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3 1 Un exemple introductif 3 2 Exhaustivité 3 3 Information de Fisher 4 L' estimation ponctuelle 4 1 Définition d'un estimateur 4 2 Propriétés d'un estimateur
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estimateur efficace de λ, donnez sa variance et l'information de Fisher apportée par l'échantillon Solution : Comme dans l'ensemble des exercices de cette
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Université de CaenM1TD n
o7 : Information de Fisher et vraisemblanceExercice 1.Soient >0,a2R,Xunevardont la loi est donnée par
P(X=k) =eaakk!; k2N;
n2Net(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici, le paramètreaest connu etest inconnu.Montrer que l"information de Fisher est
I n() =na2a2:Exercice 2.Soient >1,Xunevarde densité :
f(x) =8 :1 +(x+)2six1;0sinon,
n2Net(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici,est un paramètre inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn).Montrer que l"information de Fisher est
I n() =n3(1 +)2:Exercice 3.La durée de vie en heures d"un certain type d"ampoule peut être modélisée par une
varXde densité : f(x) =(exsix0;0sinon,
où >0est un paramètre inconnu. Soientn2Net(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. 1. Déterm inerl"estimateur du ma ximumde vraisem blance bnde. 2.Calculer l"information de Fisher In().
3.Étudier la con vergenceen loi de
pI n()(bn) n2N. On suppose quenest suffisam- ment grand pour approcher la loi depI n()(bn)à cette loi limite. En utilisant cette approximation, déterminer un intervalle de confiance pourau niveau98%.4.Application.Un expérimentateur a évalué la durée de vie de1000ampoules de ce type. Les
résultats en heures, notés(x1;:::;x1000), donne11000 1000P i=1x i= 95;6. Construire un intervalle de confiance pourau niveau98%correspondant à ces données.C. Chesneau1TD no7 Université de CaenM1Exercice 4.Soient2RetXunevarde densité : f(x) =8 :1p2x3=2e(x)222xsix >0;