Calcul différentiel et intégral Exercices sur l'intégration Changement de variables, intégration par parties, primitives Exercice 1 Soit f : R → R une fonction
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Exercices - Calcul d'intégrales : corrigé Intégration par parties - Changements de variable Exercice 1 - Changements de variables - Niveau 1 - L1/Math Sup - ⋆
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Si aucun des trois changements de variable ne marche, on pose t = tan x 2 , en effet dans ce cas : sinx = 2t 1 + t2 , cosx =1 − t2 1 + t2 , dx = 2dt 1 + t2 1 Les
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Exercice assez délicat, comportant des questions difficiles VI + 1 dt (xe]-1, +col ) (on pourra effectuer le changement de variable u Exercices corrigés ☆
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Exercice 1 1) A l'aide d'une intégration par parties, retrouver la valeur de , où a et b sont deux nombres réels strictement positifs 2) A l'aide d'un changement
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Exercice 4 Calculer les intégrales suivantes en effectuant le changement de variables recommandé I1 = ∫ π 0 dx 2 + cos(x) , poser t = tan(x/2) I2 = ∫ π/2 0
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Calcul intégral corrigés en divisant par h (attention au changement de sens des inégalités : h est négatif) En faisant un changement de variable de la forme
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i) Faire le changement de variable : u = √ et + 1 k) Faire la décomposition en éléments simples l) Faire deux intégrations par parties Exercice 2 Calculer les
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www deleze name/marcel/sec2/cours/index html 3 Exemples Exemple 3 1 ∫ x2 √ 1 − xdx Effectuons le changement de variable x = 1 − t dx = (−1) dt
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2012/2013 Semestre de printemps
Université Lyon I Calcul différentiel et intégralExercices sur l"intégration. Changement de variables, intégration par parties, primitives... Exercice 1.Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Z x 0 f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes :1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Sifest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Sifest positive surRalorsFest positive surR.
5. Sifest positive surRalorsFest croissante surR.
6. SifestT-périodique surRalorsFestT-périodique surR.
7. Sifest paire alorsFest impaire.
Exercice 2.CalculerZ
1 0 ln(1 +x2)dx. Exercice 3.Calculer les primitives suivantes (et donner les intervalles de définition) : Zdxx2+ 5;Zdxpx
25;Ze xsin(ex)dx;Z (tan(x))3dx;Z1(tan(x))3dx;Zlnxx dx : Exercice 4.En utilisant le changement de variablesu=pe x1, calculerI=Z ln2 0pe x1dx.
Exercice 5.Calculer les primitives suivantes :
Z e xcosxdx;Zlnxx ndx n2N;Z xarctan(x)dx;Z (x2+x+ 1)exdx:Exercice 6.Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire l"intervalle de validité des calculs :
Z (cosxcos2x+ sinxsin3x)dx;Z cosxsin4xdx;Z sin4xdx;Z
ch2xsh2xdx :
Exercice 7.Décomposer les fractions rationnelles suivantes; en calculer les primitives. 1a2+x2;x3x
24;4x(x2)2;1x
2+x+ 1;1(t2+ 2t1)2;3t+ 1t
22t+ 10:1(1 +x2)2;1t
3+ 1: x3+ 2(x+ 1)2;x+ 1x(x2)2;(x21)(x3+ 3)2x+ 2x2;x2(x2+ 3)3(x+ 1);x7+x34x1x(x2+ 1)2;3x49x3+ 12x211x+ 7(x1)3(x2+ 1)
Exercice 8.Calculer les intégrales suivantes :
Z 10arctanx1 +x2dx;Z
2 12 1 +1x 2 arctanxdx;Z 20xsinxdx;Z
11(arccosx)2dx;Z
101(1 +x2)2dx :
Exercice 9.Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes. Z 1 0dxx2+ 2;Z
1=21=2dx1x2;Z
322x+ 1x
2+x3dx;Z
2 0xdxx4+ 16;Z
0 2dxx37x+ 6:
Exercice 10.Donner les intervalles de définition, et calculer les primitives suivantes :Zcos3xsin
5xdx;Zsin3x1 + cosxdx;Zdxcos
4x+ sin4x;Zcosx1 + sin2xdx;Zdxsin(x);
Z dx7 + tan(x);Zdxx+px1;Zdxx px2+x+ 1;Zxp9 + 4x4dx :
Exercice 11.Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des
calculs : Z sin8xcos3xdx;Z
cos4xdx;Z12 + sinx+ cosxdx;Z1sinxdx;Z3sinx2cosx+ 3tanxdx
Exercice 12.SoientI=Z
0 xcos2xdxetJ=Z 0 xsin2xdx.1. CalculerIetI+J.
2. En déduireJ.
Exercice 13.Soientuetvdeux fonctions dérivables surRetfune fonction continue surR.1. On poseF(x) =Z
v(x) u(x)f(t)dt. Montrer queFest dérivable surRet calculer sa dérivée.2. Calculer la dérivée deG(x) =Z
2x xdt1 +t2+t4. Exercice 14.Soienta < bdeux réels etfune fonction continue surRvérifiantf(a+bx) =f(x) pour toutx. CalculerZ b a xf(x)dxen fonction deZ b a f(x)dx.Application : calculer
Z0x1 + sin(x)dxetZ
0xsinx1 + cos
2xdx.Exercice 15.SimplifierZ
sin2x t=0Arcsinptdt+Z cos2x t=0Arccosptdt.Exercice 16.SoitIn=Z
1 0 (1t2)ndt.1. Établir une relation de récurrence entreInetIn+1.
2. CalculerIn.
3. En déduire
nX k=0(1)k2k+ 1Ckn.Exercice 17.SoitIn=Z
1 0x n1 +xdx.1. En majorant la fonction intégrée, montrer que(In)n2N!0.
2. CalculerIn+In+1.
3. Déterminerlimn!+1n
X k=1(1)k+1kSommes de Riemann
Exercice 18.Montrer que les fonctions définies surRf:x7!x,g:x7!x2eth:x7!ex;sont intégrables sur tout segment deR. En utilisant les sommes de Riemann, calculer les intégralesZ 1 0 f(x)dx,Z 2 1 g(x)dx et Z x 0 h(t)dt.Exercice 19.Déterminerlimn!+1n
X k=0nn 2+k2.Exercice 20.Calculer :
lim n!1n Y k=11 +k2n
2 1n ; limn!1nnX k=1exp(nk )k2; limn!1n
X k=1n+kn2+k; limn!1n1X
k=11pn 2k2: Exercice 21.Soientfetgcontinues de[0;1]dansR:Calculer : lim n!11n n1X k=0fkn gk+ 1nExercice 22.Calculer :
lim n!1n 2X k=0nn2+k2; limn!11 +p2 +
p3 ++pn n pn ; limn!11n n X p=1ln(3n+ 6p4)(n+ 2p)23n3 Exercice 23.1. Soitnun entier naturel non nul. Montrer que X2n1 = (X21)n1Y
k=1(X22Xcos(kn ) + 1):2. Soitaun réel différent de1. Utiliser la formule ci-dessus pour déterminer la valeur de
Z 0 ln(a22acos(t) + 1)dt : Exercice 24.Soitf: [a;b]!Rcontinue. Pourn2N, on poseIn=n1X k=0 Z ak+1 a kf(t)dtoùak= a+kban . Montrer queIn!Z b a jf(t)jdtlorsquen! 1.Exercice 25.Calculerlimn!+1n
X k=1sin1n+kExercices théoriques
Exercice 26.Déterminer les fonctions continues par morceauxfde[a;b]dansRtelles queZ b a f(t)dt= (ba)sup [a;b]jfj.Exercice 27.Soient0< ab, etf;gdeux fonctions continues sur[a;b]et à valeurs réelles. En utilisant
l"inégalité de Cauchy-Schwarz dansRn, prouver que Z b a f(t)g(t)dt sZ b a (f(t))2dtsZ b a (g(t))2dt : Cette inégalité se généralise-t-elle au cas de fonctions à valeurs complexes?