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R (i e h' = f), alors h ◦ ϕ est une primitive de la fonction (f ◦ ϕ) × ϕ' sur J R une fonction continûment dérivable sur un intervalle J et telle que ϕ(J)= I (i e l' image Soit f une fonction continue et paire définie sur l'intervalle [ − a, a] Alors

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Chapitre 4 : Intégrale d'une fonction continue sur un segment et dérivation Analyse Soit I un intervalle de R, et R → If: Soit f une fonction définie sur I, où I est un intervalle C) Application aux fonctions paires, impaires, périodiques Proposition : Soit I un intervalle de R contenant 0 et symétrique par rapport à 0 Soit

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On désigne par I un intervalle de R non vide et non réduit `a un point 1 Primitives PRIMITIVES ET INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE 403 vérifiée par toute forme bilinéaire symétrique et positive : Si g est paire alors ∫ a −a

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limites soient égales, l'intégrale n'est donc définie que pour les fonctions intégrables Montrer que si f est une fonction intégrable et paire sur l'intervalle [ −a,a] alors ∫ a −a (on prendra une subdivision symétrique par rapport à l' origine)

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8 nov 2011 · Soit D une subdivision pointée de l'intervalle [a, b] et f une fonction de [a, L' intégrale sur [0,1] d'une fonction paire est positive ou nulle Les racines de Pn sont dans l'intervalle [−1,1], et réparties de façon symétrique par

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3 jan 2018 · fonction est monotone (c'est-`a-dire d'intervalles sur lesquels la dérivée a un signe constant) Pour cela, Le 1 3 Réduction du domaine d'étude d'une fonction : parité, périodicité, symétrie 5 1 A quoi sert le calcul intégral? La seule fonction `a la fois paire et impaire est la fonction nulle x ↦→ 0

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18 mar 2014 · Définition 1 : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ;b] Le problème : Calculer l'intégrale de la fonction carrée f sur [0; 1] Il s'agit D Démonstration : La première propriété se montre facilement par symétrie avec Si une fonction est paire, alors d'après la relation de Chasles, on a : ∫

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1 Primitives d'une fonction continue sur un intervalle 1 1 1 Définition et 2 2 4 Exemple d'application : formule de Taylor avec reste intégral Fonction paire Fonction De plus, l'équivalence en a est symétrique, ce qui signifie que : f ∼ a

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Nous allons définir l'intégrale d'une fonction comme l'aire entre l'axe horizontal et sa courbe Soit f une fonction en escalier sur un intervalle [a,b] qui est constante égale `a fi sur fε(x)dx ≤ ε Mais avec l'argument symétrique, on a inversement s'il est pair, on n'aura un développement que sur les cos(lx) Par ailleurs, `a 

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Intégrale de Kurzweil-Henstock des fonctions dérivées des formules explicites sur un nombre fini d'intervalles successifs Ainsi, ce et, de manière symétrique, la somme supérieure est elle aussi majorée uniformément : Démontrer l' inégalité de Cauchy-Schwarz du Théorème 5 14 satisfaite par les paires de fonc-

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I R f:IÑR aPI

xÞÝÑż x a f(t)t I@xPI,[a,x

Ø]ĂI

f f x0PI F x0 F1(x0) =f(x0)

F(x)´F(x0)

x´x0´f(x0)xPItx0u ĕ 0 x x0

F(x)´F(x0)

x´x0´f(x0) =ε(x)

Ñ0)

F(x)´F(x0)´(x´x0)f(x0)xPIztx0u

x a f(t)t´ż x0 a f(t)t´(x´x0)f(x0)ˇˇˇˇ x x

0f(t)t´(x´x0)f(x0)ˇˇˇˇ

x x

0(f(t)´f(x0))tˇˇˇˇ

x x |F(x)´F(x0) tP[x,x0Ø]|f(t)´f(x0)| ÝÝÝÝÑxÑx00 εą0 αą0 @xPI,|x´x0| ăαùñ |f(x)´f(x0)| ăεα f x0 xPI |x´x0| ăα @tP[x,x0Ø]|x0´t| ăα @tP[x,x0Ø]|f(t)´f(x0)| ăε @εą0,Dαą0,@xPI,( f I ɍI f I aPIF:IÝÑR xÞÝÑż x a f(t)t f [a,x x0PIhą0 S= [x0´h,x0+h]XI xPS x x tPS|f(t)|

F S x0 F x0

F x0PIɍf

l l 1 x

0´h

x 0 x 0+h f x0 $ % x0,l1 x0,l

F f]x0´h,x0[ ]x0,x0+h[

F x0 ĕ

xÑx0xăx0F 1(x) looooomooooon l=F1(x0) =xÑx0xąx0F 1(x) looooomooooon l 1 f I f I

G fI fI G+

aPIxÞÑż x a

G f a,bPI şb

af(t)t=G(b)´G(a) [G(t)]b a

ĕ aPIF:xÞÑż

x a f(t)t f

FG fI

@tPI,F1(t) =G1(t) @tPI,(F´G)1(t) = 0 F´G= I

G G+

xÞÑż x a a şb af(t)t=F(b) =G(b)´G(a)

F:xÞÑż

x 0 e´t2t tÞÑe´t2 RF

φ:xÞÑż

x2 xe t t´1t

şx2

xet t´1t f:tÞÑet t´1 x,x2

D=]´1,+8[zt1u

φ D φ1(x)

]1,+8[ @xP]1,+8[,φ(x) =F(x2)´F(x)ĕ ĕ φ ]1,+8[ xP]1,+8[

1(x) = 2xF1(x2)´F1(x) =2xex2

x

2´1´ex

x´1 ]´1,1[ f [a,b]oef [a,b] f [a,b]oef [a,b] f [a,b]

F ĕ F1(c)ɍc

F:xÞÑ$

%x 21
x

2xP]0,1]

0x= 0

F ]0,1]

@xP]0,1],F1(x) = 2x1 x

2´2

x 3x21 x

2= 2x1

x

2´2

x 1 x 2 xP]0,1]F(x)´F(0) x´0=x1 x

2ÝÝÝÑxÑ00 F 0F1(0) = 0

g:xÞÑ$ %2x1 x

2xP]0,1]

0x= 0 [0,1]

G xP[0,1]

2 x 1 x

2=G1(x)´F1(x)

xÞÑ$ %2 x 1 x

2xP]0,1]

0x= 0 [0,1] G´F

f D F fD f I F xÞÑxn, nPN R xÞÑxn+1 n+ 1+ xÞÑx´n, ně2 R xÞÑx´n+1

´n+ 1+

xÞÑx´1 R R xÞÑx+ xÞÑ(´x) +, xÞÑ|x|+ xÞÑxα, αPRzt´1u R xÞÑxα+1

α+ 1+

xÞÑex R xÞÑex+ xÞÑx R xÞÑx+ xÞÑx R xÞÑ ´x+ xÞÑx R xÞÑx+ xÞÑx R xÞÑx+ xÞÑ1 1 +x2 R xÞÑx+ xÞÑ1

1´x2

]´1,1[ xÞÑx+ xÞÑx+ xÞÑ1 1 +x2 R xÞÑx+ xÞÑ1 x

2´1

]1,+8[ ]´ 8,´1[ xÞÑx+ xÞÑ ´(´x) + xÞÑ1

1´x2

]´ 8,´1[,]´1,1[,]1,+8[ ]´1,1[ ]1,+8[,]´ 8,´1[ xÞÑ ´1 2 |1´x|+1 2 |1 +x|+ xÞÑx+ xÞÑx+ xÞÑx I k=]´π 2 +kπ,π 2 +kπ[ xÞÑ ´|x|+ a,bPR fg C1 [a,b şb af(t)g1(t)t= [f(t)g(t)]b a´şb af1(t)g(t)t tÞÑf(t)g1(t)tÞÑf1(t)g(t) [a,b tÞÑf1(t)g(t) +f(t)g1(t) tÞÑf(t)g(t) şb a(f(t)g1(t) +f1(t)g(t))t= [f(t)g(t)]b a 1 0 tt= f(t)=t f1(t)=1 t 2+1 g

1(t)=1g(t)=t[tt]1

0´ż

1 0t

1 +t2t=π

4 ´1 2 [(1 +t2)]1

0=π

4 ´1 2 2 xPR ā x 0 tt=xx´1 2 (1 +x2) +loomoon =0 xÞÑż x 0 tt xÞÑxx´1 2 (1 +x2) xxlooooooomooooooon =xx´1 2 (1 +x2) + 1tt= f(t)=t f1(t)=1 t g1(t)=1g(t)=t[tt]x

1´şx

1t=xx´x+ 1

nPN āZzt´1u x 1 tntt=[tn+1 n+ 1t] x 1 x 1t n+1 n+ 11 t t=1 n+ 1( x n+1x´xn+1 n+ 1) +loomoon 1 (n+1)2 n=´1şx 1t t t=[2t]x

1´şx

1t t 1t t t=1 2 2x xPRnPN In(x) =şx

0tnett

I n+1(x) =ż x 0 tn+1ett=[tn+1et]x

0´(n+ 1)ż

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