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L2 - 2015-2016 - Université Denis-Diderot (Paris 7) Algèbre et Analyse pour la PhysiqueSamedi 7 Novembre 2015Durée: 2h30Aucun document n"est autorisé - ni appareil électronique. Enoncez précisément les résultats
du cours utilisés. On pourra traiter les questions indépendamment les unes des autres.Exercice I.
On considère les matricesA:=1 1
0 1 etB:=0 1 1 01) La matriceAest-elle diagonalisable ?
2) La matriceBest-elle:
i) diagonalisable dansR? ii) trigonalisable dansR? iii) diagonalisable dansC? (Justifier les réponses). Correction:(exercice I) 1) Le polynome caractéristique vautPA(x) = (x1)2dont1seule valeur propre deA. Le sous-espace propre associé estE1:=Ker(AI) =fx y ;(AI)x y = 0g= :::=fx 0 ;x2Rg=V ect1 0 (cas réel), doncdim(E1) = 1Or la multiplicité de la valeur propre1est(1) = 2, donc par Th du coursAn"est pas diagonalisable. Dans le cas deCle raisonnement est
le même.2-i) Le calcul donnnePB(x) =x2+ 1 = (xi)(x+i). Les valeurs propres,i, ne sont pas dans
Rdonc la matriceBn"est pas diagonalisable dansR.
2-ii) La matrice ne peut pas non plus etre trigonalisable dansRpour la meme raison. On rappelle
aussi le Th du cours: la matrice est trigonalisable dansRssiPB(x)est scindé dansR(ce qui n"est pas
le cas ici).2-iii) On a deux valeurs propres distinctesien dimension2, d"après un résultat du cours cela
implique que la matrice est diagonalisable.Exercice II.
Soituune application linéaire deR3dansR3, dont la représentation matricielle dans la base canonique est donnée par la matriceAsuivante: A=0 @32 2 21 222 31
A 1
1) Calculer le polynôme caractéristique deA.
2) Trouver les valeurs propres deA. (On doit trouver deux valeurs propres distinctes.)
3) Pour chaque valeur propre, déterminer le sous-espace propre correspondant. On donnera
une base de chaque sous-espace propre.4) Montrer que la matriceAest diagonalisable, et proposer une baseBde vecteurs propres.
CalculerD=MatB(u), la représentation matricielle deudans la baseB. Donner la matrice depassage, notéeP, de la base canonique à la baseBtrouvée à la question précédente, et donner
une relation entreA,PetD.Correction:(Exercice II.) 1)
PA(x) =
3x2 2 21x222 3x
L
3 L3L2=
3x2 2 21x201 +x1x
(1) = (1x) 3x2 2 21x201 1 C
2 C2+C3= (1x)
3x0 2 2 1x2 0 0 1 (2) = (1x)3x0 2 1x = (1x)2(3x)(3)2) On a donc= 1valeur propre double, et= 3valeur propre simple.
3) D"une part,
E1=Ker(AI) =0
@x y z1 A ;0 @22 2 22 222 21
A0 @x y z1 A = 0 (4) 0 @x y z1 A ;2x2y+ 2z= 0(5) 0 @x x+z z1 A ; x;zdansR(6) x0 @1 1 01 A +z0 @0 1 11 A ; x;zdansR(7) =V ect0 @1 1 01 A ;0 @0 1 11 A :(8)
Les vecteurv1=0
@1 1 01 A etv2=0 @0 1 11 A étant clairement linéairement indépendant car non colinéaires, 2 on a bien ainsi une base deE1. D"autre part, en raisonnant par équivalences, E3=Ker(A3I) =0
@x y z1 A ;0 @02 2 24 222 01
A0 @x y z1 A = 0 (9) 0 @x y z1 A ;y+z= 0; x2y+z= 0; xy= 0(10) 0 @x y z1 A ; x=y=z=V ect0 @1 1 11 A ;(11) etv3=0 @1 1 11 A est une base deE3.
4) On a doncdim(E1) = 2 =(1), etdim(E3) = 1 =(3). Par th du cours, la dimension de
chaque sous-espace propre étant égale à l"ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante, la
matrice est diagonalisable. Une base de vecteur propre est par exempleB= (v1;v2;v3). La matrice de l"opérateurudans cette base est Mat