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Calculs de primitives Pascal Lainé

1

Calculs de primitives

Exercice 1.

Calculer

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Allez à : Correction exercice 1

Exercice 2.

Calculer

Allez à : Correction exercice 2

Exercice 3.

1. 2. 3. 4.

Calculs de primitives Pascal Lainé

2 5. 6. 7.

Allez à : Correction exercice 3

Exercice 4.

Calculer les primitives suivantes :

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Allez à : Correction exercice 4

Exercice 5.

1. 2. 3.

Calculs de primitives Pascal Lainé

3 4. 5. 6. 7. 8.

Allez à : Correction exercice 5

Exercice 6.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Calculs de primitives Pascal Lainé

4 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Allez à : Correction exercice 6

Exercice 7.

1. 2. 3. 4.

Allez à : Correction exercice 7

Exercice 8.

Calculer

1. 2. 3.

Calculs de primitives Pascal Lainé

5 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

Trouver une primitive de

Calculs de primitives Pascal Lainé

6

Allez à : Correction exercice 8

Exercice 9.

1. Calculer

2. Calculer

Allez à : Correction exercice 9

Exercice 10.

1. Décomposer en éléments simple

2. Calculer

Allez à : Correction exercice 10

Exercice 11.

Calculer les primitives suivantes :

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Calculs de primitives Pascal Lainé

7

Allez à : Correction exercice 11

Exercice 12.

Calculer

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Allez à : Correction exercice 12

Exercice 13.

Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes. 1. 2. 3.

Calculs de primitives Pascal Lainé

8 4. 5. 6.

Allez à : Correction exercice 13

Exercice 14.

Calculer les primitives suivantes :

1. 2. 3. 4.

Allez à : Correction exercice 14

Exercice 15.

Allez à : Correction exercice 15

Exercice 16.

Allez à : Correction exercice 16

Exercice 17.

1. Déterminer une primitive de la fonction ݂ définie par :

Calculs de primitives Pascal Lainé

9

2. ݔൌ-ݐ, calculer

Allez à : Correction exercice 17

Exercice 18.

Calculer sur ቃെగ

Allez à : Correction exercice 18

Exercice 19.

Calculer

Allez à : Correction exercice 19

Exercice 20.

Déterminer une primitive sur Թ de la fonction ݂ définie par :

Allez à : Correction exercice 20

Exercice 21.

Allez à : Correction exercice 21

Exercice 22.

Calculer pour ݔ൐-

Allez à : Correction exercice 22

Exercice 23.

Calculer

Allez à : Correction exercice 23

Exercice 24.

1. Décomposer en élément simple la fraction

2. Calculer

Calculs de primitives Pascal Lainé

10

Allez à : Correction exercice 24

Exercice 25.

Calculer

Allez à : Correction exercice 25

Exercice 26.

a. b. c.

Allez à : Correction exercice 26

Exercice 27.

1. Calculer

Allez à : Correction exercice 27

Exercice 28.

Calculer

Allez à : Correction exercice 28

Exercice 29.

Calculer

1.

Avec ݔא

2.

Avec ݔא

3.

Calculs de primitives Pascal Lainé

11 4.

Allez à : Correction exercice 29

Exercice 30.

1. Calculer

2. En déduire

Allez à : Correction exercice 30

Exercice 31.

Calculer les primitives suivantes ܫ

1. ܫ

2. ܫൌԹାכ

3. ܫ

4. ܫ

5. ܫ

6. ܫ

7. ܫ

8. ܫ

Allez à : Correction exercice 31

Exercice 32.

Calculs de primitives Pascal Lainé

12

Calculer

Allez à : Correction exercice 32

Exercice 33.

1. Calculer

2. Calculer

Allez à : Correction exercice 33

Exercice 34.

1. 2.

Allez à : Correction exercice 34

CORRECTION

Correction exercice 1.

Calculs de primitives Pascal Lainé

13

Calculs de primitives Pascal Lainé

14

Allez à : Exercice 1

Correction exercice 2.

Allez à : Exercice 2

Correction exercice 3.

1. On peut toujours poser ݑൌ݁௧ mais parfois, il y a plus simple.

Allez à : Exercice 3

2. On peut toujours poser ݑൌ݁௧ mais parfois, il y a plus simple.

Calculs de primitives Pascal Lainé

15

Allez à : Exercice 3

Autre méthode

Allez à : Exercice 3

Calculs de primitives Pascal Lainé

16

Autre méthode

Allez à : Exercice 3

5. Ici les puissances de •Š et ...Š sont paires (respectivement - et -) on pose

Autre méthode

Allez à : Exercice 3

Allez à : Exercice 3

Calculs de primitives Pascal Lainé

17

Allez à : Exercice 3

Correction exercice 4.

1.

Allez à : Exercice 4

Allez à : Exercice 4

linéariser.

Par conséquent :

Allez à : Exercice 4

Calculs de primitives Pascal Lainé

18

Par conséquent :

Allez à : Exercice 4

Mais la première méthode est bien plus simple.

Allez à : Exercice 4

Par conséquent :

Allez à : Exercice 4

On peut aussi poser ݐൌ݁௫ mais la première méthode est bien plus simple.

Allez à : Exercice 4

Calculs de primitives Pascal Lainé

19

Autre méthode (moins bonne)

Allez à : Exercice 4

Correction exercice 5.

1. Il faut refaire une autre intégration par partie

Remarque :

Lors de la seconde intégration par partie il faut continuer à intégrer ݁௫ sinon on retombe sur la même

intégrale.

On aurait aussi pu dériver ݁௫ lors de la première intégration par partie et bien sûr dans la seconde aussi.

Allez à : Exercice 5

2.

Première méthode :

On fait exactement pareil.

Deuxième méthode :

On utilise le résultat ci-dessus

Puis

Calculs de primitives Pascal Lainé

20

Troisième méthode :

Allez à : Exercice 5

Pour changer, on va faire une intégration par parties

On refait une intégration par parties

Donc

Calculs de primitives Pascal Lainé

21
Puis

Allez à : Exercice 5

4. -dessus

Par conséquent

Allez à : Exercice 5

5.

On fait une seconde intégration par partie

Donc

Calculs de primitives Pascal Lainé

22

Et enfin

Allez à : Exercice 5

6. On fait le changement de variable ݑൌെݐ֞ݐൌെݑ֜

Allez à : Exercice 5

7. On peut faire des intégrations par parties ou utiliser les résultats précédents en utilisant la formule

Allez à : Exercice 5

8. On fait le changement de variable ݑൌെݐ֞ݐൌെݑ֜

Allez à : Exercice 5

Correction exercice 6.

1.

Calculs de primitives Pascal Lainé

23

Allez à : Exercice 6

2.

Allez à : Exercice 6

3.

Allez à : Exercice 6

4.

Allez à : Exercice 6

5.

Calculs de primitives Pascal Lainé

24

Allez à : Exercice 6

6.

Allez à : Exercice 6

7.

Allez à : Exercice 6

8. Il faut faire une seconde intégration par parties.

Calculs de primitives Pascal Lainé

25

Allez à : Exercice 6

9. Il faut faire une seconde intégration par parties.

Allez à : Exercice 6

10. On peut faire une intégration par parties mais on va voir une autre technique qui permet de calculer

Et on fait une intégration par parties.

Calculs de primitives Pascal Lainé

26

Allez à : Exercice 6

technique.

On pose ݑൌగ

Où Et

Calculs de primitives Pascal Lainé

27

Comme ܩ

plaisirs.

Allez à : Exercice 6

12. Toutes les méthodes décrites ci-dessus fonctionnent, voyons une autre façon de faire :

On cherche une primitive de la forme

Où ܽǡܾǡܿǡܽᇱǡܾԢ et ܿ En faisant le changement de variables ݑൌെݐ on constate que ܨ améliorer la forme de la primitive

On dérive

଴ൌ-, et que cela entraine que ܭ

Allez à : Exercice 6

13. ܨ

suivante : ଴ peut se calculer directement en remarquant que ௧ Donc

Calculs de primitives Pascal Lainé

28

Mais െͳ൑ݔ൑ͳ donc െͳ൑ݐ൑ͳ donc on peut prendre Ȃగ

numérateur le " ݐ » était, à une constante multiplicative près, la dérivée de ݒ et que ଵ

ξଵି௧మ ne dépend que

Allez à : Exercice 6

14.

Pour le calcul de ׬

Mais െͳ൑ݔ൑ͳ donc െͳ൑ݐ൑ͳ donc on peut prendre Ȃగ

Calculs de primitives Pascal Lainé

29

Par conséquent

Allez à : Exercice 6

15. Pour faire une intégration par parties on écrit ܨ

Allez à : Exercice 6

Correction exercice 7.

1. Pour ܨ

Donc

Calculs de primitives Pascal Lainé

30

Deuxième méthode

Allez à : Exercice 7

2.

Allez à : Exercice 7

3. par partie

Allez à : Exercice 7

Calculs de primitives Pascal Lainé

31

4. On cherche une primitive de la forme

Donc On aurait pu faire aussi deux intégrations par partie.

Allez à : Exercice 7

Correction exercice 8.

1.

On multiplie par ݔ, puis ݔൌ-

On multiplie par ݔെͳ, puis ݔൌͳ

Allez à : Exercice 8

2. On multiplie par ݔെͳ, puis ݔൌͳ On multiplie par ݔ൅ͳ, puis ݔൌെͳ

Remarque :

On peut éventuellement décomposer de la façon suivante :

Mais alors il faut faire attention

Calculs de primitives Pascal Lainé

32

Allez à : Exercice 8

3.

Première méthode

On multiplie par ݔ, puis ݔൌ-

On multiplie par ݔെͳ, puis ݔൌͳ On multiplie par ݔ൅ͳ, puis ݔൌെͳ

Deuxième méthode

Allez à : Exercice 8

4. Il faut faire une division euclidienne

Donc

Remarque :

Allez à : Exercice 8

5.

Allez à : Exercice 8

Calculs de primitives Pascal Lainé

33

6. Il faudrait faire une division mais

Allez à : Exercice 8

7. On multiplie par ݔെͳ, puis ݔൌͳ On multiplie par ݔ൅ͳ, puis ݔൌെͳ

On multiplie par ݔ, puis ݔ՜൅λ

Allez à : Exercice 8

8.

On multiplie par ݐ, puis ݐൌ-

Calculs de primitives Pascal Lainé

34

On multiplie par ݐ, puis ݐ՜൅λ

Allez à : Exercice 8

9.

On multiplie par ݔ, puis ݔ՜൅λ

On en déduit aisément que :

Allez à : Exercice 8

10.

Calculs de primitives Pascal Lainé

35

En effet, on peut facilement déterminer ܾ

on trouve une autre relation, il en manque encore - (car il y a ͸ coefficients), mais on ne peut pas faire

ݔൌ-, ni ݔൌͳ, ni ݔൌെͳ, à mon avis ݔൌ݅ donnerait de bon résultats mais on va être un peu

relativement simplement.

Par conséquent

Allez à : Exercice 8

11.

Première méthode

Et on intègre par parties

Donc

Calculs de primitives Pascal Lainé

36

Deuxième méthode

Allez à : Exercice 8

Allez à : Exercice 8

13. On multiplie par ݔെͳ, puis ݔൌͳquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1