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Tronc Commun Science Chapitre Arithmétiques Ensemble Matière Mathématiques Thème Série d'exo N° 3 Exercice 1 : 1) Décomposer en facteurs  

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Soit d un entier naturel non nul et on pose a = 11d + 7 et b = 5d − 3 Montrer que tout diviseur de a et b est un diviseur de 68 Exercice résolu Correction:

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Exercices d'arithmétiques corrigés Exercice N°1 : 1-Etablir que pour tout (a,b,q) 3 ,pgcd(a,b) = pgcd(b,a-bq) 2-Montrer que pour tout n , pgcd(5n3-n,n+2) 

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Cours arithmétique avec Exercices avec solutions PROF : ATMANI NAJIB Tronc CS I) L'ensemble des nombres entiers naturels II) Diviseurs V) le plus grand commun diviseur Exercice : déterminer les multiples de 9 comprises entre :23

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d divise alors aussi a − b × q = r, où q est le quotient dans la division euclidienne de a par b, d'après un exercice déjà vu d est donc diviseur commun de b et de r,  

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Dans toutes les exercices, n est un entier naturel exercice1: exercice5: Déterminer le plus grand diviseur commun de x et y dans chaque cas : 1) x=75 et y= 

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il existe un entier naturel k tel que : n = 2k + 1 donc n + 1 = 2k + 2 Donc n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) donc A = 2 (2k + 1)(k + 1) on pose k = (2k + 1)(k + 1) donc k Donc A = 2k d’où Le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est pair

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Arithmétique dans l"ensemble des entiers natures : diviseurs, multiples, division euclidienne, PGCD,

PPCM, nombres premiers, décomposition en

produit de facteurs premiers

Denis Vekemans

1 L"ensemble des entiers naturels

Définition naïve: 0 est un entier naturel; et, sinest un entier naturel, alorsn+ 1 aussi.

Ainsi, comme 0 est entier naturel, 0 + 1 = 1 aussi; puis, comme 1 est entier naturel, 1 + 1 = 2 aussi;

puis, comme 0 est entier naturel, 2 + 1 = 3 aussi;... Remarque: l"ensemble des entiers naturels est de cardinal infini.

2 Diviseurs - Multiples

Définition: S"il existe un entier naturelktel quea=k×b, alors on dit que -aestmultipledeb; - et/oubest undiviseurdea. Remarque importante: siaest un multiple deb, alorsbest un diviseur dea; réciproquement, sibest un diviseur dea, alorsaest un multiple deb. Exemple: 21 = 3×7, donc 21 est un multiple de 3 et/ou 3 est un diviseur de 21.

Exercice 1

- 10 est-il multiple de 4? - 5 est-il diviseur de 25? - 252 est-il multiple de 9? - 18 est-il diviseur de 9? - Quel est l"ensemble des multiples de 5?

?Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais

cedex ; France 1 - Quel est l"ensemble des diviseurs de 48?- Soitnun entier naturel. 0 est-il un multiple den? - Soitnun entier naturel non nul. 0 est-il diviseur den?

Solution 1

- Non, 10 = 2,5×4, mais 2,5 n"est pas un entier naturel. - Oui, car 25 = 5×5, et 5 est bien un entier naturel. - Oui, car 252 = 28×9 et 28 est bien un entier naturel. - Non, car 9 = 1

2×18 et12n"est pas un entier naturel.

- 0, 5, 10, 15, 20,...Cet ensemble est de cardinal infini. - 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, et 48. Cet ensemble est de cardinal fini. - Oui, car 0 = 0×n. - Non, car 0×k= 0?=n.

Théorème 2.1

Propriété additive : siaest multiple decetbest multiple dec, - alorsa+best multiple dec, - et si, de plus,a≥b, alorsa-best multiple dec. Exemple: 49 = 7×7 et 21 = 7×3 sont multiples de 7, donc 49 + 21 = 70 et 49-21 = 28 sont aussi multiples de 7 (en effet, 70 = 7×10 et 28 = 7×4).

Démonstration

Il existe un entier naturelktel quea=k×c(caraest multiple dec). Il existe un entier naturelltel que

b=l×c(carbest multiple dec). Ainsi, par somme,a+b=k×c+l×c= (k+l)×c. Puis,a+best

multiple dec(on a pu trouver un entier naturelk+lqui, multiplié parc, donnea+b). Et, par différence,

a-b=k×c-l×c= (k-l)×c. Puis,a-best multiple dec(on a pu trouver un entierk-lqui, multiplié

parc, donnea+b; etk-l≥0 cara-b >0 etc≥0 donnentk-l≥0 d"aprèsa-b= (k-l)×c).

Théorème 2.2

Propriété de transitivité : siaest multiple debetbest multiple dec, alors,aest multiple dec.

Exemple: 63 = 21×3 est multiple de 21 et 21 = 7×3 est multiple de 7, donc 63 est multiple de 7 (en

effet, 63 = 7×9).

Démonstration

Il existe un entier naturelktel quea=k×b(caraest multiple deb). Il existe un entier naturelltel

queb=l×c(carbest multiple dec). Ainsi, par substitution,a=k×b=k×(l×c) = (k×l)×c(par

associativité de la multiplication). Puis,aest multiple dec(on a pu trouver un entier naturelk×lqui,

multiplié parc, donnea).

Exercice 2

2 - Vrai ou faux (justifié) : siaest multiple debetaest multiple dec, alors,aest multiple deb+c.

- Vrai ou faux (justifié) : sicest diviseur dea, sibest diviseur deaet sic≥b, alors,c-best diviseur

dea. - Vrai ou faux (justifié) : on peut trouver un multiple de 14 qui ne soit pas un multiple de 7.

- Vrai ou faux (justifié) : je connais un diviseur de 24 qui ne soit pas un diviseur de 12, ni 24, lui-même.

- Vrai ou faux (justifié) : on peut trouver un multiple de 7 qui nesoit ni un multiple de 14, ni un

multiple de 21, ni le nombre 7, lui-même. - Vrai ou faux (justifié) : je connais un diviseur de 124 qui ne soitpas un diviseur de 248.

Solution 2

- Faux! 21 est multiple de 3 et de 7, mais pas de 3 + 7 = 10. - Faux! 7 et 3 sont des diviseurs de 21, mais pas 7-3 = 4.

- Faux! D"après la propriété de transitivité, comme 14 est multiple de 7, tout multiple de 14, l"est de

7. - Vrai! 8. - Vrai! Par exemple, 35, 49,...

- Faux! D"après la propriété de transitivité, comme 124 est diviseur de 248, tout diviseur de 124, l"est

de 248.

Exercice 3Soitnun entier naturel. Démontrer

1. que 6×n+ 9 est multiple de 3;

2. que (n+ 2)2-n2est multiple de 4;

3. et que que (n+ 2)2-(n-2)2est multiple de 8.

Solution 3

1. 6×n+ 9 = (2×n+ 3)×3 est multiple de 3 car 3 est en facteur dans 6×n+ 9;

2. (n+2)2-n2= (n2+4×n+4)-n2= 4×n+4 = 4×(n+1) est multiple de 4 car 4 est en facteur

dans (n+ 2)2-n2;

3. (n+ 2)2-(n-2)2= (n2+ 4×n+ 4)-(n2-4×n+ 4) = 8×nest multiple de 8 car 8 est en

facteur dans (n+ 2)2-(n-2)2.

Exercice 4[Examen S1, 2016] Un groupe de majorettes étudie une dispositionpour défiler. Elles dé-

cident de se placer en rangées pour former un rectangle.

Elles remarquent que :

- quand elles se placent par rangées de six, il en reste trois non placées, - quand elles se placent par rangées de cinq, elles sont toutes placées. 3

1. Si elles se placent par rangées de trois, en reste-t-il? Justifiez.

2. Si elles se placent par rangées de deux, en reste-t-il? Justifiez.

3. Dans cette question uniquement, on fait l"hypothèse qu"il ya en tout moins de cinquante majorettes.

Quel peut être le nombre de majorettes? Donnez toutes les solutions.

Solution 4

1. Quand elles se placent par rangées de 6, il en reste 3 non placées. Chacune des rangées de 6 constitue

deux rangées de 3; les 3 non placées constituent maintenant une rangée de 3. Il n"en reste donc pas.

Solution algébrique

. D"après la première hypothèse, il y a 6×k+ 3 majorettes (aveck?N). Or

6×k+ 3 = 3×(2×k+ 1) est multiple de 3. Par rangées de 3, elles seront donc toutesplacées.

2. Quand elles se placent par rangées de 6, il en reste 3 non placées. Chacune des rangées de 6 constitue

trois rangées de 2; les 3 non placées constituent maintenant une rangée de 2, mais il en reste 1. Il

en reste donc une.

Solution algébrique

. D"après la première hypothèse, il y a 6×k+ 3 majorettes (aveck?N). Or

6×k+ 3 = 2×(3×k+ 1) + 1 n"est pas multiple de 2. Par rangées de 2, il en reste donc une non

placée.

3. D"après la première hypothèse, il y a 6×k+ 3 majorettes (aveck?N), soit 3,9,15,21,27,33,39

ou 45 majorettes, puisqu"il y a moins de cinquante majorettes. Parmi ces possibilités, d"après la

deuxième hypothèse, il ne reste que 15 ou 45.

Conclusion

: les majorettes sont au nombre de 15 ou de 45. Exercice 5[Besançon (1998)] Quels sont les entiers naturelsaetbtels quea2-b2= 255? Solution 5Dea2-b2= (a-b)×(a+b), on déduit que, commea2-b2>0 eta+b >0,a-b >0. D"autre part, dea2-b2= (a-b)×(a+b) et commeaetbsont des entiers naturels, on déduit aussi

quea-b(qui est positif d"après la remarque précédente) eta+bsont aussi des entiers naturels.

De (a-b)×(a+b) = 255, on déduit que 255 s"écrit donc comme produit de deux entiers naturels (à

savoir, comme produit dea-bpara+baveca-b < a+b).

Cependant, on ne peut écrire 255 comme produit de deux entiers naturels que de quatre façons quand

on impose que le facteur de gauche est inférieur au facteur de droite et chacune de ces façons nous fournit

une solution :

1.Première façon: 255 = 1×255

On déduit alors le système d"équations suivant : ?a-b= 1 (L1) a+b= 255 (L2)??? ?a-b= 1 (L1)

2×b= 254 (L2)-(L1)???

?b=254

2= 127

a=b+ 1 = 128

Première solution :a= 128 etb= 127.

4

2.Deuxième façon: 255 = 3×85

On déduit alors le système d"équations suivant : ?a-b= 3 (L1) a+b= 85 (L2)??? ?a-b= 3 (L1)

2×b= 82 (L2)-(L1)???

?b=82 2= 41 a=b+ 3 = 44

Deuxième solution :a= 44 etb= 41.

3.Troisième façon: 255 = 5×51

On déduit alors le système d"équations suivant : ?a-b= 5 (L1) a+b= 51 (L2)??? ?a-b= 5 (L1)

2×b= 46 (L2)-(L1)???

?b=46 2= 23 a=b+ 5 = 28

Troisième solution :a= 28 etb= 23.

4.Quatrième façon: 255 = 15×17

On déduit alors le système d"équations suivant : ?a-b= 15 (L1) a+b= 17 (L2)??? ?a-b= 15 (L1)

2×b= 2 (L2)-(L1)???

?b=2 2= 1 a=b+ 15 = 16

Quatrième solution :a= 16 etb= 1.

3 Division euclidienne

Définition: poura(entier naturel quelconque) etb(entier naturel non nul quelconque), il existe un entier naturelqet un entier naturelrtels que a=b×q+r, où

Dans ce cas, on parle dedivision euclidiennedea(le dividende) parb(le diviseur) oùqest un quotient

etrun reste.

Théorème 3.1

Dans la division euclidienne deaparb, le quotient et le reste sont définis de façon unique.

Note: le quotient provenant de la division euclidienne deaparbest souvent appelé quotient euclidien

pour le distinguer du quotienta/b.

Exemple: dans la division euclidienne de 356 par 15, le quotient est 23 et le reste est 11; cela s"écrit :

356 = 23×15 + 11.

L"algorithme d"Euclide pour la division euclidienne 5

Le voici sur l"exemple de la division euclidienne de 3 562 par 23. Il permet d"obtenir le reste (20) et le

quotient (154) de cette division euclidienne.

3 5 6 2

-2 3 1 2 6 -1 1 5 1 1 2 -9 2 2 0 2 3 1 5 4 La technique opératoire dans la division euclidienne deaparbest la suivante :

1. On écrit au brouillon la table utile des multiples deb(1×b, 2×b,..., 9×b).

2. On considèrea1le plus petit nombre constitué des premiers chiffres deatel quea1≥b. On effectue

la division euclidienne dea1parbdont le quotient est notéq1et dont le reste est notér1.q1est le

premier chiffre du quotient (d"où l"utilité de l"écriture aubrouillon de la table des multiples deb).

3. Tant qu"il existe encore des chiffres à considérer dansa, on effectue (la première fois,ivaut 2, puis

il est incrémenté à chaque fois de 1) :

(a) On considèreaile nombre formé des chiffres deri-1suivis du premier chiffre deaqui n"ait pas

encore été considéré. (b) On effectue la division euclidienne deaiparbdont le quotient est notéqiet dont le reste est

notéri.qiest leième chiffre du quotient (d"où encore l"utilité de l"écritureau brouillon de la

table des multiples deb).

4. Les restesr1,r2,...sont appelés les restes partiels et les quotientsq1,q2,...sont appelés les

quotients partiels (ce sont des chiffres). Le reste de la divisioneuclidienne deaparbest le dernier reste partiel obtenu; le quotient de cette division est le nombre formé des quotients partiels. Exercice 6[Créteil, Paris, Versailles (2004)] Sachant que

36 202 744 = 9 658×3 748 + 4 560,

donner le quotient de la division euclidienne de 36 202 744 par3 748.

Solution 6On peut écrire

36 202 744 = 3 748×9 658 + (3 748 + 812) = 3 748×9 659 + 812.

Le quotient de la division euclidienne de 36 202 744 par 3 748 vaut donc 9 659 et le reste 812 (on a bien

812<3 748).

6

Exercice 7Compléter les•par des chiffres en convenant qu"un chiffre situé en première position est

non nul.

• •7 6

-3• • 2• 3 6 Indiquer toutes les manières possibles pour compléter ces•.

Solution 7La table des 36 est : 1×36 = 36 ; 2×36 = 72 ; 3×36 = 108 ; 4×36 = 144 ; 5×36 =

180 ; 6×36 = 216 ; 7×36 = 252 ; 8×36 = 288 ; 9×36 = 324.

Comme le seul élément de la table de 36 dont le premier chiffre estun 3 est 324 = 9×36, le nombre

en deuxième ligne à gauche de la potence est 324 et le premier chiffre du quotient est 9.

On complète la potence :

• •7 6

-3 2 4 2• 3 6 9•

En troisème ligne à gauche de la potence, le 6 de la première ligne est abaissé et le chiffre des unités

de• •7-324 est 3.

On complète la potence :

• •7 6

-3 2 4

•3 6

2• 3 6 9•

Toujours en troisième ligne à gauche de la potence, le nombre•3 (obtenu par• •7-324) est un reste

partiel et est donc compris entre 0 (inclus) et 36 (exclu). En tenant compte aussi du fait qu""un chiffre

situé en première position est non nul", en troisième ligne à gauche de la potence, le nombre•3 (obtenu

par• •7-324) ne peut être que 13, 23 ou 33.

Premier cas: en troisième ligne à gauche de la potence, le nombre•3 (obtenu par• •7-324) est 13.

On complète alors d"abord la première ligne à gauche de la potence : comme••7-324 = 13,••7 = 337.

7

Ensuite, comme 136 = 3×36+28 = 108+28, le nombre en quatrième ligne à gauche de la potence est

108, le nombre en cinquième ligne à gauche de la potence est 28 et le deuxième chiffre du quotient est 3.

3 3 7 6

-3 2 4 1 3 6 -1 0 8 2 8 3 6 9 3

Deuxième cas: en troisième ligne à gauche de la potence, le nombre•3 (obtenu par••7-324) est 23.

On complète alors d"abord la première ligne à gauche de la potence : comme••7-324 = 23,••7 = 347.

Ensuite, comme 236 = 6×36+28 = 216+20, le nombre en quatrième ligne à gauche de la potence est

216, le nombre en cinquième ligne à gauche de la potence est 20 et le deuxième chiffre du quotient est 6.

3 4 7 6

-3 2 4 2 3 6 -2 1 6 2 0 3 6 9 6

Troisième cas: en troisième ligne à gauche de la potence, le nombre•3 (obtenu par••7-324) est 33.

On complète alors d"abord la première ligne à gauche de la potence : comme••7-324 = 33,••7 = 357.

Ensuite, comme 336 = 9×36+12 = 324+12, le nombre en quatrième ligne à gauche de la potence est

324, le nombre en cinquième ligne à gauche de la potence est 12 et le deuxième chiffre du quotient est 9.

Cependant, le nombre en cinquième ligne à gauche de la potence a 2 comme premier chiffre et il est

donc impossible que ce soit 12.

Ce troisième cas ne fournit pas de solution.

Exercice 8[Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poiriers, LaRéunion (2000)] Les lettres

aeta?désignent des entiers naturels. Dans la division euclidienne deapar 11, le reste estr. Dans la

division euclidienne dea?par 11, le reste estr?.

1. Déterminer le reste dans la division euclidienne dea+a?par 11.

2. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 3×apar 11.

Solution 8Soitqle quotient dans la division euclidienne deapar 11 etq?le quotient dans la divi- sion euclidienne dea?par 11, on a? ?a= 11×q+r ?a ?= 11×q?+r? 8

1. Dès lors, on a :

?a+a?= 11×q+r+ 11×q?+r?= 11×(q+q?) + (r+r?)

Dans ce cas,

?a+a?= 11×q+r+ 11×q?+r?= 11×(q+q?) + (r+r?)

Ainsi, le quotient estq+q?et le reste estr+r?.

Dans ce cas,

?a+a?= 11×q+r+ 11×q?+r?= 11×(q+q?) + (r+r?) = 11×(q+q?+ 1) + (r+r?-11) Ainsi, le quotient estq+q?+ 1 et le reste estr+r?-11.

2. Dès lors, on a :

?3×a= 3×(11×q+r) = 11×(3×q) + (3×r)

Dans ce cas,

?3×a= 3×(11×q+r) = 11×(3×q) + (3×r) Ainsi, le quotient est 3×qet le reste est 3×r.

Dans ce cas,

?3×a= 3×(11×q+r) = 11×(3×q) + (3×r) = 11×(3×q+ 1) + (3×r-11) Ainsi, le quotient est 3×q+ 1 et le reste est 3×r-11.

Dans ce cas,

?3×a= 3×(11×q+r) = 11×(3×q) + (3×r) = 11×(3×q+ 2) + (3×r-22) Ainsi, le quotient est 3×q+ 2 et le reste est 3×r-22. 9 q= 60,r= 47. Trouver toutes les valeurs possibles pouraetb.

Solution 9On écrit?

?a=b×60 + 47

Ainsi, la plus petite valeur possible debest 48 et la plus petite valeur possible deaest 48×60+47 =

2 927.a= 2 927 etb= 48 est possible.

La valeur suivante pourbestb= 49, et la valeur deacorrespondante est 49×60+47 = 2 987.a= 2 987 etb= 49 est possible.

Mais, sib≥50, alorsa=b×60 + 47≥50×60 + 47 = 3 047 ne peut être inférieur ou égal à 3 000.

b≥50 n"est donc pas possible. Exercice 10Dans la division euclidienne deaparb, le quotient estqet le reste estr. On donne q=r= 37. Trouver la plus petite valeur possible que peut prendrea.

Solution 10On écrit?

?a=b×37 + 37

Ainsi, la plus petite valeur possible debest 38 et la plus petite valeur possible deaest 38×37+37 =

1 443.

Exercice 11Dans la division euclidienne deaparb, le quotient estqet le reste estr. On donne a=α2oùαest entier naturel,b= 8. Donnerrpourα= 1. Donnerrpourα= 3. Donnerrpourα= 5.

Montrer que siαest impair, alorsr= 1.

Solution 11On écrit?

?a=α2= 8×q+r ?Pourα= 1, a=α2= 1

1 = 8×0 + 1

q= 0 r= 1,? ?Pourα= 3, a=α2= 9

9 = 8×1 + 1

q= 1 r= 1,? ?Pourα= 5, a=α2= 25

25 = 8×3 + 1

q= 3 r= 1

Plus généralement, quandαest impair, alors, on peut l"écrire sous la forme 2×k+ 1 pour un certain

entier naturelk. Alors,a=α2= (2×k+ 1)2= 4×k2+ 4×k+ 1 = 4×k×(k+ 1) + 1. 10

Cependant,ketk+ 1 sont deux entiers naturels consécutifs, donc l"un des deux estpair et l"autre est

impair, et le produitk×(k+1) est forcément pair. Comme il est pair, on peut l"écrire sous la forme 2×κ

pour un certain entier naturelκ. Ainsi,a= 4×k×(k+ 1) + 1 = 4×(2×κ) + 1 = 8×κ+ 1.

De cette dernière écriture, il vient que dans la division euclidienne deapar 8, le quotient estκet le

reste estl. Exercice 12On cherche un nombre naturel de trois chiffres, multiple de 9 etdont le quotient dans

la division euclidienne par 21 est 33. Déterminer le (ou les) nombre (ou nombres) solution (ou solutions).

Solution 12Soitace nombre entier naturel de trois chiffres. Comme le quotient dans la division ecli- dienne par 21 est 33, on a ?a= 21×33 +r= 693 +r Commeaest multiple de 9 et 693 = 9×77 aussi, alors, par différence,raussi. -r= 0 auquel casa= 693; -r= 9 auquel casa= 702; - etr= 18 auquel casa= 711.

Les trois solutions sonta= 693,a= 702 eta= 711.

Théorème 3.2

Soitaeta?deux entiers naturels tels quea?< aetbun entier naturel non nul.

Le nombre de multiples debqui sont inférieurs ou égaux àaet non nuls est le quotient dans la division

euclidienne deaparb. Le nombre de multiples debqui sont compris entrea?(exclu) eta(inclus) et non nuls est le quotient dans la division euclidienne deaparbdiminué du quotient dans la division euclidienne dea?parb.

Exemples.

- Les multiples de 6 inférieurs ou égaux à 30 et non nuls sont 6, 12, 18, 24 et 30. Ils sont au nombre

de 5 et le quotient dans la division euclidienne de 30 par 6 est 5 (car 30 = 6×5 + 0).

- Les multiples de 10 inférieurs ou égaux à 34 et non nuls sont 10, 20 et 30. Ils sont au nombre de 3

et le quotient dans la division euclidienne de 34 par 10 est 3 (car 34 = 10×3 + 4).

- Les multiples de 9 compris entre 100 (exclu) et 120 (inclus) sont 108 et 117. Ils sont au nombre de

2 et le quotient dans la division euclidienne de 120 par 9 (qui est 13 car 120 = 9×13 + 3) diminué

du quotient dans la division euclidienne de 100 par 9 (qui est 11car 100 = 9×11 + 1) est 2 (car

2 = 13-11).

- Les multiples de 12 compris entre 70 (exclu) et 140 (inclus) sont 72, 84, 96, 108, 120 et 132. Ils sont au nombre de 6 et le quotient dans la division euclidienne de 140 par 12 (qui est 11 car 11

140 = 12×11 + 8) diminué du quotient dans la division euclidienne de 70 par 12 (qui est 5 car

70 = 12×5 + 10) est 6 (car 6 = 11-5).

Exercice 13[Lyon (1998)] Les multiples de 21 dont l"écriture décimale nécessite deux chiffres exac-

tement, sont : 21, 42, 63, 84. Pour écrire cette liste, il faut 8 caractères d"imprimerie. Combien en faut-il

pour écrire la liste des multiples de 21 dont l"écriture décimale nécessite trois chiffres exactement? Même

question avec cinq chiffres.

Solution 13

- Le nombre de multiples de 21 dont l"écriture nécessite deux chiffres est le nombre de multiples de

21 compris entre 9 (exclu) et 99 (inclus), c"est donc le quotient dans la division euclidienne de 99

par 21 (qui est 4 car 99 = 21×4 + 15) diminué du quotient dans la division euclidienne de 9 par

21 (qui est 0 car 9 = 21×0 + 9) qui est 4 (car 4 = 4-0). Le nombre de caractères nécessaires est

4×2 = 8.

- Le nombre de multiples de 21 dont l"écriture nécessite trois chiffres est le nombre de multiples de

21 compris entre 99 (exclu) et 999 (inclus), c"est donc le quotient dans la division euclidienne de

999 par 21 (qui est 47 car 999 = 21×47 + 12) diminué du quotient dans la division euclidienne de

99 par 21 (qui est 4 car 99 = 21×4 + 15) qui est 43 (car 43 = 47-4). Le nombre de caractères

nécessaires est 43×3 = 129.

- Le nombre de multiples de 21 dont l"écriture nécessite cinq chiffres est le nombre de multiples de

21 compris entre 9 999 (exclu) et 99 999 (inclus), c"est donc le quotient dans la division euclidienne

de 99 999 par 21 (qui est 4 761 car 99 999 = 21×4 761 +18) diminué du quotient dans la division

euclidienne de 9 999 par 21 (qui est 476 car 99 = 21×476+3) qui est 4 285 (car 4 285 = 4 761-476).

Le nombre de caractères nécessaires est 4 285×5 = 21 425. Exercice 14[Lyon, Grenoble (1999)] On considère la suite croissante de tousles naturels non mul-

tiples de 7 (1 , 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17,...). 1 est de rang 1, 2 est de rang 2, 3 est de

rang 3, 4 est de rang 4, 5 est de rang 5, 6 est de rang 6, 8 est de rang 7, 9est de rang 8, 10 est de rang 9,

11 est de rang 10, 12 est de rang 11,...

1. Quel est le rang de 47? Quel est le rang de 741?

2. Quel est le terme de rang 26? Quel est le terme de rang 52? Quel est le terme de rang 136?

Solution 14

1. Comment calculer le rangrang(N) d"un nombreNdonné?

- Pour les nombres de 1 à 6, le rang est égal au nombre :rang(N) =N, c"est parce qu"avant ces nombres, on n"a rencontré aucun multiple de 7 non nul, 12 - pour les nombres de 8 à 13, le rang est égal au nombre diminué de1 :rang(N) =N-1, c"est parce qu"avant ces nombres, on a rencontré un unique multiplede 7 non nul, c"est-à-dire 7, - pour les nombres de 15 à 20, le rang est égal au nombre diminué de 2 :rang(N) =N-2, c"est parce qu"avant ces nombres, on a rencontré deux multiples de 7non nul, c"est-à-dire 7, et 14, En fait, pour trouver le rang d"un nombreN, il suffit de lui soustraire le nombre de multiples de 7 non nuls rencontrés jusqu"àN. Ainsi, le rang d"un nombreNest le nombreNdimminué du quotient dans la division euclidienne deNpar 7. Ainsi, comme 47 = 7×6 + 5, le rang de 47 est 47-6 = 41. Et, comme 741 = 7×105 + 6, le rang de 741 est 741-105 = 636.

2. Comment calculer le termeNde rangrang(N) donné?

- Pour les rangs de 1 à 6, le nombre est égal au rang :N=rang(N), - pour les rangs de 7 à 12, le nombre est égal au rang augmenté de 1:N=rang(N) + 1, - pour les rangs de 13 à 18, le nombre est égal au rang augmenté de2 :N=rang(N) + 2, En fait, pour trouver le nombreNde rangrang(N) il suffit de lui ajouter 0 pour le premier groupe

de 6 rangs (rangs de 1 à 6), de lui ajouter 1 pour le deuxième groupe de 6 rangs (rangs de 7 à 12), de

lui ajouter 2 pour le troisième groupe de 6 rangs (rangs de 13 à 18),...Ainsi, le nombre d"un rang

rang(N) est le rangrang(N) augmenté du quotient dans la division euclidienne derang(N)-1 par 6.quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24