[PDF] INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES - Institut de Mathématiques de PDF intgen1.pdf

Corrigé de l'exercice 1 1 (i) Posons f(x) = e−x La fonction f est continue sur [0 ;+ ∞[ donc pour étudier la conver- gence de l'intégrale, il suffit de se préoccuper

Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? vers une limite finie 0 donc l'intégral converge, soit on applique les règles de Riemann en 0 avec = 1 2 < 1 1

[PDF] Exercices corrigés - Math-Eco

Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? vers une limite finie 0 donc l'intégral converge, soit on applique les règles de Riemann

[PDF] INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES - Institut de Mathématiques de

Corrigé de l'exercice 1 1 (i) Posons f(x) = e−x La fonction f est continue sur [0 ;+ ∞[ donc pour étudier la conver- gence de l'intégrale, il suffit de se préoccuper

[PDF] Séries et intégrales généralisées, Cours et exercices d - USTO

proposé sans retourner au corrigé Les solutions 6 5 Intégrale des fonctions de signe quelconque 6 6 Intégrales généralisées dépendant dfun paramètre

[PDF] TD1 - Intégrales généralisées Exercice 1 Montrer que les intégrales

dx est une intégrale généralisée convergente Exercice 3 Etudier la convergence des intégrales généralisées dépendantes d'un paramètre suivantes : (a) ∫ 1

[PDF] 1 Intégrales généralisées - LMPA - ULCO

exp(−t)dt = 1 et une intégration par parties nous montre que In+1 = (n + 1)In, ce qui donne In = n Exercice 13 Montrer que l'intégrale ∫ 1 0 ln(t)

[PDF] Suites, Séries, Intégrales Cours et exercices - webusersimj-prgfr

2 8 Corrigé des exercices sur le Chapitre 2 42 3 Intégrale de Riemann et intégrale généralisée 47 3 1 Intégrales des fonctions en escalier

[PDF] Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 8 - Walanta

Intégration : intégrale de Riemann, primitives, intégrales généralisées Objectifs : Savoir étudier une fonction définie par une intégrale dépendant de l'une de

[PDF] Feuille dexercices 2 : Analyse – Intégrale

fa(x)dx = π Exercice 8 1 Considérons une fonction ψ continue, des fonctions f,g dérivables, et définissons φ : x

[PDF] Exercices sur les intégrales impropres

Définition de l'absolue convergence d'une intégrale généralisée * Propriétés à connaître par cœur Théorèmes de comparaison pour les fonctions positives

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

§ 1. - Calcul d"intégrales généralisées par primitivation . . . . . . . 1 § 2. - Nature d"intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . 3 § 3. - Exercices complémentaires (plus diciles) . . . . . . . . . . .6

§ 1. -

Calcul d"intégrales généralisées par primiti vationExercice 1.1.Convergence et calcul des intégrales suivantes.(i)Z

+1 0 exdx. (ii)Z +1 1dxx 2. (iii)Z 1 0dxpx .(iv)Z +1

1dx1+x2.

(v)Z +1 0 xex2dx. (vi)Z +1 0 xex.(vii)Z +1 0e arctanx1+x2dx. (viii)Z +1 2dxx 21.
(ix)Z 4

0cosxpsinx.On rappelle quearctanA!A!+12

etarctanA!A!12 .Corrigé de l"exercice 1.1. (i)Posonsf(x)=ex. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Si

A>0, on aZA

0 exdx=[ex]A

0=1eA!A!+11;

donc l"intégrale est convergente et Z +1 0 exdx=1. (ii)Posonsf(x)=1x de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. SiA>1, on aZA 1dxx 2=" 1x A 1 =11A !A!+11; 1 donc l"intégrale est convergente et Z +1 1dxx 2=1. (iii)Posonsf(x)=1px . La fonctionfest continue sur ]0;1] donc pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de 0. Si 0< " <1, on aZ 1 "dxpx =h2px i 1 "=22p"!"!02; donc l"intégrale est convergente et Z 1 0dxpx =2. (iv)Posonsf(x)=11+x2. La fonctionfest continue sur ]1;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1et de

1. SiA>0>B, on a

Z A

Bdx1+x2=[arctanx]AB=arctanAarctanB!A!+12

arctanB B!+12 2 donc l"intégrale est convergente et Z +1

1dx1+x2=.

(v)Posonsf(x)=xex2. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit

A>0; puisquef(x)=xex2est de la forme12

u0eu, elle se primitive en12 euet donc : Z A 0 xex2=" 12 ex2#A 0 =12 12 eA2!A!+112 donc l"intégrale est convergente et Z +1 0 xex2dx=12 (vi)Posonsf(x)=xex. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit

A>0; pour calculerRA

0xex, on fait une intégration par parties en dérivantxet en inté-

grantex: Z A 0 xex=[xex]A 0+Z A 0 exdx=AeA+[ex]A

0=AeAeA+1!A!+11;

donc l"intégrale est convergente et Z +1 0 xex=1. (vii)Posonsf(x)=earctanx1+x2. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit A>0. Puisquef(x) est de la formeu0euelle se primitive eneu: Z A 0e arctanx1+x2dx=hearctanxiA

0=earctanA1!A!+1e=21;

donc l"intégrale est convergente et Z +1 0e arctanx1+x2dx=e=21. 2 (viii)Posonsf(x)=1x

21. La fonctionfest continue sur [2;+1[ donc pour étudier la conver-

gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit

A>0. Décomposonsf(x) sous la formex+1+x1:

21=x+1+x1()1x

21=(x1)+(x+1)x

21
1x

21=(+)+()x

21
()(+=0 =1()(= 2=1 ()=12 et=12 et donc 1x 21=12
1x112

1x+1; par suite :

Z A 2dxx 21=12
Z A

2dxx112

Z A

2dxx+1=12

[lnjx1j]A 212
[lnjx+1j]A 2 12 (ln(A1)ln1)12 (ln(A+1)ln3)=12 lnA1A+1+12 ln3

A!+112

ln3; car

A1A+1=11A

1+1A !A!+11 donc lnA1A+1!A!+1ln1=0. Par suite, l"intégrale converge etZ+1 2dxx 21=12
ln3. (ix)Posonsf(x)=cosxpsinx. La fonctionfest continue sur ]0;4 ] (car sinx>0 sur ]0;2 [) donc pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de 0. Soit 0< " <4 . La fonctionfest de la formeu0pu avecu(x)=sinxdonc sequotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

[PDF] [PDF] INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES - Institut de Mathématiques de

[PDF] Intégrales Généralisées - Licence de mathématiques Lyon 1