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EXERCICE CORRIGÉ 2 Soit x ∈ Z, tel que xp−5 ≡ 1 [p] (a) Soit d = PGCD(x, p ) alors x = d q1 et p = d q2 o`u q1 et q2 sont deux entiers relatifs premiers

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Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 1 divise 3n − 4 Page 2 Terminale S 2 F Laroche Arithmétique exercices

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Exercices d'arithmétiques 18 janvier 2014 Exercice 1 1 Montrer que si n est somme des carrés de deux entiers consécutifs alors 2n − 1 est le carré d'un 

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Exercice 1 : Résoudre dans ?2 l’équation : 11x + 16y = 0 Une solution : 11x + 16y = 0 ? 11x = ? 16y ? 16 11x et PGCD(11 16) = 1 d’après le théorème de Gauss 16 divise x ; donc x = 16k k ? ? On déduit de (1) que y = ?11k S= {(16k ?11k) k ? ? } Exercice 2 :

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1Académie de Bordeaux ;nouveaux programmes de terminaleSIl est proposé aux stagiaires de classer ces exercices en trois catégories ; " exigibles, activités et

hors programme ».

Arithmétique en terminale S, enseignement de spécialité. Exercices et problèmes :1) Quelles sont les valeurs de l'entier p telles que p - 1 divise p + 11 ?

2) a et b désignent des nombres entiers. Montrer que a2 + b2 est divisible par 3 si et seulement si a

et b le sont.

3) On donne deux entiers a et b avec a > b . On effectue les divisions euclidiennes de a et b par

a - b. Comparer les quotients et les restes obtenus.

4) Dans la division euclidienne de a par b, le quotient est 4, le reste est r, déterminer les nombres a,

b, r tels que a + b + r = 79.

5) Comment faut-il choisir l'entier n pour que 2n - 1 soit divisible par 9 ? Cette condition étant

vérifiée, montrer que 2n - 1 est divisible par 63.

6) Reste de la division euclidienne de 41998 par 7 ?

7) Résoudre dans Z l'équation suivante d'inconnue x : 3 x2 + 4 x \ 0 ( modulo 21 ).

8) Vérifier que pour n = 3, on a n2 + n + 1 = 13. Trouver tous les entiers n tels que n2 + n + 1 soit

multiple de 13.

9) 4 est le chiffre des unités d'un entier x. A quelle condition, l'écriture de x2 dans le système

décimal se termine t- elle par 16 ?

10) Un nombre s'écrit aabb dans le système décimal ; peut - il être un carré ?

11) Soit le nombre 120450. Par quels chiffres doit - on remplacer les deux zéros pour que le

nouveau nombre obtenu soit divisible par 99 ?

12) Etablir le critère de divisibilité des entiers par 11. Déterminer x pour que le nombre à écriture

décimalexx231 soit divisible par 11.

13) Trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme des carrés s'écrit xxxx dans le système

décimal.

14) Déterminer les entiers x et y solutions de l'équation 4 x - 3 y = 11 . Quelle est la valeur

maximale du p.g.c.d. de x et y ? Déterminer x et y correspondant à cette valeur maximale.

215) Prouver que quel que soit l'entier k , 2 k + 1 et 9 k + 4 sont premiers entre eux . En est- il de

même de 2 k - 1 et 9 k + 4 ?

16) Soit f : Z a IR

x a-+231 3x Sachant que 2 et 3 sont premiers entre eux : prouver que {}AxxZfxZ=ÎÎ,()est non vide ; déterminer A. Déterminer B = {}xxAxfxZÎ+Î,()225.

17) m désigne le p.p.c.m. de deux nombres entiers a et b , d est leur p.g.c.d.. Déterminer les nombres

a et b pour que m + = 203.

18) On divise 644 et 1095 par un même nombre, les restes sont respectivement 15 et 22 ; quel est ce

nombre ?

19) D'après Léonard d'Euler : " Une troupe d'hommes et de femmes a dépensé dans une auberge

1000 sous ; les hommes ont payé 19 sous chacun et les femmes 13. Combien - y avait - il

d'hommes et de femmes ?

20) Le nombre réel ln

ln2

3est-il rationnel ? A quelle condition sur les entiers p et q le nombre réelln

lnp q est-il rationnel ?

21) 6 divise-t-il n3-n quel que soit l'entier n ?

22) Trouver deux entiers a et b tels que a2 - b2 = 24. Même question avec p ( p nombre premier ).

23) On considère N = pa qb rc ,où p, q, r nombres premiers deux à deux distincts et a, b et c entiers

non nuls. Quel est le nombre de diviseurs de N ? Quelle est la forme générale d'un tel nombre qui a dix-huit diviseurs ? Quel est le plus petit de ces nombres ?

24) Montrer que 5 est le seul nombre premier de la forme n4 + 4.

25) Le nombre 22

5 - 1 est-il premier ?

26) Montrer que quel que soit l'entier naturel n, n7 - n est divisible par 42.

27) La décomposition de a en produit de facteurs premiers donne : a = pp1122aa´, a2 possède 81

diviseurs, combien a3 a-t-il de diviseurs ?

28) Soit p un nombre premier tel que 2p - 1 soit premier. On considère le nombre

npp=-´-()2121 a) Quels sont les diviseurs de n ? ( n exclu ), énumérez- les. b) Prouvez que la somme de ces diviseurs ( n exclu) est égale à n. _____________ 3quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24