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1 2

DualitéMichel Bierlaire3

3

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4

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LķĽĻ ʹ

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■Il est appelé le problème primal. ■Le problème relaxé est

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cas à éviter

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max pTb s.c. A

Tp £c

min cTx s.c. Ax = b x ³0DualPrimal 14

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15 •C ў Λ! Ό LΜ

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•C ў Λ! Ό LΜ

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max pTb s.c. A

Tp £c

p £0 min cTx s.c. Ax £b x ³0DualPrimal

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max pTb s.c. A Tp =c min cTx s.c. Ax = b x ÎIR n

DualPrimal

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20

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PRIMALDUAL

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PRIMAL minmax DUAL

³bi³0

contraintes£bi£ 0variables = bilibre

³0£cj

variables£0³cjcontraintes libre= cj 21

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22

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■C"est le problème de départ. 23

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■Introduisons les variables d"écart dans le primal, et déterminons le dual

PrimalDual

min cTx s.c. Ax ³b x ÎIR M1 N3 max pTb s.c. p ³0 A

Tp = c

24

DualitéMichel Bierlaire47

PrimalDual

min cTx + 0Ty s.c. Ax-y =b x ÎIR y ³0 M3 N3 N1 max pTb s.c. p ÎIR A

Tp = c

-p £0

DualitéMichel Bierlaire48

PrimalDual

min cTx+-cTx- s.c. Ax+-Ax-³b x +³0 x -³0 M1 N1 N1 max pTb s.c. p ³0 A

Tp £c

-A

Tp £-c

Les trois problèmes primaux sont

équivalents

Les trois problèmes duaux sont

équivalents

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S

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■Supposons que A soit de rang plein. ■Appliquons la méthode du simplexe avec la règle de Bland.

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Primal

Optimum fini Non borné Non admissible

Optimum fini

Non borné

Non admissible

Dual

PossibleImpossible

Impossible

ImpossibleImpossibleImpossible

PossiblePossible

Possible

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a1a2 a3 c

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a1a2 a3 p1a1p2a2 35

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S

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■Dual : 38

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■A est de rang plein ■x* est solution de base optimale non dégénérée ■B est la matrice de base correspondante

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1.53 1.5 3 x1x 2 s.c. z=-2 c=(-1,-1)T

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1.53 1.5 3 x1x 2 z=-2 d 1.53 1.5 3 x1x 2 z=-2 d 42

DualitéMichel Bierlaire83

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