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La loi de probabilité de X est une probabilité sur R La fonction de répartition FX de la V A X (ou de la loi PX) est la fonction définie sur R par FX(x) = PX(] − ∞ 

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Lois de probabilités usuelles VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES DISCR` ETES Dans le tableau ci dessous, on suppose n ∈ N∗ , p ∈]0, 1[ et λ ∈ R∗ +

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De plus, Page 30 Résumé 29 l'approximation devient encore plus précise si la taille de l'échantillon augmente Les tables de loi de probabilité diffèrent dans leur 

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Les lois marginales (car on les retrouve en marge) du couple (X, Y) sont les lois de X et de Y Théorème La loi conjointe détermine les lois marginales : ∀x ∈ X( Ω) 

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PROBABILIT

ES 1

FEUILLE 7 : LOIS DISCR

ETES CLASSIQUES.

Table 1.Tableau recapitulatif des lois discretes classiquesDenominationLoiEsperanceVariance

Loi de BernoulliX(

) =f0;1gX ,! B(1;p)P(X= 1) =pE(X) =pV(X) =pqP(X= 0) =qLoi BinomialeX( ) =J0;nKX ,! B(n;p)P(X=k) =CknpkqnkE(X) =npV(X) =npqLoi UniformeX( ) =J1;nKX ,! U(J1;nK)P(X=k) =1nE(X) =n+12V(X) =n2112

Loi GeometriqueX(

) =J1;+1JX ,! G(p)P(X=k) =pqk1E(X) =1pV(X) =qp

2Loi de PoissonX(

) =J0;+1JX ,! P()P(X=k) =ekk!E(X) =V(X) =Exercice 1.On tire au hasard 5 cartes d'un jeu de 32 cartes avec remise. SoitX,

la variable aleatoire egale au nombre de rois obtenus. Donner la loi deX, son esperance et sa variance. Exercice 2.On considere toujours le jeu de cartes precedent. On eectue une serie innie de tirages successifs, en remettant chaque fois la carte tiree. (a) Soit Y, le rang d'apparition du premier roi. Donner la loi deY, son esperance et sa variance. (b) Soit Z, le nombre de cartes autres qu'un roi qu'il aura fallu tirer pour obtenir le premier roi. Donner, sans calcul, la loi deZ, son esperance et sa variance. 1

2 FEUILLE 7 : LOIS DISCR

ETES CLASSIQUES.

Exercice 3.SoitXune variable aleatoire de Poisson avec parametre. Quelle est la valeur dequi maximiseP(X=k); k0? Exercice 4.Pour une variable aleatoireXbinomiale d'esperance 6 et de variance

2:4 trouverP(X= 5).

Exercice 5.Admettons que le nombre d'erreurs par page dans un livre suive la loi de Poisson de parametre= 0:5:Vous ouvrez le livre. Calculer la probabilite qu'il y a au moins 3 erreurs sur cet page. Exercice 6.Une urne contient des jetons numerotes de 1 an. On les tire un a un sans remise jusqu'a obtenir le plus petit. On noteXle nombre de tirages ainsi eectues. Determiner la loi deX,E(X),V(X) et F X(x). Exercice 7.Une urne contient 2npapiers sur lesquels sont reproduits les 2npar- ties d'une ensembleEanelements. On tire un papier au hasard. SoitX, la variable aleatoire egale au cardinal de la partie tiree. Determiner la loi deX, et donner sans calcul les valeurs deE(X) et V(X). Exercice 8.Une urne contient 10 boules vertes et 8 boules bleues. On eectue des tirages successifs, avec remise. SoitX, la variable aleatoire egale au rang d'apparition de la 2 eboule bleue. Trouver la loi, l'esperance et la variance deX.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44