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Chapitre5

Méthodesd'intégrationnumérique

Lebut

Lebu tdecechapitre estd'abord erlecalc ulgénéraldel'intégraled 'unefonctionf(x)surundomai ne

finidéli mitépardesbornesfiniesaetb(lescasd esbornes infiniesn'est doncpascouvertic i): I= b a f(x)dx.(5.1)

Lesm otivations

Danscertain scastrèslimités,unetell eintégral epeutêtrecal culéeanalytiquement(àla main).Cep en-

dant,cen'estquetrès rar ementpossibl e,etlepl ussouventundes cassuivantsseprésente: longuesàévaluer -Cet teintégralen 'apasd'expressionanalytiqu e(parexem plelafon ctionerreur:Erf(x)= 2 x 0 e "x !2 dx Danstousce scas,on préfèreracalcu lernumériqu emen tlavaleurdel'intégraleI.

Lepri ncipe

L'idéeprincipalee stdetrouverdesmétho desquipermette ntdecalc ulerrapidementune valeurapproc hée

Idel' intégraleàcalculer:

I!I(5.2)

Commetoujour s,unprogrammenumériquen'in venter ien,etnefaitqueprocédertrè srapidementàuncalcul

quel'onpourrait enp rincipefaireàlamain .Uneméth odebienconnueconsis teparexem ple àdivis erl'aire

sousla courbeenu ngrandnombredepet its rectanglesd'ai re I k etdel essommer .Lerésult at I= k I k

estalor suneapproximati ondel 'intégraleI.Ce tteapproxima tionestd'autantmeilleurequelalargeurhdes

rectanglestendvers0,c'es tàdire:lim h$0 I=I.Ce tteméthodedi tedesrect anglesestunex emple parmi

d'autres.Nouslereverr ons,maisnousver ronsaussid' autresméthodes,plusgénéralesetpl usperformantes .

Pourpresqu etouteslesméthodes(s auflaméthodedeMonte -Carlo), l'intégralenumériqueestca lculéeà

partirdel'évaluatio ndel afonctionf(x)enunnom brede pointn+1distincts:f k =f(x k ),k"[0,n].Elle s'écritalors:

I=(b#a)

n k=0 w k f k (5.3) 33
UniversitéPaulSabatier2014-2 015CHAPITRE5.MÉ THODESD'INTÉGRATIONNUMÉRIQUE

Danscecas ,onparled eméthodesde quadrature.

Nousallonsvoir 4typesd eméthode sdi

érentes:

1.1-Lesmétho desdeNewto n-Cotessimples

1.2-Lesméth odesdeNewt on-Cotescomposites

1.3-Lesméth odes deGauss-Legendre

1.4-Lesmétho desdeMont e-Carlo

Performances

Lape rformanced'uneméthodesejuge encomparant

•lapré cisiondurésultat:Celle-cisecaractérise enesti mantl'erreur!entrel'approximati onetlavaleur

réelledel'intégrale : !=I#

I(5.4)

Lav aleurdel'erreurnep eutpasê trecalculéeexactemen tpuisqu'e ngénéral,onneconn aîtpasl'inté-

graleIquel'onche rch eàcalculer.Cependant,une majoratio npeutsouventêtree stiméeenétudiant

ledé veloppementensériedeTaylordelafonctionf(x).

•Larapid itéd'exécutionnécessairepouratteindr ecerésultat.D emanièregénérale,toutesles méthode s

peuventatteindredetrè sgrandesprécisions.Cependan t,let empsdecalcul augmenteaveclapréci- sion.Cetempsn'a ugm entepasdelamêm emanièrepourtouteslesméthodes sibienque certai nes s'avèrentpluse cacesque d'autres.Enpar ticulier,letempsde cal culdesméthodesdequadratureest proportionnelaunombredepointsoùlafo nctionf(x)estév aluée.

5.1LoisdeN ewton-Cotessi mples

Commenousall onslevoir,le sméthodesdeNewton- Cotessimplesneper mettentpas,àelles-seules, d'atteindredesprécisionssu santessurdesinterv all es[a,b]finisetneson tdonc jama isutiliséesda nsce

cas.Enr evanc he,ellesdeviennentprécisesl orsque|b#a|$0,etellesconstituentalorslabaseélémentaire

desmétho descompositesprésentéesdanslasectio nsuivant e.

5.1.1Princ ipe

Leprin cipegénéraledesméthodes deNewton-Cotessimplesestd 'approxim erlafonctionf(x)àinté-

grerpar unpolynômeP(x)!f(x).Sicetteapproximationestsu"sammentbonnealors,l'intégraledece polynôme I= b a

P(x)dx(5.5)

seraunebonneappr oxi mationdeI= b a valeurexactede I.Danscesméthodes,onchoisitdespolynômesdedegrépquicoïnc identavecf(x)enp+1

pointsdistincts ,espacésrégulièremententreles bornesaetb.Ces point ssontsituésauxposi tions:

{x k =a+kh,k"[0,p]}avech= b#a p (5.6)

Onaalors %k"[0,p]P(x

k )=f k =f(x k

Despolynôme sdedegrésdi

érentsdéfinisse ntdesméthodesdi

érentesauxperformances di

érentes.

Nousallonsvoir lesplusc ourantes,c 'estàd irelesméthodes d'ordreslesplusbas. 34
CHAPITRE5.MÉTHODES D'INTÉGR ATIONNUMÉRIQUEUniversit éPaulSabatier2014-2015

5.1.2Méth odedurectangle(p=0)

Cetteméthodeu tiliselepolynômedede gréleplusbas,àsavoir lepolyn ômeconstant: P 0 (x)=f(a)=f 0 .(5.7)

L'intégraleapproché e

I 0 b a P 0 (x)dxsecalc ulealorstrivial e- mentetdonne: I 0 =(b#a)f 0 (5.8)

Ils' agitdel'airedurec tangle .

Cetteintégral enumériquenécessiteuneuniq ueévaluationdelafonctionf(enx 0 =a)etreprésentedonc cequ' onpeutfairedepl usrapide.

L'erreurpeutêtrees timéeenutilisantlesd éveloppe mentsensériedeTa yloroulethéorè medesaccrois-

sementsfinisontrouv ealorspour h=b#a: &""[a,b]! 0 h 2 2 f (")c.a.d.|! 0 h 2 2 Sup [a,b] (|f |)(5.9)

Démonstration:Pourcalcul erl'erreur,onpeututilis erlethéorèmedesaccroisseme ntsfini s:!x"[a,b],#!"[a,b]

telque : f(x)=f(a)+(x$a)f Enremplaça ntdansl'expressiondel'intégrale etdel'erreur,ontrouve: "=I$ I b a (f(x)$P0(x))dx= b a (f(x)$f(a))dx b a (x$a)f (!)dx=f b"a 0 xdx (b$a) 2 2 f h 2 2 f L'erreur!n'estpasco nnuecarla valeurde""[a,b]resteindétermin ée.Cependant,onpeutlamajorer

parlaplusg randeval eurde ladérivéesurledoma ineconsidéré.Quelquesremar quessur cetteerreur :

-Cet teméthoded'i ntégrationestexactep ourtouteslesfonctionsfconstantes(danscecas! 0 =0 puisquequ'ellesv érifientf =0).Dans lecasplu sgén éralcettemé thodeestd'autant pluspréciseque lesvariationsd efsontfaibles( f petit). -Plusledomaine[a,b]estpetit ,plusl'erreurestfa ible.Cetteer reurdécroitenh 2 35
UniversitéPaulSabatier2014-2 015CHAPITRE5.MÉ THODESD'INTÉGRATIONNUMÉRIQUE

5.1.3Méth odedupointmilieu(p=0)

Cetteméthode utiliseégalementlepol ynômeconstantpour approximerlafonctionf.Cep endant,elleexploitemieuxle s symétriesduproblèmeenchoisissant lav aleurmilieu: P 0 !(x)=f a+b 2 =f 0 .(5.10)

L'intégraleapproch ée

I 0 b a P 0 (x)dxsecalcul ealorstrivi a- lementetdonne: I 0 !=(b#a)f 0 (5.11) Ils' agitdel'airedurect angle .Cetteméthodenécess iteun euniqueévaluationdelafonction f(enx 0

L'erreurpeutêtrees timéeenutilisantlesd éveloppe mentsensériedeT aylor,ouleth éorèmedesaccrois-

sementsfinis.Ontr ouvealorsp ourh=b#a: &""[a,b]! 0 h 3 24
f (")c.a.d.|! 0 h 3 24
Sup [a,b] (|f |)(5.12)

Démonstration:Pourcalcul erl'erreur,onpeututilis erlethéorèmedesaccroisseme ntsfini saudeuxième ordre:

!x"[a,b],#!"[a,b]telque: f(x)=f a+b 2 x$ a+b 2 f a+b 2 x$ a+b 2 2 f 2 Enremplaça ntdansl'expressiondel'intégrale etdel'erreur,ontrouve: "=I$ I b a (f(x)$P0(x))dx= b a f(x)$f a+b 2 dx b a x$ a+b 2 f a+b 2 x$ a+b 2 2 f 2 dx =f a+b 2 $"b"a 2 b"a 2 xdx+ f 2 "b"a 2 b"a 2 x 2 dx=0+ f 3 b$a 2 3 h 3 3 f L'erreur!n'estpasconn uecarlav aleurde""[a,b]resteindétermin ée.Cependant,onpeutlamajorer

parlaplus grandeva leurdeladér ivéesecondesurledomai neconsidéré.Quelquesr emarq uessurcette

erreur: pourlesfo nctionsa nes(dansc ecas! 0 !=0puisqu'ellesvérifientf =0). (f petit). -Plusledomaine[a,b]estpetit ,plusl'erreurestfa ible.Cetteer reurdécroitenh 3 ,c'estàdireplusvite quel'erreu rdelaméthodepréc édente: ! 0 0 petits,laméthodedupo intmil ieuesttoujourspluspr éciseq uelaméthode précédente. 36
CHAPITRE5.MÉTHODES D'INTÉGR ATIONNUMÉRIQUEUniversit éPaulSabatier2014-2015

5.1.4Méth odedutrapèze(p=1)

Pourapprox imerlafonctionf,cetteméthodeutiliselepolynôme d'ordre1(ladroite)q uipasse parf 0 =f(a)etf 1 =f(b): P 1 (x)= f 0 +f 1 2 f 1 #f 0 b#a x# a+b 2 (5.13)

L'intégraleapproché e

I 1 b a P 1 (x)dxsecalcul ealorsmathéma- tiquementougéométriquemente tdon ne: I 1 =(b#a) f 0 +f 1 2 (5.14)

Ils' agitdel'airedutrap èze.Ce tteméthodenécessit edeux évaluationsdelafonction f(enaetenb).Elle

estdoncen grosdeux foispl uslenteq ueles méthodespr écédentes.

L'erreurpeutêtrees timéeenutilisantlesd éveloppe mentsensériedeT aylor,ouleth éorèmedesaccrois-

sementsfinis.Ontr ouvealors 1 pourh=b#a: &""[a,b]! 1 h 3 12 f (")c.a.d.|! 1 h 3 12 Sup [a,b] (|f |)(5.15) L'erreur!n'estpasconn uecarlav aleurde""[a,b]resteindétermi née.Cependant,onpeutlamajorer

parlaplus grandev aleurde ladérivéesecondesurledomaine considéré.Lesremarquessurl 'err eursontles

mêmesque pourlaméthodedu pointmilieu.Enpr écision,cettemétho deestdoncéquiv alenteà celledu

pointmilieu( ! 1 0 !),maise llees tdeuxf oispluslente.

5.1.5Méth odedeSimpsonsimple(p=2)

Pourapprox imerlafonctionf,cetteméthodeutiliselepolynômededegré2(laparabole)quipassepar lestroispoin tsf 0 =f(a),f 1 =f a+b 2 etf 2 =f(b): P 2 (x)=2 f 2 #2f 1 +f 0 (x 2 #x 0 2 (x#x 1 2 f 2 #f 0 x 2 #x 0 (x#x 1 )+f 1 (5.16)

L'intégraleapproch ée

I 2 b a P 2 (x)dxsecalcul ealorssimple- mentetdonne: I 2 =(b#a) f 0 +4f 1quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1