fon?ions contin-

ues d"un segment [a;b] dansRet qui converge vers la fon?ion nulle. On désire montrer que la convergence e?en fait uniforme. a) Ju?ifier l"exi?ence de limnjjfnjj1. b) Montrer que, pour toutn0, il exi?exn2[a;b] tel quejjfnjj1=fn(xn). c) En observant que pour toutpn,fn(xn)fp(xn), montrer finalement que limnjjfnjj1= 0. Exercice16.-Pourx2[0;=2], on posefn(x) =nsinxcosnx. a) Déterminer la limite simple de la suite de fon?ions (fn)n. b) CalculerIn=Z =2 0 fn(t)dt. Y-a-t-il convergence uniforme de la suite (fn)n? c) Ju?ifier qu"il y a convergence uniforme sur tout segment inclus dans ]0;=2]. Exercice17.-Soitfn: [0;1]!Rdéfinie parfn(x) =n2x(1nx) six2[0;1=n] etfn(x) = 0 sinon. a) Etudier la convergence simple de la suite (fn)n. b) Calculer Z 1 0 fn(t)dt. Y a-t-il convergence uniforme de la suite (fn)n? c) Etudier la convergence uniforme de (fn)nsur [a;1] aveca >0.

Exercice18.-Soitfn:R!Rdéfinie par

f n(x) =rx 2+1n Montrer que chaquefne?de classeC1et que la suite (fn)nconverge uniformément vers une fon?ionfqui n"e?pas de classeC1.

Exercice19.-Soitfn:R+!Rdéfinie parfn(x) =x+1n

. Montrer que la suite (fn)nconverge uniformément mais pas la suite (f2n)n. Exercice20.-Soitf:R!Rune fon?ion deux fois dérivable et de dérivée seconde bornée.

Montrer que la suite des fon?ions (gn)noù

g n(x) =n f x+1n f(x) converge uniformément versf0.

Exercice21.-Soitf(x) = 2x(1x) pourx2[0;1]. Etudier la convergence de la suite (fn)noùfne?l"itéréen-ième de la fon?ionf.

Exercice22.-Soit (fn)nla suite de fon?ions définies surR+par,f0(x) =xet, pour toutn0, f n+1(x) =x2+fn(x) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (fn)nsurR+.

Exercice23.-Etudier la convergence simple et uniforme surRde la suite de fon?ions (fn)ndonnées parfn(x) = sinn(x)cos(x).

Exercice24.-a) Montrer que la suite de fon?ionsfn(x) =x(1+nenx) définies surR+pour2R etn0, converge simplement vers une fon?ionfà déterminer. 4 b) Déterminer les valeurs depour lesquelles il y a convergence uniforme. c) Calculer lim nZ 1 0 x(1+pne nx)dx. Exercice25.-On définit la suite de fon?ions (un)nde [0;1] versRparu0(x) = 1 et, pour tout n0, u n+1(x) = 1+Z x 0 un(tt2)dt a) Montrer que, pour toutx2[0;1], 0un+1(x)un(x)xn+1(n+1)!. b) En déduire que pourn;p0,jjun+punjj1X kn+11k!. c) Etablir que pour toutx2[0;1], la suite numérique (un(x))ne?de Cauchy. d) Etablir que la suite (un)nconverge uniformément vers une fon?ionunon nulle vérifiantu0(x) = u(xx2). Exercice26.-On noteEl"ensemble des fon?ionsf: [0;1]!R+continues. Pour toutf2E, on pose (f)(x) =Z x

0pf(t)dt

On considère la suite de fon?ions (fn)ndéfinie parf0= 1 et, pour toutn0,fn+1=(fn). a) Etudier la suite (fn)n.

b) Si l"on notef= limnfn, trouver une équation différentielle dontfe?solution. Y a-t-il unicité

de la solution nulle en 0 ? Sommes de RiemannExercice27.-Déterminer la limite de la suite (un)nlorsque, pourn1, a)un=n X k=11n+k, b)un=n X k=1nn

2+k2, c)un=1pn

n X k=11pn+k, d)un=1pn n X k=11pk+pnk. e)un=2nX k=1kn

2+k2, f)un=n1X

k=0k n +1+k+1( >0).

Exercice28.-Déterminer limnun=1pn

2+2n+1pn

2+4n+1pn

2+6n++1p3n2.

Exercice29.-Déterminer la limite de la suite (un)nlorsque, pourn1, a)un= ch 1pn+1! +ch 1pn+2! ++ch 1p2n! n. b)un=ncos 1pn+1! cos 1pn+2! cos 1p2n! Exercice30.-On considère une fon?ionf:R!Rdérivable en 0 et vérifiantf(0) = 0 et f0(0),0. Déterminer la limite de la suite (un)ndéfinie, pourn1, par u n=fn n1X k=112+cos kn 5

Exercice31.-a) Calculer l"intégraleZ

2 1 logxdx. b) pourn1, expliciterRsupn, lan-ième somme de Riemann supérieure associée à la fon?ion x7!logxsur le segment [1;2].?ue vaut limnRsupn? c) En déduire que lim n (2n)!n nn!! 1=n =4e Exercice32.-En utilisant les sommes de Riemann pour une fon?ion bien choisie, montrer que

1122nn1n

2'npn e 1=4 Intégration par partiesExercice33.-Déterminer les primitives suivantes : a)Z tlntdtb)Z tar?an(t)dtc)Z tsin3tdtd)Z (t2t+ 1)etdte)Z (t1)sintdtf) Z (t+1)ch(t)dt. Exercice34.-Calculer les intégrales suivantes : a) Z 1 0 ln(1 +t2)dtb)Z e 1 tnlntdtc)Z e 1 sin(lnt)dtd)Z 1 0 ar?an(t)dte)1=2

0tar?an(t)dtf)

Z 1 0 tar?an(t)dt. Changement de variablesExercice35.-Déterminer les primitives suivantes : a)

Zdtpt+pt

3b)Zlntdtt+t(lnt)2c)Ze2tdte

t+1d)Zdtt pt

21e)Zdtt+t(lnt)2f)Zdtt

plnt+1g) Zdte t+1h)Zlntdtpt i)Zp1t2dtj)Z t

2p1t2dt.

Exercice36.-En effe?uant le changement de variablest=r2xx1, déterminer la valeur de Z 8=5

4=3dxx

p(2x)(x1). Exercice37.-On considère une fon?ion continuef:R!Rtelle que, pour toutx2R,Z1 0 f(xt)dt= 0. Montrer quefe?indentiquement nulle. (Ind. On pourra utiliser un changement de variables.)

Exercice38.-CalculerZ

1=2

0r1+x1xdxen effe?uant le changement de variablex= cost.

Exercice39.-a) Montrer queZ

=4 0 ln(cost)dt=Z =4 0 ln(cos(=4t))dt. b) En déduire la valeur de Z =4 0 ln(1+tant)dt.

Exercice40.-a) Montrer queZ

0costcost+sintdt=Z

0sintcost+sintdt=4

b) En déduire la valeur de Z 1

0dtt+p1t2.

Exercice41.-On considère une fon?ion continuef: [a;b]!Rtelle que pour toutx2[a;b], f(a+bx) =f(x). Montrer que Z b a xf(x)dx=a+b2 Z b a f(x)dx Exercice42.-a) Montrer que sif: [0;1]!Re?une fon?ion continue alors Z 0 tf(sint)dt=2 Z 0 f(sint)dt b) En déduire la valeur, pourn0, de I n=Z

0xsin2n(x)sin

2n(x)+cos2n(x)dx

Exercice43.-Pour deux réelsaetbtels queab >0, on considère

I(a;b) =Z

b a1x2(1+x2)p1+x4dx a) Calculer, en fon?ion deI(a;b), les quantitésI(b;a),I(a1;b1) etI(a1;a). b) CalculerI(a;b) quanda;b >1 en utilisant le changement de variablest=x+1=xpuisv= 1=t. c) Montrer, finalement, que la relation ainsi obtenue re?e valable si l"on suppose ju?eab >0. Exercice44.-Calculer les intégrales suivantes : a) Z

0sint3+cos

2tdtb)Z

1dt2t+pt

c)Z 2

1ln(1+t)ln(t)t

2dt.

Exercice45.-CalculerZ

p3 0 arcsin2t1+t2 dt. Exercice46.-a) Déterminera;b;c2Rtels que, pour toutu,1=2, on ait u

212u1=au+b+c2u1

b) Calculer Z 0 1x

212x1dx.

c) Grâce à un changement de variable trigonométrique, en déduire la valeur de Z 0 =2cos

3t12sintdt.

Intégrale fon?ion de la borne supérieureExercice47.-Pour une fon?ion continuef:R!Rdonnée, ju?ifier que les fon?ionsg:R!

Rsuivantes sont de classeC1et exprimer leur dérivée : a)g(x) =Z x2

2xf(t)dt.

b)g(x) =Z x 0 xf(t)dt. c)g(x) =Z x 0 f(t+x)dt.

Exercice48.-Etudier la fon?ionf(x) =Z

2x xshtt dt. Exercice49.-Pourf: [0;1]!Rune fon?ion continue donnée, on définitF: [0;1]!Rpar

F(x) =Z

1 0 min(x;t)f(t)dt a) Montrer queFe?de classeC2et calculerF00. b) En déduire queF(x) =Z x 0Z 1quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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