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9. Distributions d'echantillonnage

MTH2302D

S. Le Digabel,

Ecole Polytechnique de Montreal

A2017 (v3)

MTH2302D: distributions d'echantillonnage1/46

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Plan 1.

Echantillons aleatoires

2. Statistiques et distributions echantillonnales

3. Distribution echantillonnale de la moyenne

4. Distribution echantillonnale de la variance

5. Loitde Student

6. Distribution echantillonnale d'une dierence de deux

moyennes

7. Distribution echantillonnale d'un rapport de variances

MTH2302D: distributions d'echantillonnage2/46

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1.

Echantillons aleatoires

2. Statistiques et distributions echantillonnales

3. Distribution echantillonnale de la moyenne

4. Distribution echantillonnale de la variance

5. Loitde Student

6. Distribution echantillonnale d'une dierence de deux

moyennes

7. Distribution echantillonnale d'un rapport de variances

MTH2302D: distributions d'echantillonnage3/46

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Introduction

But Tirer des conclusions au sujet d'une population sans avoir a examiner toutes les unites experimentales (dicile ou impossible).

Comment?

On preleve un sous-ensemble (echantillon) de la population et on tire des conclusions sur la population a partir des resultats obtenus avec l'echantillon. Par exemple, on estime la moyenne de la population avec la moyenne echantillonnale.

MTH2302D: distributions d'echantillonnage4/46

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Denition d'un echantillon aleatoire

Unechantillon aleatoirede taillende la variable aleatoireXest une suite de variables aleatoires independantesX1;X2;:::;Xn ayant toutes la m^eme distribution queX. Une suitex1;x2;:::;xnde valeurs prises par les v.a.Xiest une realisationde l'echantillon.

Remarque

On suppose habituellement que la population est innie ou que la taille de l'echantillon est beaucoup plus petite que la taille de la population.

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Exemple 1

On fait l'hypothese que la taille (en cm) des 4000 etudiants masculins d'une ecole de genie est une variable aleatoireX distribuee normalement, c'est-a-dire queXN(;2). Un echantillon aleatoire de taille50de cette population est une suite de 50 variables aleatoiresXiN(;2),i= 1;2;:::;50.MTH2302D: distributions d'echantillonnage6/46

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Parametres d'une population

I Une population (v.a.) estconnuesi on conna^t sa distribution, c'est-a-dire sa fonction de masse ou de densite. I En pratique on peut conna^tre une population seulement partiellement, c'est-a-dire qu'on conna^t la forme generale de sa distribution mais avec desparametresinconnus.Exemple 2 On fait l'hypothese que la taille des etudiant est distribuee normalement :XN(;2)mais on ne conna^t pas les parametreset2(moyenne et variance). Ce sont ces parametres que l'on cherche a estimer.

MTH2302D: distributions d'echantillonnage7/46

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1.

Echantillons aleatoires

2. Statistiques et distributions echantillonnales

3. Distribution echantillonnale de la moyenne

4. Distribution echantillonnale de la variance

5. Loitde Student

6. Distribution echantillonnale d'une dierence de deux

moyennes

7. Distribution echantillonnale d'un rapport de variances

MTH2302D: distributions d'echantillonnage8/46

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Denition d'une statistique

SoitX1;X2;:::;Xnun echantillon aleatoire d'une variable aleatoireX. Unestatistiqueest une fonctionh(X1;X2;:::;Xn)ne dependant que des variables aleatoiresXi.

Exemples de statistiques :

I

La moyenne echantillonnaleX=1n

n X i=1X i I

La variance echantillonnaleS2=1n1n

X i=1(XiX)2 I La mediane echantillonnale, etc.MTH2302D: distributions d'echantillonnage9/46

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Distribution echantillonnale

Notion importante

Puisque lesXisont des variables aleatoires, toute statistique est aussi une variable aleatoire et on s'interesse a sa distribution, appeleedistribution echantillonnale. Par exemple, on discute dans les prochaines sections de l'esperance et la variance de la moyenne et la variance echantillonnales, c'est a dire E(X), V(X), E(S2), et V(S2).MTH2302D: distributions d'echantillonnage10/46

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1.

Echantillons aleatoires

2. Statistiques et distributions echantillonnales

3. Distribution echantillonnale de la moyenne

4. Distribution echantillonnale de la variance

5. Loitde Student

6. Distribution echantillonnale d'une dierence de deux

moyennes

7. Distribution echantillonnale d'un rapport de variances

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Distribution echantillonnale de la moyenneX

SoitX1;X2;:::;Xnun echantillon aleatoire d'une v.a.Xde moyenne=E(X)et variance2=V(X).

SoitXla moyenne echantillonnale. Alors

1.E(X) =(Xest un estimateur non-biaise de)

2.V(X) =2n

Ces resultats decoulent directement des regles de combinaisons lineaires.

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Exemple 3

Une population est constituee des nombres 2, 3, 6, 8, 11. L'ensemble des echantillons (avec remise) de taille 2 est (2,2) (3,2) (6,2) (8,2) (11,2) (2,3) (3,3) (6,3) (8,3) (11,3) (2,6) (3,6) (6,6) (8,6) (11,6) (2,8) (3,8) (6,8) (8,8) (11,8) (2,11) (3,11) (6,11) (8,11) (11,11) .

Calculer

1.La moyenne et la variance de la population :et2.

2.L'esperance et la variance de la moyenne echantillonnaleX:

E(X)et V(X).MTH2302D: distributions d'echantillonnage13/46

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Distribution de la moyenneX(suite)

En utilisant le theoreme central limite, on peut donner la loi de probabilite de la moyenne echantillonnalle. Si l'echantillon est susamment grand,Xsuit approximativement une loi N(;2=n).

Remarques

I

On a aussi (approx.)nXN(n;n2).

I

SiXN(;2), alorsX, etnXsont exactement normales,

m^eme pour de petits echantillons.

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Distribution de la moyenneX(suite)

On peut egalement denir la variable aleatoire

Z=X= pn qui suit approximativement une loi N(0;1).

Remarques

I

SiXN(;2), alorsZest exactement normale, m^eme

pour de petits echantillons. I On appellepivotune variable aleatoire qui se calcule a partir d'une statistique et des parametres de la population. I Nous verrons qu'un pivot dont la loi de probabilite ne depend pas des parametres de la population permet de denir un intervalle de conance.MTH2302D: distributions d'echantillonnage15/46

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Exemple 4

Toujours avecXN(;2), supposons que l'on connaisse la moyenne et la variance de la population := 175et2= 102. On choisit 10 echantillons aleatoires de 50 etudiants chacun. Pour combien de ces echantillons s'attend-on a avoir une moyenne comprise entre 174 et 176 cm?

MTH2302D: distributions d'echantillonnage16/46

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1.

Echantillons aleatoires

2. Statistiques et distributions echantillonnales

3. Distribution echantillonnale de la moyenne

4. Distribution echantillonnale de la variance

5. Loitde Student

6. Distribution echantillonnale d'une dierence de deux

moyennes

7. Distribution echantillonnale d'un rapport de variances

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Distribution echantillonnale de la varianceS2

SoitX1;X2;:::;Xnun echantillon aleatoire d'une v.a.Xde moyenne=E(X), de variance2=V(X)et de coecient d'aplatissement2=4 4.

SoitS2la variance echantillonnale. Alors

1.E(S2) =2(S2est un estimateur non-biaise de2)

2.V(S2) =42n1+23n

Remarques

I On peut montrer (dicile!) queS2suit approximativement une loi normale pour de grands echantillons. I En supposant queXsuit une loi normale, on peut denir la distribution deS2pour de petits echantillons.MTH2302D: distributions d'echantillonnage18/46

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Exemple 5

Une population est constituee des nombres 2, 3, 6, 8, 11.

Les variances echantillonnales

S

2=121(X1X)2+ (X2X)2

des 25 echantillons (avec remise) de taille 2 sont :

0 0.5 8 18 40.5

0.5 0 4.5 12.5 32

8 4.5 0 2 12.5

18 12.5 2 0 4.5

40.5 32 12.5 4.5 0 .

Retrouver manuellement ces valeurs et calculer E(S2).MTH2302D: distributions d'echantillonnage19/46

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La fonction gamma

Rappel

Lafonction gammaest denie pour toutx >0par

(x) =Z 1 t=0tx1etdt:Proprietes

1.(1) = 1,

2.(1=2) =p,

3.(x) = (x1)(x1)pourx >1,

4.Six=n2Nalors(n) = (n1)!,

5.Voir page 139 (2eme edition) / page 142 (3eme edition).MTH2302D: distributions d'echantillonnage20/46

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La loi du khi-deux

SoitZ1;Z2;:::;Zkdes variables aleatoires independantes et identiquement distribuees selon une loi normale N(0;1). Alors la variable aleatoire

W=Z21+Z22++Z2k

suit uneloi du khi-deux akdegres de liberte. On noteW2k. La fonction de densite deWest f(w) =8 :12 k=2(k=2)w(k=2)1ew=2siw0,

0sinon.

Remarques:21(N(0;1))2et2k(k=2;1=2). De plus, sik=2 est entier, alorsX1+X2+:::+Xk=22kavecXiExp(1=2), i2 f1;2;:::;ng.MTH2302D: distributions d'echantillonnage21/46

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La loi du khi-deux (suite)

SoitW2k. Alors

1.E(W) =k.

2.V(W) = 2k.

3.Lequantile2;kest deni parP(W > 2;k) =avec

01.Calculs avec la loi du khi-deux

I Le tableau de la page 478 (2eme edition) / page 514 (3eme edition) donne les quantile de la loi du khi-deux. I

En R :2;kest donne par qchisq(1-,k).

I En Excel : LOI.KHIDEUX.INVERSE.DROITE(,k).Exemple 6 Calculer20:1;3etP(X11:07)siX25.MTH2302D: distributions d'echantillonnage22/46

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Additivite la loi du khi-deux

Theoreme

SoientW1;W2;:::;Wpdes v.a. khi-deux ak1;k2;:::;kpdegres de liberte respectivement. Alors

Y=W1+W2+:::+Wp

suit une loi du khi-deux ak=k1+k2+:::+kpdegres de liberte.MTH2302D: distributions d'echantillonnage23/46

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Additivite la loi du khi-deux

Application du theoreme d'additivite

SoitZ1;Z2;:::;Znun echantillon aleatoire deZN(0;1).

On denit

A=nX i=1Z

2i; B=nX

i=1(ZiZ)2etC=n(Z)2:

On peut montrer queA=B+C.

De plus,A2netC21.

On en deduit, d'apres le theoreme precedent, queB2n1, car

seule la loi2n1, additionnee a une loi21, peut donner une loi2n.MTH2302D: distributions d'echantillonnage24/46

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Distribution de la varianceS2(suite)Theoreme

SoitX1;X2;:::;Xnun echantillon aleatoire de taillend'une variable aleatoire normaleXN(;2)etS2la variance echantillonnale. Alors la variable aleatoire

W=(n1)S2

2 suit une loi khi-deux avecn1degres de liberte.MTH2302D: distributions d'echantillonnage25/46

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Distribution de la varianceS2(suite)

Le theoreme precedent nous permet de caracteriser la distribution echantillonnale deS2.

SoitW2n1, avec E(W) =n1et V(W) = 2(n1). On a :

I

P(S2b) =P(n1)S2

2(n1)b

2 =P

W(n1)b

2 I

E(S2) =E2n1W

=2n1E(W) =2 I

V(S2) =V2n1W

=4(n1)2V(W) =24n1 Remarque: Ces resultats ne sont valides que si la populationX suit une loi N(;2).MTH2302D: distributions d'echantillonnage26/46

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Exemple 7

On fait l'hypothese que la taille (en cm) des 4000 etudiants masculins d'une ecole de genie est une variable aleatoire normale

Xde moyenne 175 et variance102, c'est-a-dire

XN(= 175;2= 102).

On choisit 10 echantillons de taille 50 de la populationX. Pour combien de ces echantillons s'attend-on a avoir une variance echantillonnaleS2d'au plus 101?MTH2302D: distributions d'echantillonnage27/46

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1.

Echantillons aleatoires

2. Statistiques et distributions echantillonnales

3. Distribution echantillonnale de la moyenne

4. Distribution echantillonnale de la variance

5. Loitde Student

6. Distribution echantillonnale d'une dierence de deux

moyennes

7. Distribution echantillonnale d'un rapport de variances

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Loitde StudentRappel

SiX1;X2;:::;Xnest un echantillon aleatoire de taillende la variable aleatoireX, ou E(X) =et V(X) =2, alors Z=X= pn suit approximativement une loi N(0;1). Cette variable aleatoire est

un pivot permettant de denir unintervalle de conancepour.MTH2302D: distributions d'echantillonnage29/46

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Loitde Student (suite)

Si la variance2de la population n'est pas connue, on remplace par l'ecart-type echantillonalS=pS

2,S2etant la variance

echantillonnale.

On obtient alors la variable aleatoire

T=XS= pn Cette v.a. est approximativement normale sinest susamment grand. SiXN(;2), on peut montrer queTsuit une loi de Student. Cette loi est valide pour les petits et les grands echantillons.

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Loitde Student (suite)

SoitZune variable aleatoire normale N(0;1)etWune variable aleatoire khi-deux akdegres de liberte. SiZetWsont independantes alors la variable aleatoire

T=ZpW=k

suit uneloitde Student aveckdegres de liberte. On noteTtk.

La fonction de densite deTest

f(t) =k+12 pkk2 t2k + 1 k+12 pour toutt2R.MTH2302D: distributions d'echantillonnage31/46

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Loitde Student (suite)

SoitTtk. Alors

1.E(T) = 0.

2.V(T) =kk2pourk >2(variance innie pourk= 1et2).

3.On denit lequantilet;kdeTparP(T > t;k) =avec

01.Propriete

La fonction de densitef(t)est symetrique par rapport a sa moyenne 0 et alorst;k=t1;k.Theoreme La loitkest approximativement identique a une loi normale N(0;1)quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35