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l'équation du 5e degré x5 − x4 + 2x3 −2x2 + x −1 admet donc cinq solutions : la solution double i , la solution double -i et le réel 1 Exercice résolu : résoudre l'  

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TS MAI ©EPoulin

TP :

Equations du 2

nd degré à coefficients complexes

Racines carrées d"un nombre complexe

On désire rechercher la racine carrée d"un nombre complexe donnée de manière algébrique, par exemple

ic79+=.

Méthode :

1) On cherche donc un nombre complexe iyxz+= tel que iz792+=, x et y étant des réels.

2)

On développe ()()iyxiyxz++=2

()()xyiyxiyxiyxz2222+-=++=

On repère la partie réelle : xyyx2

22+-

Et la partie imaginaire : xy2

Par identification avec c, on obtient :

729
22
xyyx Par ailleurs, On calcul le module de c, que l"on identifie au module de z.

1307922=+=c 222yxz+=

On obtient

13022=+yx

3)

On doit donc résoudre le système suivant :

721309

2222
xyyxyx

721309

2222
xyyxyx ssi ?

721309213092

22
xyxy ssi

722130921309

22
xyxy Ce qui donne a priori quatre couples de solutions :

13091309

yx, soit pour z : 130913091+-++=iz 130913092+-++-=iz

130913093+-++-=iz 130913094+--+-=iz

Ce qui fait beaucoup trop car

iz792+= a deux solutions (équation de degré 2). 4)

En utilisant la dernier équation du système : 72=xy, on retient 1z et 4z, car xy doit être strictement

positif !

Ainsi S=

{}13091309;13091309+--+-+-++ii Exercice : Résoudre en utilisant la même méthode. a) iz312+= b) iz3122--= c) iz502552-= d) ()()26432-+=+ziiz

L1←L2-L1

L2←L1+L2

TS MAI ©EPoulin

Résolution d"une équation du 2nd degré à coefficents complexes La résolution d"une équation du second degré est maintenant très simple : En effet, on peut démontrer facilement (à partir de la forme canonique) que l"équation 0

2=++cbzaz

(avec a, b, c complexe et 0¹a) admet deux solutions déterminées de la manière suivante : · On calcule le discriminant acb42-=D admet : (ATTENTION D est un nombre complexe !) · On cherche alors le nombre complexe d tel que D=2d. (d est une racine carrée complexe de D).

· Les solutions s"écrivent : a

bz

21d+-= et a

bz

22d--=

Remarque :

Pour tout nombre complexe z, ()()212zzzzacbzaz--=++ a bzz-=+

21 et a

czz= 21

Exemple : Résoudre :

()02312=-+-+izzi

On calcule les racines carrées de

D par la méthode précédente. Si d et -d sont les racines carrées de

D, on a :

( )idz+ +=1231 et ( )idz+ -=1232

Dans notre cas, id21

-= et id21+-=-

Les solutions s"écrivent :

( )iiiz5,15,112241-=+-= et ( )112222=++=iiz

Exercice : Résoudre

a) ()()02132412=-+--+izizi b) ()()0253242=---+izizi c) ()0237142=-+--iziz d) 01934

2=+-zz

e) ()()0371542=-+---izizi

MAI1 : Travail Autonome

Méthode de travail

· Travailler en binôme ou en trinôme.

Comprendre le principe et les étapes.

Faire les exercices et confronter vos résultats.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13