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1re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 40

Chapitre 5: Oscillations d'un pendule élastique horizontal

1. Définitions

a) Oscillateur mécanique * Un système mécanique qui effectue un mouvement d'aller-retour de part et d'autre de sa position d'équilibre est dit oscillateur mécanique. Une oscillation est un aller-retour autour de la position d'équilibre. * Exemples : mouvement des marées, battements du coeur, ... b) Oscillateur libre * C'est un oscillateur abandonné à lui-même après excitation extérieure. * Exemples : pendule simple, pendule élastique, ... c) Oscillateur harmonique * C'est un oscillateur dont l'évolution dans le temps suit une loi sinusoïdale du temps. * Exemples : pendule élastique sans frottement (cas idéalisé) d) Oscillateur forcé * C'est un oscillateur excité par un dispositif extérieur imposant le rythme d'oscillation. * Exemples : mouvement des marées, haut-parleurs, ... e) Oscillateur amorti * C'est un oscillateur dont les oscillations s'affaiblissent au cours du temps. * Exemples : pendule élastique réel, mouvement d'une corde de piano, ...

1re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 41

2. Expérience fondamentale: pendule élastique horizontal

a) Description du pendule élastique Disposons sur un rail à coussin d'air un chariot pouvant glisser pratiquement sans frottement.

Il est attaché à l'une des extrémités d'un ressort. L'autre extrémité du ressort est fixe. Les

spires du ressort sont non-jointives, de sorte que le ressort peut également être comprimé. b) Observations

Ecartons légèrement le chariot de sa position d'équilibre et lâchons-le sans vitesse initiale.

Le solide effectue des oscillations libres autour de sa position d'équilibre. Ces oscillations sont légèrement amorties à cause de la résistance de l'air freinant le chariot.

3. Etude dynamique et cinématique du pendule élastique horizontal

a) Données Un pendule élastique horizontal est constitué d'un ressort de raideur k et d'un solide de

masse m. On néglige tout frottement (idéalisation !). Tirons le chariot, à partir de sa position

d'équilibre, d'une distance d vers la droite. Lâchons le corps sans vitesse initiale. b) Système. Référentiel. Repère * Le système étudié est le corps de masse m. * Le référentiel est celui de la Terre (= celui où le pendule est au repos). * L'origine O du repère est le centre d'inertie G du solide lorsque le ressort n'est pas déformé.

* L'axe Ox est parallèle au ressort et orienté dans le sens de l'étirement du ressort. L'axe

Oy est vertical. (On n'a pas besoin du 3e axe Oz car il n'y a pas de force ni de mouvement selon cet axe.)

1re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 42

b) Conditions initiales

Le corps est lâché à l'instant initial.

t = 0 x0 = d > 0 v0x =0

1re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 43

c) Forces extérieures * Poids P mg Px = 0 Py = -P * Force pressante du coussin d'air R Rx = 0 Ry = R * Tension du ressort T Tx = -kx Ty = 0 En effet : si le ressort est étiré Tx = -kx < 0 si le ressort est comprimé Tx = -kx >0 d) Accélération Appliquons le principe fondamental de Newton (Newton II) : F ma

P R T ma (1)

Projection de l'équation vectorielle (1) sur l'axe Ox : xka xm (2) G effectue un mouvement rectiligne. L'accélération est donc parallèle à l'axe Ox. ya 0

Conclusion :

L'accélération n'est donc pas constante. Elle dépend de la déformation x du ressort (= écartement du solide par rapport à sa position d'équilibre = élongation du solide). Elle est constamment dirigée vers la position d'équilibre du solide. e) Equation différentielle du mouvement Comme 2 x2d xadt, l'équation (2) donne: 2

2d x kxdt m

C'est l'équation différentielle du mouvement ! f) Relation entre P et R Projection de l'équation vectorielle (1) sur l'axe Oy : y y yP R ma P R 0 R P

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g) Solution de l'équation différentielle du mouvement Résoudre une telle équation revient à chercher la fonction du temps x(t) qui possède une dérivée seconde telle que : 2

2d x kxdt m

L'étude mathématique de cette équation fournit comme solution m 0x(t) X cos( t ) , où Xm, 0 et sont des constantes. Vérifions sa validité ! Dérivons : m 0 0dxX sin( t )dt 2quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3