4 1 Problème dual On suppose que A est une matrice de format m × n et b ∈ Rm A chaque problème d'optimisation linéaire, nous allons définir un nouveau
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4 1 Problème dual On suppose que A est une matrice de format m × n et b ∈ Rm A chaque problème d'optimisation linéaire, nous allons définir un nouveau
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Chapitre 4
Dualité
4.1 Problème dual
On suppose queAest une matrice de formatmnetb2Rm.
A chaque problème d"optimisation linéaire, nous allons définir un nouveau problème appellé
le dual. Le problème original est le primal.Soit le problème d"optimisation linéaire
minz=ctx; Axb; x0:(4.1)Définition
4.1.1 Le dual du problème (4.1) est
maxz=bty; A tyc; y0:(4.2) On notera que, pour le problème primal, on ax2Rntandis quey2Rmpour le dual. 12CHAPITRE 4. DUALITÉ
Par exemple, considérons le problème
suivant minz=x1x2 sous les contraintes 8< :x13x2 3;2x1x2 2;
x1;x20:
qui admet la solution (x1;x2) = (3=5;4=5)etz=7=5.x 1x 21312Le problème dual s"écrit sous la forme :
maxz=3y12y2 sous les contraintes 8< :y12y2 1;3y1y2 1;
y1;y20:
qui admet la solution (y1;y2) = (1=5;2=5)etz=7=5.x 1x211=31=21
Dans cet exemple, on observe que la valeur minimale du primal est égale à la valeur maximale du dual. Essayons de dualiser d"autres types de problèmes.4.2. INTERPRÉTATION ÉCONOMIQUE3
(a)Ev aluonsle dual du problème
maxz=ctx; Axb; x0: Pour cela il suffit de le réécrire sous la forme d"un problème demin: maxctx; Axb; x0:()minctx; Ax b; x0:Le dual sera
maxbty;Aty c;
y0:()minbty; A tyc; y0: (b) Ev aluonsmain tenantle dual du dual. Soit le problème minz=ctx; Axb; x0:Le dual est
maxz=bty; A tyc; y0:On applique le résultat ci-dessus pour obtenir
minz=ctx; (At)txb; x0:()minz=ctx; Axb; x0:Donc, le dual du dual est le primal.
4.2 Interprétation économique
Considérons le problème d"une entreprise agricole qui désire ensemencer avec 3 variétés de
planteA;BetC. Il s"agit de déterminer les superficiesxi(en hectare) des terres ensemencées par les plantesA;BetCpour avoir un bénéfice maximal. Voici le tableau qui résume la situationTerrain (ha)Travail (h)Machine (h)Rendement
A211100
B321400
C131500
3402400560
4CHAPITRE 4. DUALITÉ
Par exemple, il faudra 3 heures de travail par hectare pour ensemencer avec la plante B et2 heures de machinerie. La dimension totale du terrain est de 340 ha et nous disposons de
2400 heures de temps de travail et de 560 heures en temps de machinerie. 1 hectare de la
plante A donne un profit de 1100$.La fonction objective est
maxz= 1100x1+ 1400x2+ 1500x3Contrainte 1 :
dimension du terrain x1+x2+x3340
Contrainte 2 :
temps de tra vail2x1+ 3x2+x32400
Contrainte 2 :
temps de mac hine x1+ 2x2+ 3x3560
On ajoute les variables d"écartx4;x5;x6à ce problème et on applique la méthode du simplexe.
Le tableau final est donné parBx
1x2x3x4x5x6x
11 01 2 0 1120
x50 031 111500
x20 1 21 0 1220
0 0200800 0300440;000La solution est
x1= 120;x2= 220;x3= 0;x4= 0;x5= 1500;x6= 0
et le profit estz= 440;000$. On observ eque les ressources de te rrainet de ma chinerieson tpleinemen tutilisées carx4=x6= 0. P arcon tre,la ressource en temps de tra vailn"est pas pleinemen tutilisée car x56= 0. Si on disposait d"un hectare ou d"une heure de travail ou de machinerie de plus, quel serait le profit de plus? C"est le concept de coût marginal. Introduisons les variables y1=coût marginal de 1 ha de terrain
y2=coût marginal de 1 h de tra vail
4.2. INTERPRÉTATION ÉCONOMIQUE5
y3=coût marginal de 1 h de mac hine
On devrait avoiry2= 0car la ressource en temps de travail n"est pas pleinement utilisée. Maintenant, regardons le point de vue d"un acheteur des activités de l"entreprise. Les coûts marginaux sont mieux interprétés de la manière suivante : y1=prix à offrir p ourac heterun h ade terrain
y2=prix à offrir p ourac heterune h de tra vail
y3=prix à offrir p ourac heterune h de mac hine
Quel sera le problème à résoudre pour déterminer ces variables? La fonction objective correspond au coût à payer pour acheter l"entreprise z= 340y1+ 2400y2+ 560y3=b1y1+b2y2+b3y3=bty: Il s"agit de minimiser le prix à payer :minz=bty. Pour cela, son offre sera accepté s"il offre au moins autant que le bénéfice de chacune des activités.Activité A :
le b énéficelié à l"ensemencemen tde la plan teA est y1+ 2y2+y31100:
Activité B :
le b énéficelié à l "ensemencementde la plan teB est y1+ 3y2+ 2y31400:
Activité C :
le b énéficelié à l" ensemencementde la plan teC est y1+y2+ 3y31500:
En résumé, le problème s"écrit
8>>>><
>>>:minz= 340y1+ 2400y2+ 560y3 y1+ 2y2+y31100;
y1+ 3y2+ 2y31400;
y1+y2+ 3y31500;
y1;y2;y30:
Le principe de la dualité peut s"énoncer de la manière suivante : le plus bas prix total à payer
pour l"acheteur doit être égal au bénéfice maximal pour le producteur.6CHAPITRE 4. DUALITÉ
4.3 Théorie de la dualité
4.3.1 Lagrangien et point de selle
SoientARnetBRmdeux ensembles non vide et
L:AB!R
une fonction appellée Lagrangien.Définition
4.3.1 Un point(x;y)2ABest un point de selle du LagrangienLsi
L(x;y)L(x;y)L(x;y)8x2A;8y2B:
Exemple
4.3.1 Le point(0;0)est un point de selle de la fonctionL(x;y) =x2y2avec
A=B=Rcar
L(0;y) =y20 =L(0;0)x2=L(x;0)8x;y2R:
Théorème
4.3.1 Si(x;y)est un point de selle deL, alors
max y2Bminx2AL(x;y) = minx2Amaxy2BL(x;y) =L(x;y) Autrement dit, on peut inverser l"ordre duminet dumax.Démonstration:Montrons en premier que
max y2Bminx2AL(x;y)minx2Amaxy2BL(x;y):En effet, on a que
minx2AL(x;y)L(x;y)maxy2BL(x;y) Le membre de gauche est une fonction de y seulement. De même, pour le membre de droite qui est une fonction de x uniquement. Ceci implique max y2Bminx2AL(x;y)maxy2BL(x;y);8x2A et, en prenant le minimum par rapport àx, max y2Bminx2AL(x;y)minx2Amaxy2BL(x;y); d"où le résultat.4.3. THÉORIE DE LA DUALITÉ7
En deuxième, montrons que
minx2Amaxy2BL(x;y)L(x;y): En effet, selon la définition du point de selle, on a max y2BL(x;y) =L(x;y) =)L(x;y)minx2Amaxy2BL(x;y):De même, on a
min x2AL(x;y) =L(x;y) =)L(x;y)maxy2Bminx2AL(x;y):En recollant les morceaux, on obtient
d"où le résultat final.4.3.2 Fonction indicatriceSoitKRnun sous-ensemble quelconque et non vide.
Définition
4.3.2 La fonction indicatrice de l"ensembleKest définie par
IK(x) =0six2K,
1sinon.
La fonction indicatrice sert à enlever les contraintes. Pour un problème de minimisation, on a évidemment la relation minx2Kf(x) = minxf(x) +IK(x) Pour un problème de maximisation, on a plutôt max x2Kf(x) = maxxf(x)IK(x)Dans notre contexte de l"optimisation linéaire, on préfère ne pas enlever les contraintes de
positivitéx0. Ainsi les relations ci-dessus vont s"écrire min x2K x0f(x) = minx0f(x) +IK(x) de même pour un problème de maximisation.8CHAPITRE 4. DUALITÉ
Appliquons cette technique au cas de l"optimisation linéaire : minz=ctx; Axb; x0:Nous allons introduire la fonction Lagrangienne
L(x;y) =ctx+yt(bAx)8x2Rn;8y2Rm:
Le rôle de la fonctionLest de transformer le problème d"optimisation linéaire sous la forme min Axb; x0:c tx()minx0maxy0L(x;y) = minx0maxy0ctx+yt(bAx) Cela est possible grâce au résultat suivant. Lemme4.3.1 La fonction indicatrice deK=fx2RnjAxbgest donnée par
IK(x) = maxy0yt(bAx)
Démonstration:En effet, six2K,Axb)bAx0. Ory0, ce qui signifie que l"expressionyt(bAx)est toujours négative. Donc le maximum sera0. Au contraire, s"il existe un indiceitel que(Ax)i< bi)bi(Ax)i>0. Prenons desyde laforme(0;0;:::;0;yi;0;:::;0)avecyi>0. Il est clair quemaxy0yt(bAx) =1.De manière analogue, on a le résultat suivant pour un problème de maximum.
Lemme4.3.2 La fonction indicatrice deK0=fy2RmjAtycgest donnée par
IK0(y) =minx0xt(cAty)
Démonstration:La démonstration est tout à fait semblable.Théorème4.3.2 Théorème de la dualité (version faible)