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( sin(ln x) − cos(ln x)) Exercice 5 - Intégration par parties - Niveau 2 - L1/Math Sup - ⋆⋆ 1 On intègre par 

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xarctan2 x dx Exercice 3 Calculer par parties les intégrales ou primitives suivantes : a) ∫ x sin2 x

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Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 à : Exercice 5 7 On peut faire des intégrations par parties ou utiliser les résultats précédents en utilisant la formule

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Soicnt a et b deux réels tels que a

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3) = ln(3) Exercice 4 Calculer les intégrales suivantes en effectuant le changement de variables A l'aide d'une intégration par parties, montrer que ∀ n ∈ N

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PSI Dupuy de Lôme – Chapitre 03 : Intégration (Exercices : corrigé niveau 1) Pour l'intégrale suivante, on commence par une intégration par parties, et :

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un = / e 1 xlnn (x)dx Calculer u0, donner une relation de récurrence Exercice 22 39 Calculer les deux intégrales suivantes par intégrations par parties I = / π 1

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1) Calculer à l'aide d'une intégration par parties 2) Calculer la limite de quand tend vers ∞ Partie D : Exercices bilan Exercice 1

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Université Claude Bernard Lyon 1

Année 2012-2013

Licence Math-Info 1

reannée

Analyse 2 : intégration et approximation

Primitives et intégrales

Feuille d"exercices no 3

Intégration par parties

Exercice 1.Calculer par parties les intégrales ou primitives suivantes : a) Z 1 0 xexdx;b)Z xsin2xdx;c)Z =2 0 x2cos3xdx d) Z x

2lnxdxete)Z

x nlnxdx(avecn2Z):

Exercice 2.Calculer

a)Z 1 0 arctanxdxpuisb)Z 1 0 xarctan2xdx: Exercice 3.Calculer par parties les intégrales ou primitives suivantes : a) Zxsin

2xdx;b)Zln(1 + 2x)x

2dxc)Z

2

1xlnx(1 +x2)2dx;

d) Z =2 0 cosxln(1 + cosx)dx;e)Z e xcosxdx; f) Z xarctanxdx;g)Z ln(x+p1 +x2)dx;h)Z sin(lnx)dxet i) Z 1

1(x2+ 5x+ 6)cos2xdx:

Exercice 4.Pour tout entiern0, on pose

I n=Z =2 0 sinnxdx: a) CalculerI0etI1. b) Montrer que l"on a, pour tout entiern2: I n=n1n In2: c) En déduire les valeurs deI2netI2n+1pour tout entiern0. 1

Changements de variables

Exercice 5.Calculer les primitives suivantes en effectuant le changement de variable indiqué. a) Zdxx px

22(poserx= 1=t);b)Z

1 0dxe x+ 1(poserx=lnt); c) Z x(5x23)7dx(posert= 5x23)etd)Z 3 2dxx px+ 1(posert=px+ 1): Exercice 6.Calculer les primitives ou intégrales suivantes en utilisant le changement de variable indiqué : a) Z 1

0dx(1 +x2)2(poserx= tanu);b)Z

=2

0dx3 + 2cosx(poseru= tan(x=2));

c) Zdxpe

2x1(poseru=ex);d)Z

=2

0dxcosx+ sinx(poseru= tan(x=2));

e) Z =2

0cosx65sinx+ sin2xdx(poseru= sinx):

Exercice 7.Calculer les primitives ou intégrales suivantes en utilisant un changement de variable :

a) Z 1

01 +x1 +

px dx;b)Zdxx pe x1etc)Z 1 0e 2xpe x+ 1dx:

Exercice 8.Calculer les primitives ou intégrales suivantes en utilisant un changement de variable :

a)

Zxp2xx2dx;b)Zdxchxshx;c)Z

1 0 x2p1 +x3dx; d) Z 1

0arctanx1 +x2;e)Z

a 0pa

2x2dx(aveca2R)etf)Zdxxlnx:

Exercice 9.Calculer les primitives ou intégrales suivantes en utilisant un changement de variable :

a) Z 4

1xdxp4x+ 2;b)Z

5 1px1x dx;c)Z 3 2dxx p1 +x; d) Z =2 0 sinxcos2xdxete)Z (x+ 2)sin(x2+ 4x6)dx: Exercice 10.Calculer les primitives ou intégrales suivantes en utilisant un changement de va- riable : a)Z 1

1dxp(x+ 2)(3x);b)Z1xtan(lnx)dx;

c) Z 1 0e

3x1 +e2xdx;d)Zdxchxete)Z

1 0 arcsin2xdx: 2 Exercice 11.En utilisant le changement de variablex= tanu, calculer l"intégrale : Z 1 0 arcsin2x1 +x2dx

On rappelle la formulesin2u=2tanu1 + tan

2u:

Exercice 12.

a) Montrer, en utilisant un changement de variable, que Z 2

1rx1x+ 1dxx

=Z 1=p3

04u2(1u2)(1 +u2)du:

b) Calculer

Zu2(1u2)(1 +u2)du

et en déduire la valeur de Z2

1rx1x+ 1dxx

Primitives et intégrales des fractions rationnelles Exercice 13.Calculer les primitives et intégrales suivantes : a)

Zx25x+ 9x

25x+ 6dx;b)Z5x+ 2x

35x2+ 4xdx;c)Z

2

0dxx(x+ 1)2;

d)

Z5x2+ 6x+ 9(x3)2(x+ 1)2dx;e)Z

1 1dxx

4+ 1;f)Zdxx

4+x2+ 1;

g)

Z2x3(x23x+ 2)3dxeth)Zx314x3xdx:

Exercice 14.Calculer les primitives suivantes :

a)

Zx32xx+ 1dx;b)Zdx49x2;c)Zxdx(x+ 1)3;

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