Figure 5 3 – Méthode composite de Simpson (p = 2) pour m = 3 intervalles (c'est à dire n = 6 sous- intervalles et n +1=7 points au total) À nouveau, l'erreur est
Intégration numérique Le but de ce chapitre est Proposition 5 – La valeur approchée de l'intégrale de f sur I par la méthode de Simpson est alors donnée par
Les probl`emes de quadrature (intégration) numérique se rencontrent lorsque la fonction EXEMPLE : Calcul de l'erreur dans la formule de Simpson sur [−1,1]
Alors r est appelé degré d'exactitude de la formule de quadrature En prenant pour ˜ I les formules simples du rectangle, des trapèzes et de Simpson, on peut
FiGURe 4 5 – Méthode de Simpson Le programme Matlab suivant correspond à l'exemple de f(x)=3x2 + 2x Programme Matlab function I=Simpson(a,b,n) h=(b-a)/
Intégration par quadrature simple (2) Formule de Simpson ▷ Popularisée pas Simpson mais utilisée par Kepler 100 ans plus tôt ▷ Interpolation de f par un
1Principes des methodes numeriques2ExemplesMethode des rectangles a gauche
Methodes des rectangles a droite
Methode du point milieu
Methode des trapezes
3Calculs d'erreursRectangles
Trapezes
Majoration de l'erreur theorique
4La methode de SimpsonIntegration numerique
Integration numerique
Principes des methodes numeriques
Soitf: [a;b]!Rune fonction continue. On cherche a calculer une valeur approchee de Z b a f(t)dt
Pour cela on choisit une subdivision
a=a0Integration numerique
Principes des methodes numeriques
Idee : sur un tel \petit" intervalle, on approche l'integrale en \moyennant"f, c'est-a-dire, en ecrivant que, sur le petit intervalle, la valeur \moyenne" defest donnee par iX j=0! ijf(ij) ouij2[ai;ai+1], 0j`ietP`ij=0!ij= 1. Cela revient a prendre`ivaleurs defet a leur aecter des coecients (en!ij= 1=nij) pour renforcer ou minimiser certaines de ces valeurs.Cas le plus simple
On subdivise ennsegments egaux
a
i=i0< i1<< in=ai+1et on prend!ij=1n+1,8j. AlorsP!ijf(ij) =P1n+1f(ij) qui est bien la moyenne desf(ij).Integration numerique
Integration numerique
Principes des methodes numeriques
En appliquant ce qui precede au calcul de l'integrale defsur [ai;ai+1], on obtient : Z ai+1 a if(t)dt=(ai+1ai)` iX j=0! ijf(ij)Remarque Sif(x) = 1 sur tout le segment [ai;ai+1], on obtient Z ai+1 a if(t)dt= (ai+1ai)X! ij1 = (ai+1ai):
Le resultat est donc exact.
Integration numerique
Integration numerique
Exemples
EXEMPLES (retour au global : integrer sur un segment [a;b]) :
Cas le plus simple :`i= 0, pour tout i.
Autrement dit : un seul pointi2[ai;ai+1],!i0= 1, alors : Z b a f(t)dt=k1X i=0(ai+1ai)f(i):
On approche donc par une
somme de Riemann
Integration numerique
Integration numerique
Exemples
Methode des rectangles a gauche
i=ai:Methode des rectangles a gauche
On obtient alors :
Z b a f(t)dt=k1X i=0(ai+1ai)f(ai) Autrement dit, si on prend une subdivision reguliere, c'est-a-dire quea0=a;a1=a+bak ;:::;ak=b=a+kbak Z b a f(t)dt=bak k1X i=0f(a+ibak )Integration numerique
Integration numerique
Exemples
Methodes des rectangles a droite
i=ai+1:Methode des rectangles a droite
On obtient alors :
Z b a f(t)dt=k1X i=0(ai+1ai)f(ai+1)
Autrement dit, compte tenu du fait que
a
0=a;a1=a+bak
;:::;ak=b=a+kbak Z b a f(t)dt=bak k X i=1f(a+ibak Ces deux methodes sont ditesd'ordre zerocar elles donnent un resultat exact sur les polyn^omes de degre 0, les constantes.
Integration numerique
Integration numerique
Exemples
Methode du point milieu
i=ai+ai+12
Methode du point milieu. On peut verier que cette
methode est exacte sur les polyn^omes de degre 1, elle est donc d'ordre 1
On obtient alors :
Z b a f(t)dt=k1X i=0(ai+1ai)f(i) et, par consequent : Z b a f(t)dt=bak k1X i=0f(a+(2i+ 1)(ba)2k) Remarque: Notons que cette methode revient a la methode generale avec`i= 0, en choisissant pour pointi0=ai+ai+12 .Integration numerique
Integration numerique
Exemples
Methode des trapezes
Cas d'une interpolation lineaire :`i= 1;8i
Faisonsi0=ai;i1=ai+1et identions le graphe defavec le segment determine par les points (ai;f(ai));(ai+1;f(ai+1)). Cela revient a remplacerfpar la fonction lineaire p(t) =(tai)f(ai+1)(tai+1)f(ai)a i+1aiOn obtient ainsi lamethode des trapezesqui donne les formules Z ai+1 a if(t)dt=ai+1ai2 (f(ai) +f(ai+1)) et dans le cas de subdivisions egales Z b a f(t)dt=ba2kk1X i=0 f(a+ibak ) +f(a+ (i+ 1)bak
Cette methode est encore d'ordre 1.
Remarque: Notons que cette methode revient a la methode generale avec`i= 1, en choisissant les pointsi0=aieti1=ai+1.Integration numerique
Integration numerique
Calculs d'erreurs
Rectangles
Calculons avec les methodes precedentes \
ala main " l'integrale I=Z 1 0 t2dtet comparons a sa valeur exacte :I= 1=3!
Cas des rectangles a gauche avecnpas:
I n=1n n1X k=0f(kn ) =1n
3(1 + 4 + 9 ++ (n1)2)
(n1)n(2n1)6n3=13
12n+16n2:
D'ou jIInj=12nIntegration numerique
Integration numerique
Calculs d'erreurs
Trapezes
Cas des rectangles a droite
I n=13 +12n+16n2
Dans les deux cas, l'erreur decro^t \en
1n En ce qui concerne lamethode des trapezes, le calcul est le suivant : I n=1n n1X k=1f(kn ) +12 f(1) =13 +16n2
L'erreur est \en
1n
2"Integration numerique
Integration numerique
Calculs d'erreurs
Majoration de l'erreur theorique
On a le resultat general suivant, qu'on appliquera pour estimer l'erreur commise dans le cas d'une fonction a derivee continue :Proposition Soitf: [a;b]!R, une fonction de classeC1et soitIn=1n P n1 k=0f(kn
AlorsjIInj M(ba)2n
ouM= supt2[a;b]jf0(t)jLa preuve se fait par le theoreme des accroissements nis applique a la fonctionf(t)gn(t) ougnest la fonction en escalier utilisee. Dans la methode des points milieux et, en utilisant une fonctionfde classeC2, on trouve mieux : jIInj M24 (ba)3n
2Integration numerique
Integration numerique
Calculs d'erreurs
Majoration de l'erreur theorique
En ce qui concerne la methode des trapezes, un calcul identique (toujours dans le cas d'une fonction de classeC2) donne une majoration : jIInj M12 (ba)3n 2
On represente les courbes des applications :n7! jIInjpour les dierentes methodes. On travaille en coordonnees logarithmiques sur les deux axes pour pouvoir faire cro^tre les abscisses de maniere exponentielle (en puissance de 2) : on prend n= 2;4;8;16;32;64;128;256;512;1024;2048;4096
Par ailleurs, on calcule un
taux rde decroissance (correspondant d'ailleurs aux pentes des droites obtenues ci-dessus) (N= 5000,
M= 4000)
r=lnjIINj lnjIIMjln(N)ln(M)
On trouve respectivement :
1:0001494;1:0002988;2:0004482;2:0004482 ce qui
correspond aux pentes attendues de1 et2 .Integration numerique
Integration numerique
La methode de Simpson
Methode de Simpson
Principe
: coup erl'i ntervalle[ ai;ai+1] en deux par le milieuai+ai+12 et trouver un polyn^ome d'interpolation de degre 2, passant par les
3 points (ai;f(ai));(ai+ai+12
;f(ai+ai+12 ));(ai+1;f(ai+1)).
Rappel
: etantdonn es3 p oints( a;);(b;);(c; ), il existe un (unique!) polyn^ome de degre 2,P, tel que
P(a) =;P(b) =;P(c) =
En eectuant le calcul
Z b a
P(t)dt=ba6
(P(a)+4P(a+b2 )+P(b)) =ba6 (+4
Remarque : On
n' a donc pas acalculer P!Integration numerique
Integration numerique
La methode de Simpson
Appliquons ce qui precede a la fonctionfsur chaque intervalle [ai;ai+1], on obtient I n=ba6n 2n1X k=1f(ak) +f(a) +f(b) + 4n1X k=0f(ck)! ouck=ak+ak+12 .Proposition
Sifest de classeC5etM= supx2[a;b]jf(4)(x)j, alors
jIInj M(ba)52880n4:Integration numerique
Integration numerique
La methode de Simpson
Note : Il existe aussi des methodes d'
acceleration de la convergence (M ethodede Romb ergpa rexemple) qui p ermettent, comme le nom l'indique, d'ameliorer la vitesse de convergence. Autrement dit, qui permette d'obtenir une erreur en 1=nkpour un kplus grand.Simpson et ... On peut tracer le resultat de la methode de Simpson sur le m^eme graphe que precedemment et calculer son taux de decroissance (on trouve -4!). On peut aussi regarder les resultats pour la fonction f(x) =p1x2. Que constate-t-on? Pourquoi?Integration numeriquequotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
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