[PDF] [PDF] Exercices - Calcul dintégrales : corrigé Intégration par - Gecifnet

[PDF] Exercices - Calcul dintégrales : corrigé Intégration par - Gecifnet

Exercices - Calcul d'intégrales : corrigé Intégration par parties - Changements de variable Exercice 1 - Changements de variables - Niveau 1 - L1/Math Sup - ⋆

[PDF] Exercices sur lintégration Changement de variables, intégration par

Calcul différentiel et intégral Exercices sur l'intégration Changement de variables, intégration par parties, primitives Exercice 1 Soit f : R → R une fonction 

[PDF] Feuille dexercices 2 : Analyse – Intégrale

Exercice 4 Calculer les intégrales suivantes en effectuant le changement de variables recommandé I1 = ∫ π 0 dx 2 + cos(x) , poser t = tan(x/2) I2 = ∫ π/2 0

[PDF] Chapitre 22 INTÉGRATION Enoncé des exercices

Exercice 22 24 La règle de Bioche indique qu'il faut utiliser (pour les deux intégrales) le changement de variables u = cosx qui est C1 sur R du = −sin (x) dx

[PDF] 14-integration-corriges - Optimal Sup Spé

b)xH1 dt (VXE ) (on pourra effectuer le changement de variable u = V1-21 ) 4 Primitives de fonctions rationnelles en sin et cos © Calculer les intégrales 

[PDF] Calcul intégral Exercices corrigés - Free

Calcul intégral corrigés en divisant par h (attention au changement de sens des inégalités : h est négatif) En faisant un changement de variable de la forme

[PDF] Exercices sur les changements de variable

Exercices sur les changements de variable Exercice 1 1) A l'aide d'une intégration par parties, retrouver la valeur de , où a et b sont deux nombres réels  

[PDF] Chapitre 11 Exemples de calculs dintégrales

6 Exercices corrigés 2 Plan du pair, on effectue le changement de variable X = sin(x) (Bioche) Exercice 4 - Calcul d'intégrales par changement de variable

[PDF] Calcul intégral - Corrigés de quelques exercices

gα,β = 1/fα,β est intégrable sur [0,π] Le changement de variable t = tan x est approprié lorsque l'intégrande est périodique de période π On obtient: ∫ π 0 dx

[PDF] Exercices supplémentaires - Calcul intégral

i) Faire le changement de variable : u = √ et + 1 k) Faire la décomposition en éléments simples l) Faire deux intégrations par parties Exercice 2 Calculer les 

[PDF] intégrale complexe exercices corrigés pdf

[PDF] intégrale d'une fonction paire sur un intervalle symétrique

[PDF] intégrale de f x g x dx

[PDF] intégrale de lebesgue cours

[PDF] integrale de lebesgue exercice corrigé

[PDF] integrale de riemann exercices corrigés pdf

[PDF] intégrale définie exercices corrigés

[PDF] integrale double exercice avec corrigé

[PDF] integrale egale a 0

[PDF] intégrale généralisée exercice corrigé pdf

[PDF] intégrale indéfinie

[PDF] integrale nulle

[PDF] intégration de l'approche genre dans les projets de développement

[PDF] intégration des irlandais aux etats unis

[PDF] intégration des tice dans l'enseignement

Exercices - Calcul d"intégrales: corrigéIntégration par parties - Changements de variable Exercice 1- Changements de variables - Niveau 1-L1/Math Sup-?

1. La fonctiont?→⎷test une bijection de classeC1de[1,4]sur[1,2]. On peut donc poser

u=⎷t. Lorsquet= 1,u= 1et lorsquet= 4,uvaut 2. De plus, on a

1-⎷t⎷t

=1-uu et u=⎷t=?t=u2=?dt= 2udu.

On en déduit que

4

11-⎷t

t dt=? 2 11-uu 2udu 2

1(2-2u)du

2u-u2?2

1=-1

2. La fonctionx?→exréalise une bijection de[1,2]sur[e,e2]. Effectuons le changement de

variablesu=exdans l"intégrale, de sorte quedu=exdx. Il vient 2 1e x1 +exdx=? e2 edu1 +u=?ln|1 +u|?e2 e= ln?1 +e21 +e? Exercice 2- Changements de variables - Niveau 2-L1/Math Sup-??

1. La fonctionx?→lnxréalise une bijection de[1,e]sur[0,1]. On pose doncu= lnxde

sorte quedu=dxx . De plus, lorsquexvaut 1,uvaut 0 et lorsquexvaute,uvaut1. On trouve donc ?e

1(lnx)nx

dx=? 1 0undu

1n+ 1.

2. La fonction à intégrer est définie et continue sur]0,+∞[. On se limite donc à calculer

l"intégrale recherchée pourx >0. La fonctiont?→⎷e t-1est une bijection de[1,x]sur [⎷e-1,⎷e x-1]. Posantu=⎷e t-1, on a du=et2 ⎷e t-1dt d"où

F(x) = 2?

⎷e x-1 ⎷e-1duu

2+ 4= arctan?

⎷e x-12 -arctan? ⎷e-12 .http://www.bibmath.net1

Exercices - Calcul d"intégrales: corrigéExercice 3- Changements de variables - Recherche de primitives-L1/Math Sup-

1. La fonctionx?→lnxx

est définie et continue sur]0,+∞[, intervalle sur lequel on cherche à calculer une primitive. Pour cela, on fait le changement de variablesu= lnx, de sorte quedu=dxx et on trouve ?lnxx dx=? udu 12 u2+C 12 (lnx)2+C.

2. La fonctionx?→cos(⎷x)est définie et continue sur]0,+∞[, intervalle sur lequel on cherche

à calculer une primitive. Pour cela, on effectue le changement de variablesu=⎷x, de sorte quex=u2ou encoredx= 2udu. On trouve alors cos(⎷x)dx= 2? ucos(u)du = 2[usinu]-2? sin(u)du = 2usinu+ 2cosu+C = 2⎷xsin(⎷x) + 2cos(⎷x) +C (on a aussi effectué une intégration par parties). Exercice 4- Intégration par parties - Niveau 1-L1/Math Sup-?

1. La fonctionx?→arctanxétant continue surR, elle admet une primitive sur cet intervalle.

On intègre par parties en posant :

u(x) = arctanx u?(x) =1x

2+1v?(x) = 1v(x) =x

de sorte que arctantdt=xarctanx-?xx 2+ 1. La primitive que l"on doit encore rechercher est de la formeg?/g, et donc arctantdt=xarctanx-12 ln(x2+ 1).

2. La fonctionx?→(lnx)2étant continue sur]0,+∞[, elle admet des primitives sur cet

intervalle. On se restreint à cet intervalle et on intègre par parties en posant : u(x) = (lnx)2u?(x) = 2lnxx v?(x) = 1v(x) =xhttp://www.bibmath.net2 Exercices - Calcul d"intégrales: corrigéde sorte que (lnt)2dt=x(lnx)2-2? lntdt. Une primitive dex?→lnxétantx?→xlnx-x(résultat qui se retrouve en intégrant par parties), on trouve finalement qu"une primitive dex?→(lnx)2est x?→x(lnx)2-2xlnx+ 2x.

3. On va intégrer par parties deux fois. On travaille sur l"intervalle]0,+∞[, là où la fonction

est bien définie et continue. On pose alors : u(x) = sin(lnx)u?(x) =1x cos(lnx) v ?(x) = 1v(x) =x de sorte que sin(lnx)dx=xsin(lnx)-? cos(lnx). On intègre une deuxième fois par parties en posant u

1(x) = cos(lnx)u?1(x) =-1x

sin(lnx) v ?1(x) = 1v1(x) =x de sorte que cos(lnx)dx=xcos(lnx) +? sin(lnx).

En mettant tout cela ensemble, on trouve

sin(lnx)dx=xsin(lnx)-xcos(lnx)-? sin(lnx) soit sin(lnx) =x2 ?sin(lnx)-cos(lnx)?. Exercice 5- Intégration par parties - Niveau 2-L1/Math Sup-??

1. On intègre par parties, en posantu?(x) =xetv(x) = (arctanx)2. On av?(x) =2arctan(x)x

2+1, et ceci nous incite à considérer comme primitive deu?la fonctionu(x) =12 (x2+1), ce qui va simplifier les calculs. On obtient alors I=12 ?(x2+ 1)(arctanx)2?1 0-? 1

0arctanx.

On calcule la dernière intégrale en réalisant à nouveau une intégration par parties, et on

trouve :

I=π216

-?xarctanx?1 0+? 1 0xx

2+ 1dx

π216

-π4 +12 ?ln(x2+ 1)?1 0

π216

-π4 +12 ln2.http://www.bibmath.net3

Exercices - Calcul d"intégrales: corrigé2. La fonctionf:x?→xlnx(x2+1)2est continue sur]0,1], et elle tend vers 0 en 0. On peut donc

la prolonger par continuité à[0,1]en posantf(0) = 0, ce qui donne un sens àJ. Pour calculer cette intégrale, on va intégrer par parties entrea >0et1, pour ne pas être gêné par les problèmes en 0. On pose doncJ(a) =?1 axlnx(x2+1)2, puis : u(x) = (lnx)v?(x) =x(x2+1)2 u ?(x) =1x v(x) =-12(x2+1) ce qui donne

J(a) =?

-lnx2(x2+ 1)? 1 a +12 1 adxx(x2+ 1).

De plus,

1x(x2+ 1)=1x

-xx 2+ 1 de sorte que 1 adxx(x2+ 1)=? lnx-12 ln(x2+ 1)? 1 a =-12 ln2-ln(a) +12 ln(1 +a2).

On obtient donc que

J(a) =lna2(a2+ 1)-ln24

-lna2 +14 ln(1 +a2). Reste à faire tendreavers 0. Pour cela, on factorise parlna, et on trouve

J(a) =-a2ln(a)2(a2+ 1)-ln24

+14 ln(1 +a2). Commea2ln(a)tend vers 0 lorsqueatend vers 0, de même queln(1 +a2), on conclut finalement que

J=-ln24

Exercice 6- Une suite d"intégrales-L1/Math Sup-?? Pour(n,p)?N?×N, l"applicationx?→xn(lnx)pest définie et continue sur]0,1]. De plus,

les théorèmes de comparaison usuels entraînent que cette fonction se prolonge par continuité en

0 (remarquons l"importance den >0). Ceci justifie l"existence deIn,p. Pour calculerIn,p, nous

allons réaliser une intégration par parties. On la réalise entrea >0et1, pour prendre garde au fait que la fonction logarithme n"est pas définie en 0. On remarque aussi queIn,0=1n+1, et donc il suffit de traiter le casp >0.

On pose donc

I n,p(a) =? a

0xn(lnx)pdx

puis u(x) = (lnx)pv?(x) =xn u ?(x) =p(lnx)p-1x v(x) =xn+1n+1.http://www.bibmath.net4 Exercices - Calcul d"intégrales: corrigéOn trouve alors, I n,p(a) =1n+ 1? xn+1(lnx)p?1 a-pn+ 1? 1 axn(lnx)p-1dx=-an+1n+ 1-pn+ 1In,p-1. On passe à la limite en faisant tendreavers 0, et on trouve : I n,p=-pn+ 1In,p-1.

On trouve alors

I

n,p=(-p)×(-(p-1))× ··· ×(-1)(n+ 1)×(n+ 1)× ··· ×(n+ 1)In,0=(-1)pp!(n+ 1)p×1n+ 1=(-1)pp!(n+ 1)p+1.

Exercice 7- Une autre suite d"intégrales-L1/Math Sup-??

On pose, pour(α,β,n,m)?R2×N2,

I m,n=?

α(t-α)m(t-β)ndt.

On intègre par parties pour obtenir une relation entreIm,netIm-1,n+1, et on trouve I m,n=? (t-α)m(t-β)n+1n+ 1? -mn+ 1?

α(t-α)m-1(t-β)n+1dt

=-mn+ 1Im-1,n+1.

D"autre part, pour toutp?N, on a

I 0,p=?

α(t-α)pdt=-(α-β)p+1p+ 1.

Une récurrence immédiate donne alors

I m,n= (-1)m+1m(m-1)...1(n+ 1)(n+ 2)...(n+m)(α-β)m+n+1m+n+ 1. En particulier, l"intégrale recherché vautIn,n, c"est-à-dire I n,n= (-1)n+1n!(n+ 1)...(2n)(α-β)2n+12n+ 1= (-1)n+1(α-β)2n+1(2n+ 1)?2n n?

Fractions rationnelles

Exercice 8- Fractions rationelles - Niveau 1-L1/Math Sup-?http://www.bibmath.net5

Exercices - Calcul d"intégrales: corrigé1. On commence par faire apparaître au numérateur la dérivée du dénominateur.

3x+ 2x

2+x+ 1=32

×2x+ 1x

2+x+ 1+12

×1x

2+x+ 1.

On intègre alors. Pour la première partie, c"est facile, car : ?2x+ 1x

2+x+ 1= ln|x2+x+ 1|.

Pour la seconde, on se ramène à écrire le dénominateur sous la formeX2+ω2, ce qui nécessite en plus un changement de variables. Ici, on ax2+x+ 1 =? x+12 2+34 soit, avec le changement de variablesu=x+ 1/2, ?dxx

2+x+ 1=?duu

2+? ⎷3 2

2=2⎷3

arctan?2u⎷3 =2⎷3 arctan?2x+ 1⎷3 Finalement, une primitive de la fonction recherchée est x?→32 ln|x2+x+ 1|+1⎷3 arctan?2x+ 1⎷3

2. C"est plus facile, car le numérateur est une constante. On écrit simplement quex2+4x+5 =

(x+ 2)2+ 1et la méthode précédente donne ?dxx

2+ 4x+ 5= arctan(x+ 2).

3. On commence par effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.

On trouve que

x

3+ 2x= (x-1)(x2+x+ 1) + 2x+ 1

d"oùx3+ 2xx

2+x+ 1=x-1 +2x+ 1x

2+x+ 1.

Une primitive est donc la fonction

x?→x22 -x+ ln|x2+x+ 1|.

4. On sait que la fraction rationnelle peut s"écrire

2x-1(x+ 1)2=ax+ 1+b(x+ 1)2.

Par identification (par exemple...), on trouve quea= 2etb=-3. Une primitive de la fonction est donc x?→2ln|x+ 1|+3x+ 1. Exercice 9- Fractions rationelles - Niveau 2-L1/Math Sup-?http://www.bibmath.net6

Exercices - Calcul d"intégrales: corrigé1. Le dénominateur se factorise en(x-1)(x2+x+ 1). On cherche alors à écrire

1x

3-1=ax-1+bx+cx

2+x+ 1.

Par identification (par exemple...) on trouvea= 1/3,b=-1/3etc=-2/3, soit 1x

3-1=13

×1x-1-13

×x+ 2x

2+x+ 1.

On cherche alors à faire apparaître la dérivée dex2+x+ 1pour faciliter l"intégration, et

on trouve1x

3-1=13

×1x-1-16

×2x+ 1x

2+x+ 1-12

×1x

2+x+ 1.

Pour intégrer le dernier terme, on écrit

x

2+x+ 1 =?

x+12 2 ⎷3 2 2 ce qui donne finalement qu"une primitive de la fonction est x?→13 ln|x-1| -16 ln|x2+x+ 1| -1⎷3 arctan?2x+ 1⎷3

2. C"est assez difficile si on ne pense pas à faire un changement de variables. On peut en

effet poseru=x2, et ?x(x2-4)2dx=12

1(u-4)2du=-12(u-4)=-12(x2-4).

Exercice 10- Grande puissance-L1/Math Sup-??

Une intégration par parties donne

I n=?x(x2+ 1)n? 1 0 + 2n? 1

0x(x2+ 1)n+1dx=12

n+ 2n? 1

0x(x2+ 1)n+1dx.

Or, ?1 0x

2(x2+ 1)n+1=?

1 0x

2+ 1(x2+ 1)n+1-?

1

01(x2+ 1)n+1dx=In-In+1.

Regroupant les termes, on trouve

2nIn+1= (2n-1)In+12

n??In+1=2n-12nIn+1n2n+1.

Sachant queI1=π4

, on trouve I

2=π8

+14 etI3=3π32 +14 Avec la fonction exponentiellehttp://www.bibmath.net7

Exercices - Calcul d"intégrales: corrigéExercice 11- Fonction exponentielle - Niveau 1-Math Sup/L1-?

1. La fonctionx?→1coshxest continue surR(le dénominateur ne s"annule pas). Une primitive

est par exemple la fonctionFdéfinie par x?→? x

01coshtdt=?

x

02et1 +etdt.

On calcule cette intégrale à l"aide du changement de variablesu=et(la fonctiont?→et est une bijection de classeC1de[0,x]sur[1,ex], de bijection réciproqueu?→lnu). On en déduit que

F(x) =?

ex

12du1 +u2=?2arctan(u)?ex

1= 2arctan(ex)-π2

2. On réalise là-aussi le changement de variablesu=ex,du=exdxsoitdx=du/uet on

trouve :?11 +exdx=?1u(1 +u)du ?1u -11 +u? du = ln ?u1 +u? +C = ln ?ex1 +ex? +C.

3. On peut intégrer par parties, ou rechercher une primitive de la même forme, c"est-à-dire

une fonctionF:x?→ex(ax3+bx2+cx+d). On a alors F ?(x) =ex?ax3+ (3a+b)x2+ (2b+c)x+ (c+d)?. Par identification, on trouve queFest une primitive dex?→ex(2x3+3x2-x+1)lorsque a= 2,3a+b=-3,2b+c= 5etc+d= 1, soita= 2,b=-3,c= 5etd=-4. Les primitives sont donc les fonctions x?→ex(2x3-3x2+ 5x-4) +C. Exercice 12- Fonction exponentielle - Niveau 2-Math Sup/L1-?

1. On poseu=ex, de sorte que

?coshx-1coshx+ 1exdx=?u2-2u+ 1u

2+ 2u+ 1du

du-?4u(u+ 1)2du =u-?4u+ 1+?4(u+ 1)2 =u-4ln(1 +u)-41 +u+C =ex-4ln(1 +ex)-41 +ex+C.http://www.bibmath.net8

Exercices - Calcul d"intégrales: corrigé2. Le changement de variables le plus malin ici estu= sinhx, de sorte que

dxcoshx=coshxdxcosh

2x=du1 +u2.

On en déduit :

?1coshx(1 + sinhx)dx=?du(1 +u2)(1 +u) =?-u/2 + 1/2u

2+ 1du+?1/21 +udu

-14 2uu

2+ 1du+?12

duu

2+ 1+12

ln|1 +u| -14 ln(u2+ 1) +12 arctan(u) +12 ln|1 +u|+C -12 ln(coshx) +12 arctan(sinhx) +12 ln|1 + sinhx|+C. Exercice 13- Exponentielle et trigonométrique-Math Sup/L1-?

1.Iest égal à?e(J)avecJ=?π

0x2e(1+i)x(on a posécosx=?e(eix)). En intégrant par

parties, on trouve

J=?x2e(1+i)x1 +i?

0 -21 +i?

0xe(1+i)xdx

=-π2eπ1 +i-21 +i?

0xe(1+i)xdx.

On fait une deuxième intégration par parties pour calculer cette dernière intégrale, et on

trouve

0xe(1+i)xdx=?xe(1+i)x1 +i?

0 -11 +i?

0e(1+i)xdx

=-πeπ1 +i-1(1 +i)2? e(1+i)x?π 0 =-πeπ1 +i+i2 (1-eπ). Regroupant tous les termes, et multipliant par la quantité conjuguée au dénominateur,quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1