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Licence L3 Mathématiques Année 2008/2009 Analyse Numérique Corrigé du TD 1 1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles Soit A une La question b de l'exercice 1 1 dit qu'il existe une norme matricielle (dépendant  

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Universit´e de Nice Sophia-Antipolis

Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Analyse Num´erique

Corrig´e du TD 7EXERCICE 1

Normes vectorielles

1.1 D´efinitions

Soit un entiern >0.

a. Montrer que les applications suivantes d´efinies surRnsont des normes sur R n, x?→ ?x?1=n? i=1|xi|, x?→ ?x?2=? n? i=1|xi|2?12 x?→ ?x?∞= max i=1,...,n|xi|. i.x?→ ?x?1=n? i=1|xi|est une norme surRn •Positivit´e Pourx=t(x1,...,xn)?Rn, on a|xi| ≥0?i? {1,...,n}, donc?x?1≥0. Soitx=t(x1,...,xn)?Rntel que?x?1= 0. Alors?i? {1,...,n},|xi|= 0,i.e.?i? {1,...,n},xi= 0, qui montre quex= 0. •Homog´en´eit´e

Soientx=t(x1,...,xn)?Rnetλ?R. On a

?λx?1=n? i=1|λxi|=|λ|n? i=1|xi|=|λ|?x?1. •In´egalit´e triangulaire {1,...,n}, on obtient en sommant sur lesi 1

Universit´e de Nice Sophia-Antipolis

Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009ii.x?→ ?x?2=? n? i=1|xi|2?12 est une norme surRn •Positivit´e Soitx=t(x1,...,xn)?Rn. On a|xi|2≥0?i? {1,...,n}, donc?x?2≥0. Six=t(x1,...,xn)?Rnest tel que?x?2= 0, alors?i? {1,...,n},|xi|2= 0,i.e. ?i? {1,...,n},xi= 0, qui prouve quex= 0. •Homog´en´eit´e

Soientx=t(x1,...,xn)?Rnetλ?R. On a

?λx?2=? n? i=1|λxi|2?12 |λ|2n? i=1|xi|2?12 =|λ|?x?2. •In´egalit´e triangulaire

On montre deux in´egalit´es auxiliaires.

-Premi`ere in´egalit´e (a2+b2) car (a-b)2≥0. -Deuxi`eme in´egalit´e

Soientx=t(x1,...,xn)ety=t(y1,...,yn)?Rn.

Six?= 0 ety?= 0 alors on a la chaˆıne d"in´egalit´es suivante par application directe de la premi`ere in´egalit´e n i=1? |xi|?x?2|yi|?y?2? i=112 |xi|?x?2? 2 +?|yi|?y?2? 2? 12 ?n i=1|xi|2?x?2 2+? n i=1|yi|2?y?2 2? 12 ?x?2 2?x?2

2+?y?2

2?y?2 2? = 1, donc on a n? L"in´egalit´e (1.1) est encore vraie pourx= 0 ouy= 0. Elle est dite in´egalit´e deCauchy-Schwarzou encore deBunyakovski-Cauchy-Schwarzou bien encore de

H¨older.

Soientx=t(x1,...,xn)ety=t(y1,...,yn)?Rn.

2

Universit´e de Nice Sophia-Antipolis

Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Par application de l"in´egalit´e (1.1) de Cauchy-Schwarz on obtient

n i=1|xi+yi|2=n? i=1|xi|2+n? i=1|yi|2+ 2n? i=1|xiyi| ?x?2+?y?2? 2 .(1.2) En prenant la racine carr´ee de l"in´egalit´e (1.2) ci-dessus on a

L"in´egalit´e (1.3) est dite deMinkowski.

iii.x?→ ?x?∞= max i=1,...,n|xi|est une norme surRn •Positivit´e Pourx=t(x1,...,xn)?Rn, on a|xi| ≥0?i? {1,...,n}, donc?x?∞= max i=1,...,n|xi| ≥0. Soitx=t(x1,...,xn)?Rntel que?x?∞= 0. Alors max i=1,...,n|xi|= 0, puis?i? {1,...,n},|xi|=

0,i.e.?i? {1,...,n},xi= 0, qui prouve quex= 0.

•Homog´en´eit´e Soientx=t(x1,...,xn)?Rnetλ?R. On a la chaˆıne d"implications suivante |λxi|=|λ||xi| ?i? {1,...,n}=?max i=1,...,n|λ xi|=|λ|max i=1,...,n|xi| ?? ?λx?∞=|λ|?x?∞. •In´egalit´e triangulaire

Soientx=t(x1,...,xn)ety=t(y1,...,yn)?Rn.

On a les implications suivantes

i=1,...,n|xi|+ max i=1,...,n|yi| RemarqueDans ce qui pr´ec`ede, on n"a jamais prouv´e l"´egalit´e?0?= 0, parce que non

seulement c"est une ´evidence mais aussi elle est contenue dans la propri´et´e d"homog´en´eit´e,

dans laquelle il suffit de faireλ= 0 pour obtenir le r´esultat. norme surRn, x?→ ?x?p=? n? i=1|xi|p?1p 3

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009x?→ ?x?p=? n? i=1|xi|p?1p est une norme surRn

Le casp= 1 ´etant ´evident et trait´e dans la question pr´ec´edente, on s"int´eresse aux cas

1< p <+∞.

•Positivit´e Soitx=t(x1,...,xn)?Rn. On a|xi|p≥0?i? {1,...,n}, donc?x?p≥0. Six=t(x1,...,xn)?Rnest tel que?x?p= 0, alors?i? {1,...,n},|xi|p= 0,i.e. ?i? {1,...,n},xi= 0, qui prouve quex= 0. •Homog´en´eit´e

Soientx=t(x1,...,xn)?Rnetλ?R. On a

?λx?p=? n? i=1|λxi|p?1p |λ|pn? i=1|xi|p?1p =|λ|?x?p. •In´egalit´e triangulaire On montre deux in´egalit´es qui serviront dans la suite de cette question. -Premi`ere in´egalit´e Pour tousp >1 etp?>0 tels que 1/p+ 1/p?= 1 et pour tousa,b >0 on a ap+1p ?bp?.(1.4) En effet, en posantα= ln(ap) etβ= ln(bp?) et en utilisant le fait que la fonction exponentiellex?→exest convexe, on obtient e eα+1p ?eβ.(1.5) En reportant les valeurs deαetβen fonction deaetbdans l"in´egalit´e (1.5) , on obtient la relation (1.4). -Deuxi`eme in´egalit´e

Soientx=t(x1,...,xn)ety=t(y1,...,yn)?Rn.

Six?= 0 ety?= 0 alors on a la chaˆıne d"in´egalit´es suivante par application de la relation (1.4) : 4

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009n

i=1? |xi|?x?p|yi|?y?p?? i=1? 1p |xi|?x?p? p +1p |yi|?y?p?? p? ?1p n i=1|xi|p?x?p p+1p n i=1|yi|p??y?p? p ?1p ??x?p p?x?p p+1p ??y?p? p ??y?p? p ?1p +1p = 1, donc on a n? L"in´egalit´e (1.6) est encore vraie pourx= 0 ouy= 0. Elle est dite deH¨older.

Soientx=t(x1,...,xn)ety=t(y1,...,yn)?Rn.

On a n? i=1|xi+yi|p=n? i=1|xi||xi+yi|p-1+n? i=1|yi||xi+yi|p-1(1.7) En appliquant l"in´egalit´e de H¨older (1.6) `a chacun des termes du second membre de l"in´egalit´e ci-dessus on a : n n? i=1|xi+yi|p?(p-1)?1p n n? i=1|xi+yi|p?(p-1)?1p ?.(1.8)

Six+y?= 0, l"in´egalit´e (1.7) devient

?n i=1|xi+yi|p? ?n i=1|xi+yi|p?(p-1)?1p De 1/p?= 1-1/p??p=p?(p-1) et 1/p= 1-1/p?, on d´eduit de l"in´egalit´e ci-dessus la relation n? i=1|xi+yi|p?1p 5

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009ou encore Six+y?= 0, l"in´egalit´e (1.9) est encore vraie. Elle est dite deMinkowski. 1.2

´Equivalence de normes

Montrer les relations suivantes surRn,

Equivalence de normes? ?1et? ?∞Soientx=t(x1,...,xn)?Rn, etiotel que|xi0|= max i=1,...,n|xi|. On a On a D"o`u Equivalence de normes? ?2et? ?∞Soientx=t(x1,...,xn)?Rn, etiotel que|xi0|= max i=1,...,n|xi|. On a ????|xi0|2+n? On a ???n D"o`u 6

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009´ Equivalence de normes? ?1et? ?2Soitx=t(x1,...,xn)?Rn. On a n? i=1|xi|2+ 2n? i=1|xi| ×n? i=1|xi| n? n? i=1|xi|? 2 n? i=1|xi|2?12 i=1|xi| En appliquant l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz on obtient n i=1|xi|=n? n? i=11 2?12 ?n? i=1|xi|2?12 ??n? n? i=1|xi|2?12 D"o`u

1.3 Relation entre la normepet la norme+∞

Pourx?Rn, montrer que

lim p→+∞?x?p=?x?∞. i=1,...,n|xi|. On a ????|xi0|p+n? On a n? i=1|xi|p?1p n|xi0|p?1p 7

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009D"o`uquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28