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Université BORDEAUX 1L2/2013 Algèbre 2

Liste d"exercices n

o6 (Réduction de Jordan, décomposition de Dunford)

Exercice 1

Déterminer les réduites de Jordan des matrices suivantes : A=0 @4 01 1 1 3 01 41 A ; B=0 @4 12 1 2 2

0 0 31

A ; C=0 @4 13 1 2 1

0 0 21

A

Exercice 2

Soit la matrice

A=0 B

B@21 1 2

14 1 2

0 05 4

0 0111

C CA:

1.Calculer le polynôme caractéristique deA.

2.La matriceAest-elle diagonalisable?

3.Déterminer une réduite de Jordan deA.

4.Quel est le polynôme minimal deA?

5.Expliquer pourquoiAest inversible et calculerA1.

Exercice 3

Soit la matrice

A=0 B

B@3 13 5

13 53

1 13 1

1 1 131

C CA:

1.Déterminer les valeurs propres deA.

2.Déterminer les sous-espaces propres deA. La matriceAest-elle diagonalisable?

3.Déterminer une réduite de Jordan deAet une base de Jordan deA(base deR4dans laquelle

l"endomorphisme de matriceAdans la base canonique admet cette réduite comme matrice).

4.Quel est le polynôme minimal deA?

Exercice 4

SoitA2M5(R)semblable à

B=0 B

BBB@3 1 0 0 0

0 3 1 0 0

0 0 3 0 0

0 0 0 3 1

0 0 0 0 31

C CCCA:

1.Quels sont les valeurs propres deA?

2.La matriceAest-elle diagonalisable?

3.Quelles sont les dimensions deKer(A3I5),Ker(A3I5)2,Ker(A3I5)3?

4.Quel est le polynôme minimal deA?

Exercice 5

1.SoitAune matrice à coefficients réels de polynôme caractéristiqueA(X) = (X2)2(x4)3

et de polynôme minimalA(X) = (X2)(X3)2. Quelles sont les formes possibles d"une réduite de Jordan deA?

2.Même question avec une matriceBvérifiantB(X) = (X1)3(X+ 1)5etB(X) = (X

1)

2(X+ 1)3.

Exercice 6

Soit la matrice

A=0 B

B@31 1 0

3 0 0 1

1 0 0 1

0 12 21

C CA:

1.Calculer le polynôme caractéristique deA.

2.Déterminer une réduite de Jordan deAet une base de Jordan associée.

3.Quel est le polynôme minimal deA?

4.Déterminer la décomposition de Dunford deA.

5.CalculerAnpourn2N.

6.Expliquer pourquoiAest inversible et calculerA1, soit à l"aide de la décomposition de

Dunford deA, soit à l"aide du polynôme minimal deA.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19