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G.P.DNS01Septembre 2011
DNS SujetI.Un ressort et une masse..................................................................................................................2
A.Mise en équation.....................................................................................................................2
B.Résolution 1.............................................................................................................................2
C.Résolution 2.............................................................................................................................3
II.Deux ressorts et une masse...........................................................................................................3
A.Mise en équation.....................................................................................................................3
B.Résolution 1.............................................................................................................................3
C.Résolution 2.............................................................................................................................3
III.Trois ressorts et deux masses......................................................................................................4
A.Mise en équation.....................................................................................................................4
B.Résolution 1.............................................................................................................................4
C.Résolution 2.............................................................................................................................4
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Ressorts
Pour étudier un problème faisant intervenir un ressort, il est bon dans un premier temps d'utiliser
uniquement les notations suivantes:l: longueur du ressort lo: longueur à vide du ressort leq: longueur du ressort à l'équilibre.Dans un deuxième temps, on peut passer à une notation " abscisse » en précisant dans le cas d'un
mouvement rectiligne, un axe ( direction, sens mais surtout : origine ). Dans la suite, on étudiera
deux possibilités différentes: x: abscisse du point mobile en prenant une origine sur le bord gauche ( voir plus loin) X: abscisse du point mobile en prenant une origine à sa position d'équilibre. C'est cette dernière solution qui est la plus souvent adoptée.L'accélération de la pesanteur est notée
gde norme notéeg.I.Un ressort et une masse
Un objet de masse
massimilé à un point matériel ( de dimensions négligeables )A1peut glisser sans frottement le long d'un axe horizontal de vecteur unitaire u.Il est fixé à l'extrémité d'un ressort horizontal désigné par ressort1. L'autre extrémité duressort1est fixée au pointO. Le ressort1possède une raideurk. On utilisera les notationsl1,lo,leq,1. La masse est en mouvement.A.Mise en équation
1.Qu'appelle-t-on allongement du
ressort1. Faire intervenir deux des longueurs précédentes ?2.En déduire l'expression de la force exercée par le
ressort1surA1en fonction dek, de ces deux longueurs et en utilisant le vecteur unitaire u. Vérifier que le signe est correct en étudiant qualitativement les deux cas : ressort allongé puis ressort contracté.3.Écrire vectoriellement le principe fondamental pourA1en définissant éventuellement la ou les
notations ne figurant pas dans le texte.4.Projeter alors cette relation sur les deux axes utiles ( l'axe vertical sera choisi vers le haut ) .
5.Que vaut l'accélération au passage par une position d'équilibre ? En partant d'une des deux
équations obtenues en 4, déterminer la relation entre longueur à l'équilibre leq,1et longueur à vide lo.B.Résolution 1
On choisit alors l'origine de l'axe au point
Oet l'abscisse deA1est notéex.
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uG.P.DNS01Septembre 2011
6.En déduire l'équation différentielle du deuxième ordre avec second membre constant vérifiée parx.
7.Résoudre avec précision cette équation différentielle en utilisant les conditions initiales suivantes:
au départ c'est à dire enC.Résolution 2
On recommence la résolution mais cette fois on choisit la nouvelle origine de l'axe à la position
d'équilibre deA1. L'abscisse deA1est notée X.8.En déduire en partant de l'équation différentielle obtenue en 4, l'équation différentielle du
deuxième ordre vérifiée par X.9.Résoudre cette équation différentielle en utilisant le même état initial que précédemment.
II.Deux ressorts et une masse
On accroche au point matériel
A1un deuxième ressort ouressort2dont l'autre extrémité est fixée au point O'( fixe ) tel queOO'=d. Leressort2est identique auressort1( raideur ket longueur à videlo) . On utilisera aussi les notationsl2etleq,2pour ce ressort2.A.Mise en équation
10.Écrire l'expression de la force exercée par leressort2surA1en fonction de
k, de deux longueurs et en utilisant le vecteur unitaire u. Vérifier que le signe est correct en étudiant qualitativement les deux cas : ressort allongé puis ressort contracté.11.Écrire vectoriellement le principe fondamental pour
A112.Projeter cette relation sur l'axe horizontal.13.Justifier, en partant notamment de la relation précédente, les valeurs de
leq,1etleq,2.B.Résolution 1
On choisit alors l'origine de l'axe au point
Oet l'abscisse deA1est notéex.
14.Écrire l'équation différentielle du deuxième ordre vérifiée parx.
15.Résoudre avec précision cette équation différentielle en utilisant les conditions initiales
suivantes: au départ le pointA1a été écarté de sa position d'équilibre ( et de repos ) d'une
distanceadans le sens positif et lâché sans vitesse initiale. La pulsation propre du mouvement sera notée0dont on précisera l'expression en fonction deket m. On indiquera aussi la condition évidente minimale à respecter pouradans le cadre de ce problème théorique.C.Résolution 2
On recommence la résolution. La nouvelle origine de l'axe est choisie à la position d'équilibre de
A1. L'abscisse deA1est notéeX.
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uO'G.P.DNS01Septembre 2011
16.Écrire l'équation différentielle du deuxième ordre vérifiée parX.
17.Résoudre .
III.Trois ressorts et deux masses
On étudie ici le problème de deux oscillateurs couplés. Les trois ressorts ressort1,ressort2( ressort intermédiaire qui assure le couplage entre les mouvements des deux points ) et
ressort3sont identiques ( raideurket longueur à vide lo). Les deux points matérielsA1etA2sont identiques, de masse m. La distanceOO'est notéeD.A.Mise en équation
18.Écrire l'expression de la force exercée par le
ressort2surA2puis la force exercée par le ressort2sur A1. On utilisera notamment les notations longueurs.19.Appliquer vectoriellement le principe fondamental puis projeter sur l'axe horizontal.
20.Justifier les valeurs de
leq,1,leq,2etleq,3.B.Résolution 1
On choisit alors l'origine de l'axe au point
O, l'abscisse deA1est notéex1et celle deA2est
notéex2.21.Écrire le système d'équations différentielles vérifiée parx1etx2. Introduire0en
utilisant l'expression définie dans la deuxième partie.22.Résoudre avec précision sachant qu'au départ le pointA1a été écarté de sa position d'équilibre
( et de repos ) d'une distanceadans le sens positif, le pointA2étant resté à sa position
d'équilibre. Les deux points ont été libérés sans vitesse initiale. ( Pour résoudre, faire la somme
des deux équations différentielles et faire leur différence. On obtiendra une équation différentielle
enx1x2et une autre équation différentielle en x2-x1).23.Quelles sont les deux pulsations qui interviennent naturellement ? On désignera par
Ila pulsation inférieure à0et parIIla pulsation supérieure à0.24.Donner l'allure de
x1tet dex2t( sur le même graphe ) .25. Quelle est la condition à respecter pour
adans le cadre de ce problème théorique.C.Résolution 2
On recommence la résolution. L'abscisse deA1est notéeX1en prenant l'origine à la position
d'équilibre deA1.L'abscisse deA2est notéeX2en prenant l'origine à la position d'équilibre
de A2.26.Écrire le système d'équations différentielles en
X1etX2.
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27.Résoudre.
IV.Résonance
On reprend le système étudié précédemment. A1est repéré parX1etA2parX2( origines
aux positions d'équilibre respectives ). On excite le système à la pulsation en déplaçant le point Ohorizontalement de manière sinusoïdale. Par rapport à la position originelle deOenO0, on a désormaisOoO=XOu=XO,maxcostu. On continue à négliger les éventuels frottements
dans les calculs.28.Écrire le système d'équations différentielles en
X1etX2.
On cherche la solution en régime sinusoïdal forcé c'est à dire la solution particulière du système
d'équations. On sait que lorsque le régime transitoire est éteint ( il y a toujours en fait des
frottements ) , les deux points vibrent à la pulsation d'excitation. On travaille donc avec les
complexes associésX1etX2qui sont enexpjt.