[PDF] Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 8 - Walanta PDF daniel-alibert-cours-et-exercices-corrigc3a9s-volume-8.pdf

Intégration : intégrale de Riemann, primitives, intégrales généralisées Objectifs : Savoir étudier une fonction définie par une intégrale dépendant de l'une de

Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? vers une limite finie 0 donc l'intégral converge, soit on applique les règles de Riemann en 0 avec = 1 2 < 1 1

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Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? vers une limite finie 0 donc l'intégral converge, soit on applique les règles de Riemann

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Corrigé de l'exercice 1 1 (i) Posons f(x) = e−x La fonction f est continue sur [0 ;+ ∞[ donc pour étudier la conver- gence de l'intégrale, il suffit de se préoccuper

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proposé sans retourner au corrigé Les solutions 6 5 Intégrale des fonctions de signe quelconque 6 6 Intégrales généralisées dépendant dfun paramètre

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dx est une intégrale généralisée convergente Exercice 3 Etudier la convergence des intégrales généralisées dépendantes d'un paramètre suivantes : (a) ∫ 1

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exp(−t)dt = 1 et une intégration par parties nous montre que In+1 = (n + 1)In, ce qui donne In = n Exercice 13 Montrer que l'intégrale ∫ 1 0 ln(t)

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2 8 Corrigé des exercices sur le Chapitre 2 42 3 Intégrale de Riemann et intégrale généralisée 47 3 1 Intégrales des fonctions en escalier

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Intégration : intégrale de Riemann, primitives, intégrales généralisées Objectifs : Savoir étudier une fonction définie par une intégrale dépendant de l'une de

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fa(x)dx = π Exercice 8 1 Considérons une fonction ψ continue, des fonctions f,g dérivables, et définissons φ : x

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Définition de l'absolue convergence d'une intégrale généralisée * Propriétés à connaître par cœur Théorèmes de comparaison pour les fonctions positives

Daniel ALIBERT

Intégration : intégrale de Riemann, primitives, intégrales généralisées. Objectifs : Savoir étudier une fonction définie par une intégrale dépendant de l"une de ses bornes. Savoir calculer une primitive, une intégrale de Riemann. Savoir étudier une intégrale généralisée (ou impropre).

Organisation, mode d"emploi

Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu en vue d"un usage pratique simple. Il s"agit d"un livre d"exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l"accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l"assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d"enseignement auprès de ces étudiants, et de l"observation des difficultés qu"ils rencontrent dans l"abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu"ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu"ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c"est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. L"ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants.

Ce livre comporte trois parties.

La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu"aux connaissances qu"un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l"énoncé correspondant. L"autre moitié est formée d"énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s"agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d"autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d"explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d"exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie

3 - 2.

Certains livres d"exercices comportent un grand nombre d"exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l"étudiant en mathématiques. Ce n"est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d"une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l"éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d"entre eux, à s"interroger sur ce qu"il a de général (on l"y aide par quelques commentaires)

Table des matières

1 A Savoir ........................................................................... 7

1-1 Intégrale de Riemann ...................................... 7

1-2 Intégrale fonction de la borne supérieure -

Primitives .............................................................. 11

1-3 Intégrales généralisées .................................. 21

2 Pour Voir ....................................................................... 25

2-1 Intégrale de Riemann .................................... 25

2-2 Intégrale fonction de la borne supérieure -

Primitives .............................................................. 59

2-3 Intégrales généralisées .................................. 88

3 Pour Comprendre et Utiliser ......................................... 97

3-1 Énoncés des exercices ................................... 97

3-2 Corrigés des exercices ................................. 109

1 A Savoir

Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.

1-1 Intégrale de Riemann

Définition

On appelle subdivision de [a , b] une famille finie :

L = (a = a0, a1,..., an = b)

On pose Li = [ai-1 , ai], et mes(Li) = ai - ai-1.

Ce nombre est la mesure du segment Li. Par convention, l"ensemble vide a une mesure égale à 0. La mesure d"un segment est un nombre réel positif ou nul.

Définition

Soit f : [a , b] --. R une fonction, on dit que f est une fonction en escalier, s"il existe une subdivision L telle que f soit constante sur chaque partie ]ai-1 , ai[, lorsque ce segment n"est pas vide. Dans ce cas, on note, par abus d"écriture, f(Li) la valeur de cette constante. La fonction f et la subdivision sont dites adaptées.

Proposition et

Définition

Soit f une fonction en escalier sur [a , b]. Le nombre : fLi( ) i=1 i=n∑ai-ai-1() est indépendant du choix de la subdivision adaptée L. Il s"appelle l"intégrale de f sur [a , b], on le note : f a,b[ ]∫.

Proposition

La somme de deux fonctions en escalier sur le même segment est une fonction en escalier, et l"intégrale sur ce segment de la somme de deux fonctions est la somme de leurs intégrales. Le produit de deux fonctions en escalier est une fonction en escalier, mais l"intégrale d"un produit n"est pas égale, en général, au produit des intégrales.

Proposition

Si f est une fonction en escalier à valeurs positives ou nulle, son intégrale est positive ou nulle. Si f et g sont des fonctions en escalier sur le même segment [a , b], et si pour tout x de [a , b], f(x) ≥ g(x), alors l"intégrale de f est supérieure ou

égale à l"intégrale de g.

A partir de la définition de l"intégrale d"une fonction en escalier, on construit l"intégrale d"autres fonctions.

Soit f : [a , b]

→ R une fonction bornée.

On note E

-(f) l"ensemble des fonctions en escalier sur [a , b] inférieures à f, et E +(f) l"ensemble des fonctions en escalier sur [a , b] supérieures à f.

On note :

S -(f) = {g a,b[ ]∫ / g Î E-(f)}, et : S +(f) = {g a,b[ ]∫ / g Î E+(f)}. On notera que ces ensembles ne sont pas vides, puisque f est bornée. Tout élément de l"ensemble S+(f) est supérieur à tout élément de l"ensemble S -(f).

Définition

Soit f : [a , b] → R une fonction bornée, on dit que f est intégrable (au sens de Riemann) si sup(S-(f)) = inf(S+(f)). Ce nombre s"appelle l"intégrale de f sur [a , b], et se note fa,b[ ]∫. Il existe des fonctions qui ne sont pas intégrables au sens de Riemann.

Théorème

Soit f : [a , b] → R une fonction continue, alors la fonction f est intégrable sur [a , b].

Proposition

1) Si f, f1 et f2 sont intégrables sur [a , b], alors f1 + f2 et lf (l réel

quelconque) sont également intégrables.

2) On a les égalités :

f1+f2()=a,b[ ]∫f1()+a,b[ ]∫f2(),a,b[ ]∫ lf( )=lf( )a,b[ ]∫a,b[ ]∫.

Proposition

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Daniel ALIBERT

Organisation, mode d"emploi

Ce livre comporte trois parties.

3 - 2.

Table des matières

1 A Savoir ........................................................................... 7

1-1 Intégrale de Riemann ...................................... 7

1-2 Intégrale fonction de la borne supérieure -

1-3 Intégrales généralisées .................................. 21

2 Pour Voir ....................................................................... 25

2-1 Intégrale de Riemann .................................... 25

2-2 Intégrale fonction de la borne supérieure -

2-3 Intégrales généralisées .................................. 88

3 Pour Comprendre et Utiliser ......................................... 97

3-1 Énoncés des exercices ................................... 97

3-2 Corrigés des exercices ................................. 109

1 A Savoir

1-1 Intégrale de Riemann

Définition

L = (a = a0, a1,..., an = b)

On pose Li = [ai-1 , ai], et mes(Li) = ai - ai-1.

Définition

Proposition et

Définition

Proposition

Proposition

égale à l"intégrale de g.

Soit f : [a , b]

On note E

On note :

Définition

Théorème

Proposition

1) Si f, f1 et f2 sont intégrables sur [a , b], alors f1 + f2 et lf (l réel

2) On a les égalités :

Proposition