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Analyse numérique
Thomas Cluzeau
École Nationale Supérieure d"Ingénieurs de Limoges16 rue d"atlantis, Parc ester technopole
87068 Limoges CEDEX
cluzeau@ensil.unilim.fr 2Table des matières
1 Arithmétique des ordinateurs et analyse d"erreurs
71.1 L"arithmétique flottante
71.1.1 Le système des nombres à virgule flottante
71.1.2 Représentation effective des réels et sa formalisation
91.1.3 Unité d"erreur d"arrondi, estimation d"erreurs
101.1.4 Modèle de l"arithmétique flottante
101.2 L"analyse d"erreurs
101.2.1 Non-associativité
101.2.2 Erreurs d"arrondi sur une somme
111.2.3 Erreurs d"arrondi sur un produit
111.2.4 Phénomènes de compensation
1 11.2.5 Phénomènes d"instabilité numérique
121.2.6 Erreur amont et erreur aval
131.2.7 Outils théoriques de l"analyse d"erreurs
132 Résolution d"un système d"équations linéaires (Partie 1) : méthodes di-
rectes152.1 Introduction et motivation
152.1.1 Objet
152.1.2 Motivation
162.1.3 Résolution d"un système triangulaire
172.1.4 Les méthodes directes étudiées
182.2 Méthode de Gauss et factorisation LU
192.2.1 Description de la méthode
192.2.2 Point de vue numérique : stratégies de choix du pivot
212.2.3 Lien avec la factorisation LU d"une matrice
232.2.4 Coût de l"algorithme
262.3 Méthode de Cholesky
272.4 Méthode de Householder et factorisation QR
292.4.1 Transformation (élémentaire) de Householder
292.4.2 Principe de la méthode de Householder
302.4.3Exemple de résolution d"un système linéaire par la méthode de House-
holder 303
2.4.4 Factorisation QR d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Conditionnement d"une matrice pour la résolution d"un système linéaire
333.1 Normes matricielles
333.1.1 Normes vectorielles
333.1.2 Normes matricielles et normes subordonnées
333.2 Conditionnement d"une matrice
343.2.1 Exemple classique
343.2.2 Définition du conditionnement
353.2.3 Estimation théorique de l"erreur a priori
373.2.4 Estimation théorique de l"erreur a posteriori
3 84 Résolution d"un système d"équations linéaires (Partie 2) : méthodes ité-
ratives394.1 Motivation
394.2 Notions générales
414.2.1 Modèle général d"un schéma itératif
4 14.2.2 Convergence
424.2.3 Vitesse de convergence
434.3 Les méthodes itératives classiques
444.3.1 Principe
444.3.2 Méthode de Jacobi
454.3.3 Méthode de Gauss-Seidel
464.3.4 Méthode de relaxation
474.3.5 Résultats de convergence dans des cas particuliers
474.4 Méthode du gradient conjugué
484.4.1 Méthodes du gradient
494.4.2 Méthode de la plus forte pente
514.4.3 Gradient conjugué
514.4.4 Gradient conjugué avec préconditionnement
555 Interpolation polynomiale
595.1 Le problème considéré
595.2 La méthode d"interpolation de Lagrange
605.3 Effectivité de l"interpolation : interpolant de Newton
635.3.1 Base d"interpolation de Newton
635.3.2 Expression de l"interpolant de Newton
635.3.3 Algorithme de calcul des différences divisées
655.4 Erreur d"interpolation
656 Intégration numérique
676.1 Introduction et méthodes classiques
676.2 Formalisation de l"intégration approchée
704
6.3 Formules de Newton-Côtes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4 Stabilité des méthodes d"intégration
726.5 Formules d"intégration composées
727 Résolution d"équations et de systèmes d"équations non linéaires
757.1 Méthode de dichotomie
767.2 Méthode du point fixe
777.3 Méthode de Newton
807.4 Méthode de la sécante
827.5 Systèmes d"équations non linéaires
835 6
Chapitre 1
Arithmétique des ordinateurs et analyse
d"erreursDans tout ce cours, nous manipulerons des nombres réels. L"objet de ce premier chapitre est
de décrire comment ces nombres réels sont représentés dans un ordinateur.1.1 L"arithmétique flottante
1.1.1 Le système des nombres à virgule flottante
Théorème 1.1.
Soitun entier strictement supérieur à1. Tout nombre réelxnon nul peut se représenter sous la forme x= sgn(x)eX k1d k k; oùsgn(x)2 f+;gest le signe dex, lesdksont des entiers tels que0< d11et0dk1pourk2, ete2Z. De plus, cette écriture est unique (sauf pour les décimaux
:2;5 = 2;499999:::). D"ordinaire, nous utilisons le système décimal,i.e.,= 10et les chiffres0;1;2;3;4;5;6;7;8;9pour lesdk. Nous avons par exemple :
0;0038 = 0;38:102= +102(310
+8102). Remarque : enMatlab, on peut écrire0:38e2au lieu de0:3810^(2). 17 = 0;142857:::= +100(110+410 2+210 3+810
4+). Notons que le développement
décimal d"un nombre rationnel est périodique (ici,17 = 0;142857142857142857:::). p2 =1;4142:::=101(110 +4102+110 3+410 4+). = 3;14159:::= +101(310 +110
2+410 3+110 4+). 7 Historiquement, le choix= 10est lié à une particularité anatomique de la race humaine (nous avons 10 doigts). Les ordinateurs utilisent quant à eux= 2(numération binaire), = 8(numération octale), ou encore= 16(numération hexadécimale). Remarquons que l"on perd l"unicité si on autorised1= 0: en effet, on a par exemple :
0;0038 = 0;38:102= +102(310
+8102) = 0;038:103= +101(010 +310
2+810 3):
On définit l"ensembleFRpar :
F=fy2Rjy=e(d1
+d2 2++dt t); emineemaxg; ou encoreF=fy2Rjy=met; emineemaxg:
Ceci correspond aux deux écritures0;0038 = +102(310+8102) = +38:104avece=2,
t= 2,et=4. Le nombrems"appellela mantisseet on utilise la notationm=d1d2:::dt.
Notons que0=2F.
Poury6= 0, on amet=e(d1+d2
2++dt t)e1card11. D"oùmt1.D"autre part,m=d
1d2:::dt=d1t1++dtkk++dt1+dt< t. On a donc
montré que t1m < t: F est unsystème de nombres à virgule flottante(floating point number system) noté F(;t;emin;emax). Il dépend de quatre paramètres :1.la base(chiffres utilisés0;1;:::; 1),
2.la précisiont(nombre de chiffres utilisés pour représenter la mantisse),
3.eminetemaxqui définissentle domaine des exposants.
Par exemple, pourF(2;3;1;3), on obtient les nombres représentés en rouge sur la figure ci-dessous :00;250;512345678 On constate que l"écart entre deux nombres consécutifs est multiplié par 2 à chaque puissance de 2. Dans le standard IEEE 754 utilisé parMatlab, on a= 2et : 8 en simple précision :t= 24,emin=125,emax= 128, en double précision :t= 53,emin=1021,emax= 1024. Définition 1.2.On appelleepsilon machineet on noteMla distance de1au nombre flottant suivant. Par exemple, pourF(2;3;1;3), on aM= 0;25. DansMatlab, c"esteps.Proposition 1.3.PourF(;t;emin;emax), on aM=1t.
Démonstration.
On a1 =1=1t10:::0. Le nombre suivant dans le système de nombres à virgule flottanteF(;t;emin;emax)est alors1t10:::1=1t(t1+ 1) = 1 +1t:Lemme 1.4. Dans le système de nombres à virgule flottanteF(;t;emin;emax), l"écartjyxj entre un nombre flottantx(non nul) et un nombre flottanty(non nul) adjacent vérifie1Mjxj jyxj Mjxj.
Démonstration.
On ax=met, doncjyxj= 1et. Ort1m < tdoncmt<1
etm1t1. Il vient doncmtet<1etm1tetd"où le résultat puisque M=1t.1.1.2 Représentation effective des réels et sa formalisation Représentation " physique »: par exemple, en simple précision 32 bits (bit = binary digit),8 bits sont réservés à l"exposant et 24 bits (dont 1 pour le signe) à la mantisse. En double
précision 64 bits, 11 bits sont réservés à l"exposant et 53 bits (dont 1 pour le signe) à la mantisse.
Arrondi :
1. par troncature : p arexemple a vec3 c hiffres,0;8573:::devient0;857. 2. au plus près : 0;8573:::devient0;857. 3. au représentant le plus proche dont la dernière décimale est paire (rounding to even) :0;8573:::devient0;858.
Formalisation :
Définition 1.5.
SoitG=G(;t) =fy2Rjy=metgsans conditions sur l"exposante.L"application
:R!G; x7! (x)est appeléeopération d"arrondi. Étant donné un domaineF(;t;emin;emax), il y a alors dépassement de capacité si : 1.j (x)j>maxfjyj jy2Fg. On parle d"" overflow ». 2.j (x)j1.1.3 Unité d"erreur d"arrondi, estimation d"erreurs
Définition 1.6.Soitxun réel etxune valeur approchée dex. L"erreur absolueeest défini pare=jxxj. L"erreur relativeestjex j. Lepourcentage d"erreurest l"erreur relative multipliée par100. En pratique, on ne connait en général pas la valeur exactex(c"est le cas dans la plupart des mesures physiques) mais on peut souvent avoir une idée de l"erreur maximaleeque l"on a pu commettre : dans ce cas, on majore la quantitéjex j.Théorème 1.7
(Estimation de l"erreur d"arrondi).Soitxun réel. Sixest dans le domaineF(;t;emin;emax), alors il existe2Ravecjj< u=12
1t=12Mtel que
(x) =x(1 +).Démonstration.Admis pour ce cours.
L"erreur relative sur l"arrondi est égale àjj< u: le nombreus"appelleunité d"erreur d"arrondi. Par exemple, dans le standard IEEE 754 utilisé parMatlab, on au= 2245;96:108 en simple précision etu= 2531;11:1016en double précision.1.1.4 Modèle de l"arithmétique flottante
Le modèle suivant de l"arithmétique flottante est celui utilisé par le standard IEEE.Modèle Standard
: Soitx; y2F(;t;emin;emax). Pourop2 f+;;;;pg, on définit xopy= (xopy) = (xopy)(1 +)avecjj< u=12 1t=12 M. Nous allons maintenant nous intéressé aux erreurs faites parop.1.2 L"analyse d"erreurs
1.2.1 Non-associativité
En général, contrairement àop, l"opérationopn"est pas associative. Ceci est dû aux erreurs
d"arrondi. Par exemple, supposons que les réels soient calculés avec 3 chiffres significatifs et arrondis à la décimale la plus proche et cherchons à calculer la sommex+y+zavec x= 8;22,y= 0;00317etz= 0;00432. x+y= 8;22donc(x+y) +z= 8;22, y+z= 0;01doncx+(y+z) = 8;23. 101.2.2 Erreurs d"arrondi sur une sommeSupposons que l"on souhaite calculer une sommeS=u1+u2++undenréels positifs dans
F(;t;emin;emax). On calcule alors les sommes partiellesSipar la récurrenceS0= 0,Si= Si1+ui. Si l"on suppose lesuiconnus exactement, alors les erreurs d"arrondiSicommises sur le calcul des sommes partiellesSivérifientSiSi1+(Si1+ui) = Si1+Sioù jj< u. L"erreur globale surS=Snvérifie doncS(S2++Sn);
ou encoreS(un+ 2un1+ 3un2++ (n1)u2+ (n1)u1):
On voit donc que pour minimiser cette erreur on a tout intérêt à sommer d"abord les termes les plus petits (Cf exemple de la sous-section précédente).1.2.3 Erreurs d"arrondi sur un produit
Supposons que l"on souhaite calculer un produitP=u1u2:::undenréels positifs dans F(;t;emin;emax). On calcule alors les produitsPipar la récurrenceP0= 1,Pi=Pi1ui. Si l"on suppose lesuiconnus exactement, alors les erreurs d"arrondiPicommises sur le calcul des produitsPivérifientPiPi1ui+(Si1ui) = Pi1ui+Pioùjj< u. L"erreur globale surP=Pnvérifie doncP(k1) Pn:
On voit donc que contrairement au cas de l"addition, la majoration de l"erreur ne dépend pas de l"ordre des facteurs.1.2.4 Phénomènes de compensation
Les phénomènes de compensation sont ceux qui se produisent lorsque l"on tente de soustraire des nombres très proches. Nous illustrons ces phénomènes sur deux exemples et donnons des astuces pour les contourner.Exemple 1 :
On considère l"expressionE=px+ 1pxavecx >0. SousMatlab, en calculantEpourx= 109, on va obtenir1;5811:105mais pourx= 1016, on va obtenir0! Si l"on remarque queE=1px+1+px, alors, en utilisant cette nouvelle formule, on trouveraE= 1;5811:105pourx= 109etE= 5;000:109pourx= 1016.
Exemple 2 :
On considère l"équation du second degréx21634x+ 2 = 0. Supposons que les calculs soient effectués avec 10 chiffres significatifs. Les formules habituelles donnent0= (16342
)22 = 667487,p0= 816;9987760, d"où les solutions
x1=16342
+p0= 817 + 816;9987760 = 1633;998776;
11 x2=16342
p0= 817816;9987760 = 0;0012240:On voit donc qu"en procédant ainsi on a une perte de 5 chiffres significatifs surx2. Pour y
remédier, on peut utiliser la relationx1x2= 2et calculer x 2=2x1=21633;998776= 0;001223991125:
1.2.5 Phénomènes d"instabilité numérique
Les phénomènes d"instabilité numérique sont des phénomènes d"amplification d"erreur d"ar-
rondi. Ils se produisent en général pour des calculs récurrents ou itératifs. Nous illustrons ces
phénomènes sur deux exemples.