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Recueil d'exercices corriges d'arithmetique

Niveau Terminale

Hedi Abderrahim

Hiver 2018

Table des matieres

I Arithmetique 4

1 Cles des numeros ISBN 5

1.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2 Divisibilite : 3 petits exercices 7

2.1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 2.1.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2.1.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 2.2.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2.2.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3 Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 2.3.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

2.3.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3 Quand l'arithmetique se m^ele a l'espace, et bien... 9

3.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

3.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4 idees de reponses a certaines questions 12

5 Exercice corrige 19

5.1 Enonces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.2

Solution

19

6 Bo^te a outils GeoGebra pour faire de l'arithmetique 22

6.1

Dans quel ca dres'instaure ce do cument?

22
6.2

Division euclidienne

22
6.2.1

A percuhistorique

22
6.2.2 A l'ere actuelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.3

Liste des comm andespratiques

23
2

TABLE DES MATI

ERES6.3.1Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.4 Le PGCD de deux nom breset quelq uesm ethodesde sa d etermination 26
6.4.1 Commen tles anciennes civilisations in terpretaientle PGCD de deux nombres? 26
6.4.2

I llustrationgraphique

26
6.4.3

I llustrationa vecles divisions successiv es

27
6.4.4

Quelques m ethodesde calcul du PG CD

27
6.5 Juger la primalit ed'un en tiernaturel et a voirla liste de ses facteurs premiers 29
6.6

Quelques m ethodesp ourd eterminerle PPCM

29
6.6.1

M ethode1 : a vecla commande PPC M(a,b)

29
6.6.2 M ethode2 : le 2 eme elementde l'in tersectiondes ensem bles des multiples inferieurs (au sens large) au produit de 2 nombres concernes 29
6.6.3 M ethode3 : le 2 eme elementde l'in tersectiondes ensem bles des multiples inferieurs (au sens large) au produit de 2 nombres concernes 29
6.7 T ableaud econgruence et in versed'un en tiera mo duloun en tiern 30
6.7.1

Rapp el

30
6.7.2 U noutil G eoGebrap ourdresser le table aude co ngruenceet determiner l'inverse lorsqu'il existe 31
6.8 Iden titede B ezout: trouv erune solution particuli erede l' equation: au+bv=d(d=a^b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.8.1 Rapp elde l'iden titede B ezout(ou th eoremede Bac het-Bezout) 31
6.8.2

L'algorithme d'Euclide etendu

31
6.9 Solution particuli ered'une equationdio phantienne 32
6.9.1

Rapp eldu th eoremede B ezout

32
6.9.2 Solution particuli ered'une equationdiophan tiennedu 1 erdegre32 H. Abderrahim page 3 Tome 2

Premiere partie

Arithmetique

4

Chapitre 1

Cles des numeros ISBN

1.1 EnoncesL'international Standard Book Number, connu sous son acronyme :ISBN, est le code

qu'on trouve au dos de chaque livre. Il est compose de 13 chires. Les trois premiers chires valent 978 ou 979 (978 est le premier des identiants attribues aux livres dans la codication EAN); les neuf chires suivants sont les neuf premiers chires de l'ISBN (code de la zone geographique, code de l'editeur, numerotation interne a l'editeur).

Etude d'un exemple

On va s'interesser au codeISBN: 978-9-93 812-516-0, il se decompose en : une premiere partieNde 12 chires qui commence par 978 ou 979. Dans notre cas, apres avoir enleve les tirets, on auraN= 978993812516 une seconde partieK, qui represente la cle compose de un chire de 0 a 9.

Dans l'exemple propose,K= 0

La cle se determine de la facon suivante :

{on calcule un nombresen sommant les chires de rangs impairs et le triple de chacun des chires des rangs pairs dans le codeISBN(on comptera de gauche vers la droite). Dans notre exemple : s= 9+37+8+39+9+33+8+31+2+35+1+36 = 130 5

CHAPITRE 1. CL

ES DES NUMEROS ISBN{on determinera le chirertel quesr(mod10) ( c'est le chire des unites desc'est aussi le reste de sa division euclidienne par 10) {ainsi sir= 0 =)K= 0 et sir6= 0 =)K= 10r 1. C i-dessousla partie Nde 12 chires d'un certain code. Determiner sa cle pour avoir un codeISBNvalable.N= 978221010467? 2.

Q uelc hirecac hel' etiquette"

c ", dans le co deci-dessous p ourqu'il soit un codeISBNvalable.H. Abderrahim page 6 Tome 2

Chapitre 2

Divisibilite : 3 petits exercices

2.1 Exercice 1

2.1.1

Enonces

Determiner tous les couples d'entiers naturels (x;y) tels que :x22xy= 15

2.1.2 Solution

On a :x22xy=x(x2y) et d'autre partxetyetant deux entiers naturels veriantx22xy= 15 alorsx >0 ,y >0 etx > x2y x= 15 x2y= 1ou( x= 5 x2y= 3 x= 15 y= 7ou( x= 5 y= 1

Les couples solutions sont alors (15;7) et (5;1)

2.2 Exercice 2

2.2.1

Enonces

Determiner tous les entiers relatifsntels que : (n3) divise (n+ 5)

2.2.2 Solution

(n3) divise (n+ 5) alors il existe un entier relatifktel que : n+ 5 =k(n3) 7

CHAPITRE 2. DIVISIBILIT

E : 3 PETITS EXERCICESn3 + 8 =k(n3)

(n3)(k1) = 8 alors (n3) divise 8 donc (n3)2 f8;4;2;1;1;2;4;8g =)n2 f5;1;1;2;4;5;7;11g

2.3 Exercice 3

2.3.1

Enonces

Montrer que pour toutn2N;3n+344n+2est divisible par 11

2.3.2 Solution

On a :

4

25 (11) =)443 (11) =)44n3n(11) =)44n+253n

3

35 (11) =)3n+353n(11)

d'ou 3 n+344n+2(11)()3n+344n+20 (11) ainsi 3 n+344n+2est divisible par 11H. Abderrahim page 8 Tome 2

Chapitre 3

Quand l'arithmetique se m^ele a

l'espace, et bien... 3.1

Enonces

1.

O nconsid eredans ZZ, l'equation (E) : 4x+ 5y= 7

(a)

V erierque ( 2;3) est une solution de (E)

(b)

R esoudrel' equation( E)

2. Da nsl'espace m unid'un rep ereorthonorm e( O;!i ;!j ;!k), on considere les plans :

P:x+ 6yz8 = 0 etQ: 3xy+z+ 1 = 0

(a)

Mo ntrerque PetQsont secants suivant une droiteD

(b) D eterminerl'ensem bleFdes points deDdont les coordonnees sont des entiers.

3.2 Solution

1. (a) 2;32Zet 4(2)+53 = 7 alors (2;3) est une solution de (E) (b)

4x+ 5y= 7

4(2) + 53 = 7)

=)4(x+ 2) + 5(y3) = 0

4(x+ 2) = 5(y+ 3)

5^4 = 1)

=)5j(x+ 2) =)x+ 2 = 5k=)x= 5k2 (k2Z) 9

CHAPITRE 3. QUAND L'ARITHM

ETIQUE SE M^ELEA

L'ESPACE, ET BIEN...En remplacant dans (E), on obtient :y=4k+ 3 Verication dans(E) : 4(5k2)+5(4k+3) = 20k820k+15 = 7 : c'est verie

Conclusion :SZZ=f(5k2;4k+ 3); k2Zg

2. (a) P:x+ 6yz8 = 0 =)!n10 B @1 6 11 C

Aest un vecteur normal aP

Q: 3xy+z+ 1 = 0 =)!n20

B @3 1 11 C

Aest un vecteur normal aQ

Etude de la colinearite de!n1et!n2: Methode 1

On a :

13

6=61=)!n1,!n2

Etude de la colinearite de!n1et!n2: Methode 2

n1^!n2=!n0 B @5 4 191
C

A6=!0 =)!n1,!n2

Etude de la colinearite de!n1et!n2: Methode 3 (2 eme variante de la methode 1 D 1= 1 3 61
=196= 0D2= 61
1 1 = 56= 0D3= 1 3 1 1 = 46= 0 ainsi au moins l'un des 3 determinants extraits du tableauD= 1 3 61
1 1 des coordonnees de !n1et!n2est non nul alors!n1et!n2ne sont pas co- lineaires (On aurait pu arr^eter nos calculs juste apresD1 alorsPetQne sont pas paralleles donc ils se coupent suivant une droite D (b)Da pour systeme d'equations cartesiennes :D:( x+ 6yz8 = 0

3xy+z+ 1 = 0

=)D:8 :x+ 6y=z0+ 8

3xy=z01

z=z0(z02R)=)D:8 >>:x=519 z0+219 y=419 z0+2519 z=z0(z02R) ainsF= M x=5z0+ 219 ;y=4z0+ 2519 ;z=z0 avecx;y;z02ZH. Abderrahim page 10 Tome 2

CHAPITRE 3. QUAND L'ARITHM

ETIQUE SE M^ELEA

L'ESPACE, ET BIEN...x2Z=)5z0+ 219

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