La loi de probabilité de X est une probabilité sur R La fonction de répartition FX de la V A X (ou de la loi PX) est la fonction définie sur R par FX(x) = PX(] − ∞
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SVTE 101 - 2010/2011 - Feuille 9Ch. MeniniR
esume sur les Variables aleatoires, lois usuelles et theoremes de convergence. Dans tout ce qui suit nous nous placerons dans l'espace probabilise( ;P).Variables aleatoires : generalites.
Unevariable aleatoire,X, est une application de
dansR. On utilisera l'abreviation V.A..Eune partie deR, (X2E) =X1(E)def=f!2
jX(!)2Egestl'image reciproquedeEpar l'applicationX. Laloi de probabilite(ouloi) deXest l'applicationPXdenie sur les partiesEdeRparPX(E) =P(X2E). La loi de probabilite deXest une probabilite surR. Lafonction de repartitionFXde la V.A.X(ou de la loiPX) est la fonction denie surRpar FX(x) =PX(] 1;x]) =P(Xx):
Elle est a valeurs dans [0;1]; limx!1FX(x) = 0 et limx!+1FX(x) = 1. Deux V.A.XetYsont ditesindependantessi pour toutes partiesEetFdeR:P((X2E)\(Y2F)) =P(X2E)P(Y2F).
Variables aleatoires discretes.
On dit qu'une V.A. estdiscretesiX(
) est ni ou denombrable. On noteraX( ) =fx1;x2;:::g.Dans le cas de V.A. discretes{ La loi de probabilite d'une V.A. discreteXest donnee parpi=P(X=xi) pour tous lesxideX(
{ La fonction de repartition d'une V.A. discreteXest une fonction en escaliers etPX(xi) =FX(xi)FX(xi1).
{ Deux V.A. discretesXetYprenant respectivement pour valeursX( ) =fx1;x2;:::getY( ) =fy1;y2;:::g sont independantes ssiP((X=xi)\(Y=yj)) =P(X=xi)P(Y=yj) pour tousxietyj.Variables aleatoires a densite.
On dit qu'une V.A. esta densites'il existe une fonction continue surR,f, sauf peut-^etre en un nombre ni de
points, telle queP(aXb) =Rb af(t)dtpour tous reelsab. La fonctionfest appeleedensitede la loi deX.Une densite est une fonction positive, continue sauf peut-^etre en un nombre ni de points, telle queR+1
1f(t)dt= 1.
Dans le cas de V.A. a densite{P(X=a) = 0.
{ La fonction de repartition d'une V.A. a densite est continue et FX(b)FX(a) =Rb
af(t)dt=P(a < Xb) =P(a < X < b) =P(aX < b) =P(aXb).{ En tout pointx0ou la densitefest continue, la fonction de repartitionFXest derivable etF0X(x0) =f(x0).
{ Deux V.A. a densiteXetYsont independantes ssi pour tous reelsxetyP((Xx)\(Yy)) =P(Xx)P(Yy).
Parametres de position et dispersion.
Esperance pour une V.A. discrete.
SiX( ) =fx1;x2;:::galorsl'esperancedeXest denie parE(X) =x1P(X=x1) +x2P(X=x2) ++xnP(X=xn) +
Siest une application deRdansRalorsE((X)) =(x1)P(X=x1) +(x2)P(X=x2) ++(xn)P(X= x n) +. Ces sommes sont nies siX( ) est ni.Esperance pour une V.A. a densite.
SiXa pour densitefalorsl'esperancedeXest denie parE(X) =Z
+1 1 tf(t)dt:Siest une application deRdansRalorsE((X)) =R+1
1(t)f(t)dt.
Variance d'une V.A..
LavariancedeX(parametre de dispersion) est denie parV(X) =E(XE(X))2:
1 Pour les calculs on utilise plut^ot la proprieteV(X) =E(X2)E(X)2.L'ecart-typeest(X) =pV(X).
Proprietes de l'esperance et de la variance.
E(aX+b) =aE(X) +betV(aX+b) =a2V(X)8a;b2R.
Pour toutes V.A.XetY,E(X+Y) =E(X) +E(Y).
Pour deux V.A. independantesXetY,E(XY) =E(X)E(Y) etV(X+Y) =V(X) +V(Y).Lois usuelles.
Loi de BernouillinoteeB(p).
Elle modelise les experiences avec seulement deux issues possibles : reussite ou echec. X( ) =f0;1g,P(X= 1) =p,P(X= 0) =q= 1p.E(X) =p;V(X) =p(1p).Loi de BinomialenoteeB(n;p).
Elle modelise les experiences ou l'on repetenfois de facons independantes une epreuve de Bernouilli et on compte le
nombre de reussites. X( ) =f0;1;:::;ng,P(X=k) =n kpk(1p)nkpour 0kn.E(X) =np;V(X) =np(1p).Loi de PoissonnoteeP().
C'est la loi du nombre d'evenements survenant pendant une duree donnee, les temps d'attente entre deux evenements
etant independants entre-eux et ne dependent pas de l'instant ou l'on se trouve (la loi du temps d'attente est une loi
sans memoire). X( ) =N,P(X=k) =kk!epour tout entierk.E(X) =;V(X) =.Loi uniforme sur[a;b].
X( ) = [a;b], densite :f(t) =1ba1[a;b](t).E(X) =b+a2 ;V(X) =(ba)212Loi exponentiellenoteeE().
C'est la loi d'une V.A. a valeurs positives et \sans memoire". Loi de temps d'attente ou encore de duree de vie.
X( ) =R+, densite :f(t) =1[0;+1[(t)et( >0).E(X) =1 ;V(X) =1 2.Loi normalenoteeN(m;2).
X( ) =R, densite :f(t) =1 p2e(tm)222.E(X) =m;V(X) =2. SiXsuit une loiN(m;2) alorsaX+bsuit une loiN(am+b;a22). Cas particulier fondamental :siXsuit une loiN(m;2) alorsXm suit une loiN(0;1) diteloi normale centree reduite. Pour les calculs on se ramene toujours a la loi normale centree reduite. On noteFla fonction de repartition de la loiN(0;1), quelques astuces de calculsF(0) = 0:5.
F(a) =P(Xa) =P(X a) = 1F(a).
Sia0balorsP(aXb) =F(b) +F(a)1, etc.
Somme de variables aleatoires independantes et suivant une loi normale: siXetYsont deux V.A. independantes
de lois respectivesN(m;2) etN(m0;02) alorsX+Yest de loiN(m+m0;2+02).Theoreme limite central.
SiX1;X2;:::;Xnsont des variables aleatoires independantes, identiquement distribuees d'esperancemet de variance