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5 Test du Khi-deux d'ajustement Exercice 5 1 Contexte : P : population d' individus soumis `a l'exposition répétée d'une couleur (couleur A) Variable X 

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plus courant “ Supposons que deux structures différentes soient également réparties chez les bactéries ” Le test le plus usuel est celui du χ2 d'ajustement pour une loi multinomiale décrit au début du paragraphe suivant 2 9 Exercices £

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6 mar 1998 · (Troisième exercice sur 8 points) Ces deux conditions nous permettent de dire que, sous l'hypothèse de Il s'agit ici d'un test d'ajustement :

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Exercices : Martine Quinio Exo7 Tests et tests du khi deux Exercice 1 On s' intéresse au problème des algues toxiques qui atteignent certaines plages de 

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Que peut-on en conclure? Déterminer aussi un intervalle de confiance `a 95 de la proportion des naissances sur Avril/Juin Exercice 2 Lors d'une course de 

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Le test du Khi 2 (khi deux ou khi carré) fournit une méthode pour déterminer la nature d'une d'indépendance 1) Test d'ajustement Exercice d'application:

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Une fois la distribution connue, il est possible de calculer toute probabilité d' intérêt 7 1 Test d'ajustement du Khi-deux Soit H0 : La population suit la distribution 

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Le test d'ajustement du khi-deux permet de vérifier qu'une variable qualitative ou quan- titative discrète mesurée dans une population suit une loi de probabilité 

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démonstration : C'est un exercice de calcul vu en TD de probabilités Remarque L'importance de cette loi est due au fait que le vecteur aléatoire (4) ¯pn = N

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Les tests du Khi-deux utilisent la statistique Q 2 définie par la formule générale Q 2 = ∑ (Effectif empirique - Effectif théorique) 2 Effectif théorique q Q2

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Exercices : Martine Quinio

Exo7

Tests et tests du khi deux

Exercice 1

On s"intéresse au problème des algues toxiques qui atteignent certaines plages de France; après étude on

constate que 10% des plages sont atteintes par ce type d"algues et on veut tester l"influence de rejets chimiques

nouveaux sur l"apparition de ces algues. Pour cela 50 plages proches de zones de rejet chimiques, sont

observées; on compte alors le nombre de plages atteintes par l"algue nocive : on constate que 10 plages sont

atteintes par l"algue. Pouvez-vous répondre à la question "Les rejets chimiques ont-t-il modifié, de façon

significative, avec le risquea=0:05, le nombre de plages atteintes ?»

On veut étudier la liaison entre les caractères : "être fumeur» (plus de 20 cigarettes par jour, pendant 10 ans) et

"avoir un cancer de la gorge», sur une population de 1000 personnes, dont 500 sont atteintes d"un cancer de la

gorge. Voici les résultats observés:

Tableau observé

Observécancer non cancer marge

fumeur 342 258 600 non fumeur 158 242 400 marge 500 500 1000 Faire un test d"indépendance pour établir la liaison entre ces caractères.

études liens tabac et cancers, études statistiques sur énergie, travail et genre... ), on pourra consulter l"ouvrage

"Probabilités et statistique aujourd"hui», Martine Quinio Benamo, nouvelle édition 2009, L"Harmattan

1

Correction del"exer cice1 NPosonsH0"les rejets chimiques ne modifient pas le nombre de plages atteintes par les algues».

Notonsp0=0:1 la proportion théorique de plages atteintes par l"algue verte avant les rejets chimiques;pla

proportion théorique de plages atteintes par l"algue verte après les rejets chimiques etfla fréquence observée

dans l"échantillon.

Considérons alors la variable aléatoireXi,i650;qui a deux modalités: 1 si la plage est atteinte, 0 sinon. C"est

une variable de Bernoulli, alors le nombre total de plages atteintes dans l"échantillon est une variable aléatoire

qui, sousH0, obéit à une loi binomiale de paramètresn=50,p0=0:1. SousH0, "p=p0=0:1» la variable "moyenne d"échantillon» :X=åi=50i=1Xin dont une réalisation est la fréquence observée, soit 1050
, obéit à une loi que l"on peut approcher par une loi normale de paramètres : moyennep0et écart-typeqp

0(1p0)50

A l"aide de la formule de cours, on détermine l"intervalle de confiance associé:I'[0:017;0:183]. On constate

que la fréquence observée est dans la zone de rejet (non chimique) : 0:2 n"est pas dans l"intervalle de confiance

au seuil 95%. On peut donc rejeterH0et conclure, au risque 0:05, que les rejets chimiques modifient de façon

significative le nombre de plages atteintes par l"algue.Correction del"exer cice2 NMise en oeuvre du test:

1.

On définit un ri sque:5%. Pour étudier la dépendance de ces caractères f aisonsl"h ypothèseH0: "les deux

caractères sont indépendants » et voyons ce qui se passerait sous cette hypothèse. Notons les événements:

•C: "avoir un cancer dans la population observée» •F: "être fumeur dans la population observée» Si les événementsFetCsont indépendants, alors:P(F\C) =P(F)P(C)et de même pour les trois autres possibilités:P(C\F);P(C\F);P(C\F), quantités que l"on peut donc calculer sousH0:

P(F) =6001000

,P(C) =5001000 ,P(F)P(C) =310 , alors l"effectif théorique correspondant à la catégorie "fumeur et cancéreux» est de 300. 2.

On en déduit le tableau théorique sous H0:

Théoriquecancer non cancer marge

fumeur 300 300 600 non fumeur 200 200 400 marge 500 500 1000 3. On calcul ealors la v aleurde s=åi=4i=1(OiTi)2T i: on obtient :s=34:73. On a précisé le risque de %, mais

poura=0;001, on lit dans la table du khi-deux à un degré de liberté :P[c2>10:83] =0:001 et lec2

calculé est 34:73! 4.

On décide de rejeter H0. Ainsi, en rejetant l"hypothèse de l"indépendance des caractères "être fumeur»

et "avoir un cancer de la gorge», on a moins de une chance sur 1000 de se tromper, puisque moins de un

tableau possible sur mille conduit à un calcul dec2plus grand que 10:83 ; beaucoup moins sans doute,

conduiraient à un calcul dec2plus grand que 34:73.2quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20