Intégrale d'une fonction continue par morceaux Figure 1 – L'intégrale simple d' une fonction positive est l'aire hachurée b/ Théorème de l'intégrale nulle
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Intégrale d'une fonction continue par morceaux Figure 1 – L'intégrale simple d' une fonction positive est l'aire hachurée b/ Théorème de l'intégrale nulle
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On utilise la définition de l'intégrale et le fait que si F et G sont des primitives de il est parfois intéressant de prendre pour fonction u la primitive de u nulle en a
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constante sur chaque intervalle ouvert d'une subdivision subordonnée est nulle) Etude : Soit f continue par morceaux sur [ ] ba, (et non continue) Soit )
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Définition 6 1 : intégrale absolument convergente, fonction intégrable sur I Théorème L'intégrale de f sur [a,b] est alors strictement positive et donc non nulle
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9 mai 2012 · croissante, ayant une limite nulle en +∞ Soit g une fonction continue sur [a,+∞[, telle que la primitive ∫ x a g(t)dt soit bornée Alors l'intégrale
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4 mai 2012 · Cette convention est cohérente avec le fait que l'intégrale sur un intervalle de longueur nulle vaut nécessairement 0 ∫ b a f(x)dx + ∫ a
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Définition-théorème (Intégrale d'une fonction en escalier) Soient f : [a, b] −→ en escalier et (x0, , Ici, f est continue et d'intégrale nulle, MAIS n'est pas nulle
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C'est une fonction en escalier d'intégrale nulle g=g-f+f est la somme de deux fonctions continues par morceaux donc g est une fonction continue par morceaux et
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Intégrale sur un segment [a;b]5-1Sommaire
1. Intégrale defcontinue1
1.1. Intégrale defcontinue par morceaux. . 1
1.2. Interprétation géométrique
. . . . . . . . 11.3. Sommes de Riemann
. . . . . . . . . . . . 21.4. Propriétés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Inégalités
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Dérivation et Intégration5
2.1. Changement de variables
. . . . . . . . . 52.2. Inégalité des accroissements finis. . . . 62.3. Formules de Taylor
. . . . . . . . . . . . . 62.4. Intégration et étude locale
. . . . . . . . 73. Recherche de primitives7
3.1. Fraction rationnelle enx(ou ent...). . . 7
3.2. Fractions rationnelles diverses
. . . . . . 73.3. Polynômeexponentielle. . . . . . . . . 8
3.4. Primitives usuelles
. . . . . . . . . . . . . 81. Intégration d"une fonction continue sur [a;b]1.1. Intégrale d"une fonction continue par morceauxThéorème :(de Darboux)
Toute application continue sur un intervalle admet une primitive de classeC1sur cet intervalle.Ce théorème est admis.
Définition :fcontinue sur[a;b], à valeur dans(ou). F une primitive def, on appelleintégrale defsur[a;b]:Z b a f(t)dt= F(b)F(a)Il n"est pas nécessaire d"avoira < b, et on a immédiatement :Z a b f(t)dt=Z b a f(t)dt1.2. Interprétation géométrique
L"intégrale simple sur [a;b] defest l"airealgébriqueentre le graphe defet l"axe des abscisses. Quand la f onctionest positiv e,comme sur la figure 1 , page suivante, l"aire algébrique se confond avec l"aire géométrique, c"est à dire l"aire hachurée. Quand la f onctionest de signe v ariable,comme sur la figure 2 , page suivante, l"aire algébrique estla différence des aires géométriques au dessus et en dessous de l"axe des abscisses, c"est à dire des
aires hachurées.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
5-2Intégrale sur un segment [a;b]y
x a b y=f(x) 01Figure1 -L"intégrale simple d"une fonction positive est l"aire hachuréey
x a by=f(x) 01Figure2 -L"intégrale est la différence des aires hachurées en bleu et vert1.3. Calcul approché d"intégrales et sommes de Riemann
On va faire un calcul approché de la valeur d"une intégrale defsur[a;b]en divisant l"intervalle[a;b]
ennparties égales. Les bornes de ces parties sont donca+kban pourk2f0;1;:::; ng.Surchacundecesintervallesdelargeur
ban a+(k1)ban ; a+kban ,définispourk2f1;2;:::; ng,on approxime la fonction par la valeur à une de ses deux bornes. Ce qui donne :Théorème :fcontinue sur[a;b]
lim n!1ban n X k=1f a+kban = lim n!1ban n1X k=0f a+kban =Z b af(t)dtCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Intégrale sur un segment [a;b]5-3Si de plusfest monotone, une figure montre facilement que l"une des deux sommes est un majorant,
l"autre un minorant de l"intégrale. Enfin, quand [a;b]=[0;1], on obtient des sommes particulières appelées sommes de Riemann :Théorème :fcontinue sur[0;1], alors : limn!11n n X k=1f kn = lim n!11n n1X k=0f kn =Z 1 0 f(t)dtExemple :Cherchons limn!1n P k=1nn 2+k2On écrit :
nP k=1nn2+k2=1n
n P k=111 + kn2et on reconnait une somme de Riemann pour la fonctionf
définie parf(t)=11 +t2sur[0;1]:On a bien une fonction continue sur[0;1]:La somme converge donc vers
Z 1011 +t2dt=4
1.4. Propriétés
a/ LinéaritéThéorème :f ;g:[a;b]!, intégrables sur[a;b],2, alors Z b a f(t)dt=Z b a f(t)dt Z b a (f+g)(t)dt=Z b a f(t)dt+Z b a g(t)dtb/ Conjugaison Théorème :f:[a;b]!, intégrable sur[a;b], alors Z b af (t)dt=Z b a f(t)dtc/ Relation de Chasles Théorème :f:[a;b][[a;c][[c;b]!, intégrable, alorsZb a f(t)dt=Z c a f(t)dt+Z b cf(t)dtDémonstration :Ces théorèmes se montrent facilement en prenant F et G des primitives defetget
en remarquant queF est une primitive def.Exemple :CalculonsZ 10dtt+ iqui est bien l"intégrale d"une fonction continue sur[0;1]:
Attention, le logarithme n"est défini que sur+;ceci nous oblige à séparer la partie réelle et la partie
imaginaire.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
5-4Intégrale sur un segment [a;b]Z
10dtt+ i=Z
1 0tit2+ 1dt=Z
1 0tt2+ 1dtiZ
1 01t2+ 1dt
12 lnt2+ 11 0 i[arctan(t)]10=12 ln(2)i41.5. Inégalités
a/ CroissanceThéorème :f:[a;b]!, intégrable sur[a;b], positive sur[a;b],a < b, alors :Z b af(t)dt>0Démonstration :Sur chaque[ai1;ai];Fiest croissante car de dérivée positive, d"où le résultat.b/ Théorème de l"intégrale nulle
Théorème :f:[a;b]!:8
>>>><>>>>:fcontinuesur[a;b];Zb a jf(t)jdt= 09>>>>=>>>>;) 8t2[a;b]; f(t)= 0Démonstration :F, une primitive dejfj, est croissante vérifiant F(b)= F(a), donc F est constante, de
dérivéejfjnulle sur l"intervalle, et donc,fest nulle sur l"intervalle.c/ Majoration en valeur absolue
Théorème :a < b,
f:[a;b]!, intégrable sur[a;b], alorsjfjest intégrable sur[a;b], et :Z b a f(t)dt 6Z b ajf(t)jdtDémonstration :On définitf+(t)= max(f(t);0)etf(t)= max(f(t);0), deux fonctions positives,
on af(t)=f+(t)f(t)etjf(t)j=f+(t)+f(t)Zb a f(t)dt=Z b a f+(t)dtZ b a f(t)dtetZ b a jf(t)jdt=Z b a f+(t)dt+Z b a f(t)dt, ce qui assure le résultat car ces deux intégrales sont positives.d/ Majoration en moduleThéorème :a < b,
f:[a;b]!, intégrable sur[a;b], alorsjfjest intégrable sur[a;b], et :Z b a f(t)dt 6Z b ajf(t)jdtDémonstration :Admis.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Intégrale sur un segment [a;b]5-5e/ Première inégalité de la moyenneThéorème :a < b
f:[a;b]!, intégrable sur[a;b], alors : Z b a f(t)dt6(ba)sup
t2[a;b]jf(t)jDémonstration : Z b a f(t)dt 6Z b a jf(t)jdt6Z b a sup t2[a;b]jf(t)jdt=(ba)sup t2[a;b]jf(t)jf/ Inégalité de Cauchy-Schwarz Théorème :a < b,f ;g:[a;b]!, intégrables sur[a;b], alors : Z b a f(t)g(t)dt 6sZ b a f2(t)dtsZ b a g2(t)dtDémonstration : Zb a (f(t)+g(t))2dt=2Zb a f2(t)dt+ 2Z b a f(t)g(t)dt+Z b a g2(t)dt>0 pour tout, d"où 4 Zb a f(t)g(t)dt! 2 Z b a f2(t)dtZ b a g2(t)dt60 qui permet de conclure.2. Dérivation et Intégration2.1. Changement de variablesThéorème :fcontinue sur[a;b],'de classeC1sur[;], avec'([;])[a;b], alorsZ
f('(t))'0(t)dt=Z '()f(u)duLe changement de variable est doncu='(t)dont on vérifiera qu"il est bien de classeC1sur l"intervalle de variation det. Démonstration :Si F est une primitive def, alors F'est une primitive de(f')'0, d"oùZ f('(t))'0(t)dt= F'()F'()= F('())F('())=Z '()f(u)duExemple :CalculonsZ =2011 + costdtqui est bien l"intégrale d"une fonction continue sur
0;2Comme on le verra dans la suite, on poseu= tant2
ce qui donne cost=1u21 +u2et dt=2 du1 +u2;on n"oublie pas de changer les bornes, et on obtient Z =2011 + costdt=Z
1 011 +1u21 +u2
2 du1 +u2=Z
1 0 du= 1:Les calculs ne s"arrangeront pas toujours aussi bien!Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr