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Tronc Commun Série 1 : Produit Scalaire ( )( ). ... .1 1 0BM AC BA AM ACAB AM ACAB AC AM AC= += - += - += - + = Donc . 0BM AC= Donc BM AC⊥ Et par suite les droites ( )MBet ( )ACsont orthogonaux . Corrigé de l'exercice 2 : 1. On sait que : ( ).cosAB ACBACAB AC=× Donc : ( )3 3 5cos cos cos cos2 6 6 62 3 1BACπ π ππ     -    = =- =- = - =             × Donc l'une des mesures de l'angle BACest 56p( )150° 2. ⊳ D'après le théorème d'Al-kashi , on a : 2 2 22 .BC AB AC AB AC= + - Donc : ( )( ) ( )2222 3 1 2 3 19BC= + - - = Et par suite : 19BC= ⊳ En appliquant le théorème de la médiane , on a : 2 2 2 2122AB AC AI BC+ = + Donc : 2 2 2 21 12 2AI AB AC BC = + -  Donc : ( )( )( )2 2221 1 72 3 1 192 2 4AI = + - =  Et par suite : 72AI= Tronc Commun Série 1 : Produit Scalaire Corrigé de l'exercice 3 : 1. D'après le théorème d'Al-kashi , on a : ( )2 2 22 cosBC AB AC AB AC BAC= + - × × Donc : ( )2 2 2cos2AB AC BCBACAB AC+ -=× Donc : ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 26 5 712cos2 6 5 60BAC+ -= =× Et par suite : ( )1cos5BAC= 2. a) on sait que : ( )AB.AC cosAB AC BAC= ´ ´ donc : 1AB.AC 6 55= ´ ´ et par suite : AB.AC 6= b) ( )222.BC ...6 630BA BA BA ACBA BA ACBA AB AC= += += -= -= 3. on a : ( ).BC .BC .BC 0BA BH BH BC car BA= = ´ > donc : .BCBABHBC= donc : 307BH= Tronc Commun Série 1 : Produit Scalaire Corrigé de l'exercice 4 : 1. soit M du plan, on a : ( ) ( )( )222 2. .. .1 1.0 .2 214MAMB MI IA MI IBMI MI IA IB IAIBMI MI AB ABMI AB= + += + + +-   = + +      = - ( Car Iest le milieu du segment [ ]AB) Donc : pour tout point M du plan , 2 21.4MA MB MI AB= - 2. a) on pose { }/ . 9E M P MAMB= Î = - M EÎ équivaut à . 9MAMB= - Equivaut à 2 2194MI AB- = - Equivaut à ( )2216 94MI- = - Equivaut à 0MI= Et par suite { }E I= b) on pose on pose { }/ . 7F M P MAMB= Î = M FÎ équivaut à . 7MAMB= Equivaut à 2 2174MI AB- = Equivaut à ( )2216 74MI- = Equivaut à 216MI= Equivaut à ( )224MI= Et par suite Fest le cercle de centre Iet de rayon 4 c) on pose on pose { }/ . 12G M P MAMB= Î = - M GÎ équivaut à . 12MAMB= - Equivaut à 2 21124MI AB- = - Tronc Commun Série 1 : Produit Scalaire Equivaut à ( )2216 124MI- = - Equivaut à 23MI= - Et par suite G=AE d) on pose on pose { }/ . 0H M P MAMB= Î = M GÎ équivaut à . 0MAMB= Equivaut à 2 2104MI AB- = Equivaut à ( )2216 04MI- = Equivaut à ( )223MI= Et par suite Hest le cercle de centre Iet de rayon 3 ( Rq : M GÎ équivaut à . 0MAMB= Et par suite Hest le cercle de diamètre [ ]AB) Corrigé de l'exercice 5 : 1. D'après le théorème d'Al-kashi , on a : 2 2 22 .BC AB AC AB AC= + - Donc : ( )2 2 21.2AB AC AB AC BC= + - Donc : ( )( ) ( )( )22 21. 7 5 22AB AC= + - Et par suite : . 14AB AC= 2. On sait que : ( ).cosAB ACBACAB AC=× Donc : ( )14cos7 5BAC=× Et par suite : ( )2 7cos5BAC= 3. Puisque . 0AB AC> alors .AB AC AB AH= ´ Donc : .AB ACAHAB= Donc : 142 77AH= = Tronc Commun Série 1 : Produit Scalaire 4. En appliquant le théorème de la médiane , on a : 2 2 2 2122AB AC AI BC+ = + Donc : 2 2 2 21 12 2AI AB AC BC = + -  Donc : ( )( )( )22 221 17 5 2 152 2AI = + - =  Et par suite : 15AI= 5. a) ( )( )221 12. .7 251 12.7 251 1214 57 2514AM AC AB AC ACAB AC AC = + = += += b) on a : ( )( ). ... .14 14 0BM AC BA AM ACAB AM ACAB AC AM AC= += - += - += - + = Donc . 0BM AC= Donc BM AC⊥ Et par suite les droites ( )MBet ( )ACsont orthogonaux.

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