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MOHAMED RIDHA TEKAYA
Calcul d'un intervalle de con¯ance pour la moyenne dans le cadre du programme de ma^³trise en statistique pour l'obtention du grade de Ma^³tre µes sciences (M.Sc.)FACULT
Avril 2006
c°Mohamed Ridha Tekaya, 2006
Cet essai a pour objectif de calculer un intervalle de con¯ance pour la moyenne¹µa d'un intervalle de con¯ance.Avant-propos
Je tiens µa remercier Monsieur Louis-Paul Rivest, mon directeur de recherche, pro- direction, et ses conseils judicieux tout au long de cette recherche. Finalement, je voudrais exprimer la profonde gratitude que j'ai envers mes parents, mes deux s¾urs et mon frµere pour leurs encouragements et leur soutien.Table des matiµeres
iiAvant-Propos
iiiTable des matiµeres
vListe des tableaux
viTable des ¯gures
vii1 Introduction
12 Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne
22.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 32.3 Approche modµele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 123 La vraisemblance empirique
13 133.2 Intervalle de con¯ance pour¹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 19 3.4 223.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2426
26
29
4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
315 Conclusion
32Bibliographie
33v simple 34
B Macro SAS
36C Le programme R pour l'exemple 2.1
40D Le programme R pour l'exemple 2.2
41E Le programme R pour l'exemple 3.1
4446
Liste des tableaux
con¯ance ( 2:2 2:3 ) avec ¹= 1 etn= 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 non couverture de l'intervalle de con¯ance ( 2:5 de l'exemple 2.2 avecn= 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 con¯ance ( 3:7 2324
m= 60 etn= 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Table des ¯gures
5 du quantile deÂ20:95;1pour l'exemple 2:2:avecn= 40 etp= 3=4 = 1=¸ 11Chapitre 1
Introduction
L'objectif principal de ce travail de recherche est le calcul d'un intervalle de con¯ance µa propos des paramµetres d'un modµele statistique. L'annexe A donne une fonction R qui calcule les bornes d'un intervalle de con¯ance centrale. seulement µa des variables prenant des valeurs positives ou nulles.Chapitre 2
Calcul d'intervalle de con¯ance
pour une moyenne2.1 Notation
moyenne¹et de variance¾2 IC : est un acronyme pour Intervalle de Con¯ance. IC IC IC IC empirique. X=1 n P n s 2=1 n¡1P n i=1(Xi¡ T=p n( pour¹. t z Elle augmente le niveau d'information par rapport µa une estimation ponctuelle. Elle permet d'avoir un aper»cu des valeurs possibles pour¹. Un intervalle de con¯ance si pour chacun on calcule l'intervalle de con¯ance, alors dans 100(1¡®)% des cas le paramµetre¹devrait ^etre dans l'intervalle de con¯ance. Nous envisageons ici deux cas de calcul d'intervalle de con¯ance pour¹, nest quelconque. Si issu de la loiN(¹;¾2), une distribution normale de moyenne¹et de variance¾2, alors T=X¡¹
s= p n bornes de l'intervalle de con¯ance µa 100(1¡®)% pour¹sont obtenues µa partir de1¡®=Ph
¡tn¡1;®=2·
X¡¹
s= p n·tn¡1;®=2i
=PhX¡tn¡1;®=2s
p nX+tn¡1;®=2s
p n i IC ts=hX¡tn¡1;®=2s
p nX+tn¡1;®=2s
p n i on obtientX¡¹
p n»N(0;1):
montre que la distribution asymptotique lorsquentends vers1est T=X¡¹
s= p n»N(0;1):
(2.1)1¡®=Ph
¡z®=2·
X¡¹
s= p n·z®=2i
=PhX¡z®=2s
p nX+z®=2s
p n iOn obtient l'intervalle de con¯ance suivant
IC tlc=hX¡z®=2s
p nX+z®=2s
p n i (2.2) Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne5Quantiles of Standard Normal
valeur de t -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -2 0 2Fig.2.1 {
Exemple 2.1.(Distribution deT)
f(x) =( pexp(¡x=¸) six >01¡psix= 0:
(2.3) Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne6Y»Bernoulli(p))(
P[Y= 1] =p
E[Y] =p:
Z»Exponentielle(1=¸))n
E[Z] =¸:
2:1 ), nous faisons 2:3A la lumiµere de la ¯gure
2.1 2:1 ) n'est dans le tableau 2.1 2:2 2:2 ) par P jTj< z0:025´ deTen ( 2:1 2:2 cLe nombre de simulations
dLe nombre de simulations
Taux de non
Taux de non
Taux de
P(Y= 1)
µa gauche en (%)
µa droite en (%)
0.25 0.2 12.8 87.00.50 0.8 9.0 90.2
0.75 0.8 6.6 92.6
0.85 1.0 5.2 93.8
0.95 0.2 5.6 94.2
Tab.2.1 {
con¯ance ( 2:2 2:3 ) avec¹= 1 et n= 40 e t=r¿(1¡¿)
500oµu¿est le taux de couverture ou de non couverture. Si¿= 95% alorset= 0:0097 et pour¿= 2:5% nous obtenonset= 0:0069.
En vertu du tableau
2.1 Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne82.3 Approche modµele intervalle de con¯ance pour¹. Appelons f(x;µ1;:::;µm)¹=g(µ1;:::;µm)
A¯n de pouvoir estimer¹, en premier lieu, nous calculons (bµ1;:::;cµm) les estima- teurs du maximum de vraisemblance des paramµetres. En second lieu, nous utilisons la b¹=g(bµ1;:::;cµm); est l'estimateur du maximum de vraisemblance de¹. Pour calculer un intervalle de con¯ance pour¹, on estime tout d'abord les pa-L=L(µ1;:::;µm)
nY i=1f(Xi;µ1;:::;µm): Dans la pratique pour simpli¯er les calculs des estimateurs, nous utilisons le loga- l(µ1;:::;µm) = log³L(µ1;:::;µm)´
nX i=1log³ f(Xi;µ1;:::;µm)´ jl(µ1;:::;µm) = 0;pourj= 1;:::;m: Ensuite, nous ¯xons¹et maximisons la vraisemblance sous la contrainte¹= l p(¹) = maxµ1;:::;µm; ¹=g(µ1;:::;µm)l(µ1;:::;µm):
Le calcul delp(¹) utilise pour chaque valeur de¹des estimateurs desµj,bµj(¹) pour j= 1;:::;m:Notons quelp(¹) est maximale µa¹=b¹l'estimateur du maximum de vraisemblance de¹. montre que½(¹0) = 2³
l p(b¹)¡lp(¹0)´»Â21:
(2.4)Si¹0est la vraie valeur du paramµetre¹, l'intervalle de con¯ance pro¯l pour¹µa un
IC mv=n0: 2³
l p(b¹)¡lp(¹0)´21¡®;1o
(2.5) intervalle de con¯ance pour¹. Exemple 2.2.(Modµele exponentiel avec masse µa 0) 2:3 qui suivent la loi exponentielle de moyenne¸. A partir du modµele ( 2:3 ) nous voyons¹=p¸=g(p;¸):
½(¹0) =¡2 log8
1¡¹0=b¸0´
k³0=b¸0´
n¡k³1=b¸0´
n¡kexp³¡Pn¡k
i=1xi=b¸0´1¡b¹=b¸´
k³ b¹=b¸´ n¡k³1=b¸´
n¡kexp³¡Pn¡k
i=1xi=b¸´9 (2.6) oµu, bp=n¡k n ;b¸=P n i=1xi n¡k;b¹=bpb¸=P n i=1xi n et b¸0=A+p
A2¡4AB
2 avec,A=³2n¹0+Pn
i=1xi¡k¹02(n¡k)´
etB=³¹0Pn i=1xi2(n¡k)´
2:6 ) et les autres estimateurs des paramµetres inconnuesp,¸et¹sont Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne111.0 1.5 2.00 2 4 6 8
mu rhomuFig.2.2 {
quantile deÂ20:95;1pour l'exemple 2:2:avecn= 40 etp= 3=4 = 1=¸ Lsous aucune contrainte. Mais on obtientb¸0en maximisant la vraisemblance pro¯l sous la contrainte¹0=p¸0. Avant de chercher l'intervalle de con¯ance pour¹, nous tra»cons dans la ¯gure 2.2A la lumiµere de la ¯gure
2.2 , nous voyons que la droite horizontale coupe la courbe de½(¹) en deux points distincts. Soientbietbsles abscisses respectifs de ces deux points. l'intervalle de con¯ance µa 95% pour¹est l'ensemble de valeurs comprises entre bietbs. 2.2 , le 2:5 Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne12Taux de non
Taux de non
Taux de
P(Y= 1)
µa gauche en (%)
µa droite en (%)
0.25 1.4 2.8 95.80.50 3.2 3.0 93.8
0.75 2.0 2.4 95.6
0.85 3.0 2.2 94.8
0.95 1.8 2.4 95.8