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LICENCED'INGENIERIEMATHEMATIQUES

AnneeUniversitaire2006-2007

COURSDESTATISTIQUEINFERENTIELLE

(VersionAvril2007) J

ER^OMEDUPUIS

UNIVERSITEPAULSABATIER(ToulouseIII)

1 2

SOMMAIRE

1.Exemplesintroductifsetgeneralites

1.1Exemplesintroductifs

1.2Generalites

2.Modelesstatistiques

2.2Autresmodelesstatistiques

3.Exhaustiviteetinformation

3.1Unexempleintroductif

3.2Exhaustivite.

3.3InformationdeFisher

4.L'estimationponctuelle

4.1Denitiond'unestimateur

4.2Proprietesd'unestimateur

4.3Comparaisonentreestimateurs

4.4Estimateurdumaximumdevraisemblance

4.5Estimateurdesmoments

3

5.L'estimationparintervalledeconance

5.1Denition,exempleetcommentaires

5.2Quelquesprincipesgeneraux

5.3Intervallesdeconanceclassiques

6.Lestests

6.1Exemplesintroductifs

6.2Laproblematiqued'untest

6.3L'approchedeNeyman-Pearson

6.5Lapratiquedestests.

-laloideXestquelconque. -laloideXestquelconque -comparaisondesvariances(testdeFisher). -comparaisondesmoyennes(testdeStudent).

6.6Testsnonparametriques.

6.6.1TestdessignesettestdeWilcoxon.

4

6.6.3Testduchi-deuxd'independance.

5

1.1Exemplesintroductifs

ExempleNo1.

ExempleNo2.

2. deceresultatquelapieceestequilibree?

ExempleNo3.

6 exponentielledeparametresisadensiteest: f(x)=1 exph xi

1I[0;+1[(x):

ousi,al'inverse>T.

Commentaires

X

1.2Generalites

7 modelisation(aleatoire)desdonnees. statistiquedechoixdemodeles). b)Validerlemodeleretenu. testsportantsurlesparametresdumodele. derniereetapedecetteprocedure. aleatoires. 8

Chapitre2.MODELESSTATISTIQUES

Denition.

Commentaires.

poseeconnue;seulleparametreestinconnu. momentoul'onsedonnelaloideX,asavoirP. appelleunechantilloni.i.d.deloiP. l'espacesdesobservations. yamodelisation(etmodele). (Xn;B n;P n ;2)ouP n munidelatribuproduitB n. 9

Notations.

Exemples.

laloideBernoullideparametre2=[0;1]. aunseullancer)denisurl'espace ouB=P(f0;1g)

Remarques.

10 fonctionL:![0;1]deniepar

Danslecadredumodeled'echantillonnage

L(;x1;::::xi;:::;xn)=nY

i=1f(xi;): x

2.3Autresmodelesstatistiques.

SituationNo1.

11

SituationNo2.

Commentaires.

12

3.1Unexempleintroductif

estegaleaPn cela.

3.2Exhaustivite.

Denition1.

Commentaires

IlconvientdenoterqueTnedependpasde.

Exemplesdestatistique

X=IRetY=IR.

(x1;:::;xi;:::;xn)7!T(x1;:::;xi;:::;xn)= xn. i=1x2i.

Xn,T=Pn

iX2i,etc.

Denition2.

Exemple

iXiestexhaustive.On 13 verieeneetfacilementque:

P(X=xjT=t)=t(1)nt

Ctnt(1)nt=1CtnsinX

i=1x i=t etqueP(X=xjT=t)=0sinon.

Theoremedefactorisation(admis).

ExempleNo1

i=1Xiestexhaustive puisque f(x;)=1 Qn i=1xi!T(x)exp[n] factoriseautraversde: g(x)=1 Qn i=1xi! etde h(T(x;))=T(x)exp[n]

ExempleNo2

Pn i=1Xi;Pn

3.3InformationdeFisher

14

H1:82;8x2X;f(x;)>0.

H

2:82;8x2X;@

@f(x;)et@2@2f(x;)existent. H

3:82;8B2Bonpeutderiver2foisR

Bf(x;)dxparrapportasouslesigne

Remarques.

f(x;)=1

1I[0;](x).

3.3.1Denition

Soitlemodele((X;B);P;2).Laquantite

I()=E"

@logf(X;) 2# s'appellel'informationdeFisheraupoint.

OnappellescorelaquantiteS(x;)=@

@logf(x;).Onadonc:

I()=E[S2]

I()=E"

@2 @2logf(X;)# quecelledeladenition. 15

Exemple.

3.3.3Proprietesdel'informationdeFisher

Propriete1.

I()0pourtout

Propriete2.

Q I (X;Y)()=IX()+IY()

Consequence.

I (X1:::;Xi;:::;Xn)=nIX()

Propriete3.(admise)

I I laloiimagedePparT.

Exemple

iXiest 16 exhaustive.Onad'unepart: I (X1:::;Xi;:::;Xn)()=nIX()=n (1):

D'autrepart,laloideT=Pn

pourdensite f(t;)=Ctnt(1)nt;t2f0;:::ng onendeduitque: 2 @2logf(t;)=" t2+nt(1)2# d'ouIT()=n (1)puisqueE[T]=n(cqfd). 17

Chapitre4.L'ESTIMATION

4.1Denitiond'unestimateur

Autrementdit:

T:Xn! x7!T(x)

Commentaires

aleatoireX. rappelerquelatailledel'echantillonestn)

Exemple

b n(x)=Argmax2L(;x): 18 b nsuituneloiN(;2 n).

4.2Proprietesd'unestimateur

4.2.1Estimateursansbiais

Soit bunestimateurde.

Exemple

bn=XnestunestimateursansbiaisdeE[X].

Remarque

Exemple

c2=1nP n

ParcontreS2n=1

n1P n zeroquandn!+1.

Exemple

c2=1nP n

4.2.2Estimateurconvergent

Exemple

l'estimateur bn= 19 verszeroestconvergent.

4.3Comparaisonentreestimateurs

notionderisquequadratiquedenici-dessous. quadratique).

Remarque

b 1=

Xnetb2=nXn+1

unestimateuroptimalausensdecerisque.

R(T)R(b)pourtoutestimateurbde.

20

4.3.1LabornedeCramer-Rao

B que H

2etH3(cfSection3.2),ona,pourtoutbn2B0():

Var[bn]1

nI() nI()estnoteeKn().

Denition.bn2B0()estditecacesiVar[bn]=1

nI()

Exemple

Var[bn]=(1)

n.

Var[bn]

Kn() tendvers1quandn!+1.

Commentairesetcomplements

21

4.4L'estimateurdumaximumdevraisemblance

L(;x1;::::xi;:::;xn)=nY

i=1f(xi;)

4.4.1Denition

b n(x)=Argmax2L(;x): oux=(x1:::;xi;:::;xn).

4.4.2Remarques

n+1(cfTDNo2). 22
devraisemblance,bn(x)estsolutionde: @L(;x)=0; etesttelque: 2 @2L(;x)<0 aupoint=bn(x).

Commentaire

l'E.M.V.doitsefaire\alamain".

Theoreme.Onfaitleshypothesessuivantes.

-estunouvertdeIR. @f(x;)existe8x,8 -8,8x,f(x;)>0 -an1xe(maisquelconque)bnestunique. 23

Theoreme.Onsupposedeplusque:

@2 -0Af(x;)dxparrapporta.

Alorssoustoutesceshypotheses

p n(bn)loi!N

0;1I()

4.5L'estimateurdesmoments

nP n i=1Xki.La

Leprincipedelamethodeestlasuivante.

j=gj(1;:::;j;:::;J) j=hj(1;:::;j;:::;J) ditonprend: b j=hj(M1;:::;Mj;:::;MJ)(j=1;::J): 24

Commentaire

demomentscentresetnoncentres.

Exemple

:estimationdesparametresdelaloiBeta. f(x)=1

B(a;b)xa1(1x)b11I[0;1](x)

Onmontreque:

E[X]=a

a+betVar[X]=ab(a+b)2(a+b+1)

Onveriefacilementque:

a=E(X)"

E(X)[1E(X)]Var(X)

Var(X)#

etb=[1E(X)]"

E(X)[1E(X)]Var(X)Var(X)#

ba=

Xn"Xn[1Xn]V2n

V2n# et bb=[1Xn]"Xn[1Xn]V2n V2n# ou V 2n=1 nn X i=1(XiXn)2 designelemomentempiriquecentred'ordre2. 25
(typiquement95%),leparametreinconnu.

5.1Denition,exempleetcommentaires

P([T1;T2]3)=1

Exemple

loinormaledemoyenne.Partantde

XnN(;1n)ilesffaciledeverierque:

P

Xn1pnz12;Xn+1pnz12

3 =1 ouz1

P(Zza)=aouZN(0;1).Donc

Xn1pnz12;Xn+1pnz12

26
P

Xn1pnz12Xn+1pnz12

=1

Commentaires

P

2[T1(x);T2(x)]=1

27
dependpasde. u inequation u

1h(X1:::;Xi;:::;Xn;)u2(1)

detellesorteque(1)soitequivalenta: g

1(X1:::;Xi;:::;Xn)g2(X1:::;Xi;:::;Xn);

ExempleNo1

connue).Lafonction Xn =pnestpivotalepourpuisque: Xn =pnN(0;1)

ExempleNo2

XN(;)ouestconnueet=2.Lafonction12Pn

i=1(XiXn)2estpivotalepour puisque: 1 2n X i=1(XiXn)22(n1)

ExempleNo3

nestasymptotique- 28
Xnq nloi !N(0;1)quandn!+1 ulier. .Partantde Xn =pnN(0;1) ona: P z 1 Xn =pnz12 =1 clairque: z11 Xn =pnz12()I=Xnpnz12;Xn+pnz11 3 est fournieparleresultatsuivant. 29
d'ordre1

2def(x).

Parconsequent:c'estl'intervalledeconance

Xnpnz12;Xn+pnz12

z 1

2estfourniparlestablesstatistiques.

5.3Intervallesdeconanceclassiques

est`grand'.

5.3.1LaloideXestnormaleN(;2)

niveaudeconance1pourest

Xnpnz12;Xn+pnz12

etYsontindependantes,T=Z esttabulee).Comme Z= Xn =pnN(0;1) 30
etque:

Y=(n1)S2n

22(n1)

ou Squotesdbs_dbs1.pdfusesText_1