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Calcul différentiel et intégral Exercices sur l'intégration Changement de variables, intégration par parties, primitives Exercice 1 Soit f : R → R une fonction
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Si aucun des trois changements de variable ne marche, on pose t = tan x 2 , en effet dans ce cas : sinx = 2t 1 + t2 , cosx =1 − t2 1 + t2 , dx = 2dt 1 + t2 1 Les
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Exercice assez délicat, comportant des questions difficiles VI + 1 dt (xe]-1, +col ) (on pourra effectuer le changement de variable u Exercices corrigés ☆
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Exercice 1 1) A l'aide d'une intégration par parties, retrouver la valeur de , où a et b sont deux nombres réels strictement positifs 2) A l'aide d'un changement
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Exercice 4 Calculer les intégrales suivantes en effectuant le changement de variables recommandé I1 = ∫ π 0 dx 2 + cos(x) , poser t = tan(x/2) I2 = ∫ π/2 0
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PSI Dupuy de Lôme – Chapitre 03 : Intégration (Exercices : corrigé niveau 1) - 1 - Puis on peut utiliser dans la deuxième intégrale le changement de variable :
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Calcul intégral corrigés en divisant par h (attention au changement de sens des inégalités : h est négatif) En faisant un changement de variable de la forme
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www deleze name/marcel/sec2/cours/index html 3 Exemples Exemple 3 1 ∫ x2 √ 1 − xdx Effectuons le changement de variable x = 1 − t dx = (−1) dt
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Exercices suppl´ementaires - Calcul int´egral Exercice 1.Calculer les int´egrales suivantes : a) x 0 arctant dtb)? x 0 tan2t dtc)? 3
21tlntdtd)?
x0t⎷t+ 1dt
e)? x 0 arcsint dtf)? x013 +e-tdtg)?
x1-1⎷4t-t2dth)?
x 11t ?1-ln2tdt i) x01⎷1 +etdtj)?
x 0t-1t2+t+ 1dtk)?
x5t+ 2t
2-3t-4dtl)?
x 0 cost etdtIndications:
c) Faire le changement de variable :u= lnt. d) Faire le changement de variable :u=⎷t+ 1 ou une int´egration par parties. f) Faire le changement de variable :u=et. g) Faire le changement de variable :u=12 t-1. h) Faire le changement de variable :u= lnt. i) Faire le changement de variable :u=⎷e t+ 1. k) Faire la d´ecomposition en ´el´ements simples. l) Faire deux int´egrations par parties.Exercice 2.Calculer les primitives suivantes :?
x0sintsint+ costdtet?
x0costsint+ costdt.
Indication:
Calculer la somme et la diff´erence de ces deux int´egrales.Exercice 3.Calculer les primitives suivantes :
a) x 0 sin2tcos3t dtb)? x 0 cos4t dtc)? π2 π212 + sint+ costdtd)?
π2 π31sinxdx
e) π201cosxdxf)?
π6017 + tanxdx
Indications:
a), b) Lin´earisation. c) Faire le changement de variableu= cosxouu= tan?x2 d) Faire le changement de variableu= cosxouu= tan?x2 e) Faire le changement de variableu= sinx. f) Faire le changement de variableu= tanx. 1Exercice 4.Calculer les int´egales suivantes :
a) 10arctanx1 +x2dxb)?
2 12 1 +1x 2? arctanx dxc)? π20xsinx dx
d) 101(1 +x2)2dxe)?
⎷3 0x2⎷4-x2dxf)?
2 1 x2lnx dx g) 1 -11x2+ 4x+ 7dxh)?
103x+ 1(x+ 1)2dx
Indications:
b) Faire le changement de variableu=1x puis utiliser l"´egalit´e arctan(x)+arctan1x =π2 pourx >0. d) Faire un changement de variables ou une int´egration par parties. e) Faire le changement de variablesu= arcsin?x2 h) Faire la d´ecomposition en ´el´ements simples). Source :http://math.univ-lille1.fr/~bodin/exo4/selcor.html 2Solutions
Exercice 1.
a)xarctanx-12 ln(1+x2),b)tanx-x,c)ln(ln3)-ln(ln2),d)23 (x-2)⎷x+ 1+43 e)xarcsinx+⎷1-x2-1,f)13 (ln(1 + 3ex)-ln4),g)12 arcsin(⎷1-x),h)arcsin(lnx), i)ln(⎷e x+ 1)-ln(⎷2),j)12 ln(x2+x+1)-⎷3arctan ?2⎷3 x+1⎷3 +⎷3arctan ?1⎷3 k) 15 ln(x-4)-15 ln(x+ 1) +15 ln(6),l)12 (sin(x)ex+ cos(x)ex-1). Exercice 2.La somme vautxet la diff´erence-ln(sinx+cosx) donc la premi`ere int´egrale vaut 12 (x-ln(sinx+ cosx)) et la seconde12 (x+ ln(sinx+ cosx)).Exercice 3.
a)On a sin2xcos3x=18 cosx-116 cos(5x)-116 cos(3x) donc la primitive est18 sinx- 180sin(5x)-148 sin(3x). b)On a cos4x=18 cos(4x)+12 cos(2x)+98 donc la primitive est132 sin(4x)+14 sin(2x)+98 x. c)Siu= tan?x2 ?, alors cosx=1-u21 +u2, sinx=2u1 +u2etdx=2du1 +u2. Alors on obtient que l"int´egrale vaut⎷2arctan( ⎷2). d)-12 ln(3) e) 12 ln(3) f) 150
ln?87 -22 ln2 +7π6