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m – n est impair il existe un entier naturel k tel que : m – n = 2k + 1 m – n + 2n = 2k + 1 + 2n donc m + n = 2(k + n) + 1 on pose k = k + n donc k Donc m + n = 2k + 1 D’où m + n est impair Exercices corrigés d'arithmétique dans N Tronc commun science biof

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Exercices corrigés

d'arithmétique dans N

Partie I

Tronc commun science biof

Exercice 1 :

Soient m et n deux nombres entiers naturels, tel que m n .

1 Montrer que m n et m + n ont la même parité.

2 5pVRXGUH GMQV 1 O·pTXMPLRQ P2 n2 = 12

Exercice 2 :

Exercice 3 :

2 Soit n un entier naturel. Vérifier que :

n2 + 5n + 7 = (n + 2)(n + 3) + 1 puis montrer que n2 + 5n + 7 est impair.

1 Déterminer la parité des nombres suivants :

A = n(n + 1) ; B= (2n+1)2021 + (4n)2020 ; C = 3n3 n

1 Développer le nombre ; n

28(3 2) 5 ( ) 35A n n n

2 En déduire que A est un carré parfait.

3 Déterminer la parité du nombre A.

Soit n un nombre entier naturel.

Exercices corrigés d'arithmétique dans N

Tronc commun science biof

6ROXPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 1

1 Déterminer la parité des nombres suivants :

Soit n un nombre entier naturel.

A = n(n + 1) ; B = (2n+1)2021 + (4n)2020 ; C = 3n3 n

On a A = n(n + 1)

On distingue deux cas:

Si n est pair il existe un entier naturel k tel que : n = 2k donc n + 1 = 2k + 1 Donc n(n + 1) = 2k(2k + 1) donc A = 2 (2k2 + k) on pose k = 2k2 + k donc k

Donc A = 2k A est pair

Si n est impair il existe un entier naturel k tel que : n = 2k + 1 donc n + 1 = 2k + 2 Donc n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) donc A = 2 (2k + 1)(k + 1) on pose k = (2k + 1)(k + 1) donc k

Donc A = 2k A est pair

Conclusion : pour tout n entier naturel n(n + 1) est pair Le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est pair.

Exercices corrigés d'arithmétique dans N

Tronc commun science biof

2) Vérifier que : n2 + 5n + 7 = (n + 2)(n + 3) + 1

n2 + 5n + 7 est impair est impair On a (n + 2)(n + 3) est pair il existe un entier naturel k tel que: (n + 2)(n + 3) = 2k

Donc n2 + 5n + 7 = 2k + 1

B = (2n+1)2021 + (4n)2020

On a 2n + 1 est impair donc (2n+1)2021 est aussi impair On a 4n = 2(2n) est pair donc (4n)2020 est aussi pair

OM VRPPH G·XQ

nombre pair et

G·XQ QRPNUH

impair est impair le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est pair

On a C = 3n3 n = 2n3 + n3 n

Donc C = 2n3 + 2k(n 1) = 2(n3 + kn k)

Donc C = 2n3 + n(n2 1) Donc C = 2n3 + n(n + 1)(n 1) n(n + 1) est pair il existe un entier naturel k tel que: n(n + 1) = 2k on pose k = n3 + kn k donc k

Donc C = 2k C est pair

2 + 5n + 7 = (n + 2)(n + 3) + 1

On a (n + 2)(n + 3) + 1 = n2 + 3n + 2n + 6 + 1 donc (n + 2)(n + 3) + 1 = n2 + 5n + 7

Exercices corrigés d'arithmétique dans N

Tronc commun science biof

On a 2n + 1 est impair donc (2n+1)2 est aussi impair

Un carré parfait

est un nombre qui est le carré d'un autre entier

6ROXPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 2

0n a

2 2 28(3 2) 5 ( ) 3 9 12 4 5 8 35n n n n n n n

2 En déduire que A est un carré parfait. 2 2 2 24 4 1 (2 ) 2 2 1 1 (2 1)n n n n n

0n a

3 Déterminer la parité du nombre A.

Donc A = 4n2 + 4n + 1

Donc A = (2n + 1)2 G·RZ $ HVP XQ ŃMUUp SMUIMLP

A est impair

Etudier la parité

d'un nombre entier c'est déterminer si cet entier est pair ou impair.

Exercices corrigés d'arithmétique dans N

Tronc commun science biof

6ROXPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 3

On suppose que m n est pair et montrons que m + n est aussi pair + n est pair Soient m et n deux nombres entiers naturels, tel que m n .

1 Montrer que m n et m + n ont la même parité.

m n est pair il existe un entier naturel k tel que : m n = 2k m n + 2n = 2k + 2n donc m + n = 2(k + n) on pose k = k + n donc k

Donc m + n = 2k

On suppose que m n est impair et montrons que m + n est aussi impair m n est impair il existe un entier naturel k tel que : m n = 2k + 1 m n + 2n = 2k + 1 + 2n donc m + n = 2(k + n) + 1 on pose k = k + n donc k

Donc m + n = 2k + 1

+ n est impair

Exercices corrigés d'arithmétique dans N

Tronc commun science biof

Soient m et n deux nombres entiers naturels, tel que m n . m n et m + n ont la même parité et 12 est pair

2 5pVRXGUH GMQV 1 O·pTXMPLRQ P2 n2 = 12

m = 4 et n = 2 m2 n2 = (m n) (m + n)

Puisque m n < m + n

Donc (m n) (m + n) = 12

Donc (m n) et (m + n) sont pairs On a 12 = 2 × 6

Donc m n = 2 et m + n = 6

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