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OSCILLATEUR HARMONIQUE : CORRECTIONS Exercices prioritaires : Deux ressorts accrochés ⋆ Exercice n° 1 Deux ressorts sans masse de longueurs l1  

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13 nov 2017 · 4 - Calculer l'amplitude de son mouvement Annale de concours Exercice 6 : Deux ressorts à la verticale [oral banque PT, ♢♢♢]

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Ex-M6 5 Oscillateurs `a deux ressorts On considère un pendule constitué d'une tige de longueur l rigide de masse négligeable Elle peut tourner librement sans

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Ces deux masses sont reliées par un ressort de constante de raideur k' et de longueur à vide l0 De plus, chaque masse est reliée au bâti par un ressort identique, 

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1 sept 2011 · II Deux ressorts et une masse Trois ressorts et deux masses On étudie ici le problème de deux oscillateurs couplés Les trois ressorts 

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k′,l0 Exercice 11 : Point matériel lié à deux ressorts Ressorts horizontaux Un point matériel de masse m est attaché à deux ressorts hori- zontaux identiques 

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Sup PCSI1 - Exercices de physique où l'élongation algébrique du ressort est ∆L= z – Lo , Lo étant sa longueur à vide Oscillateurs à deux ressorts :

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Etablir l'équivalence entre les deux formes de solution d'un oscillateur harmonique 1 en notant k la raideur du ressort, x son allongement algébrique et −→

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MPSI2, Louis le GrandOscillateur harmoniqueSemaine du 8 au 14 septembreLe symboleIdésigne un exercice demandant un peu plus de calculs.

Le symboleEdésigne un exercice utilisant des idées/méthodes plus originales. Les frottements seront négligés, sauf mention explicite du contraire. Exercices d"application :ressort horizontal, questions courtes, différents paramé- trages, bille accrochée, exploitation de mesures, Culture en sciences physiques :questions courtes, bille accrochée, associations de ressorts, battements Corrigés en TD :ressort horizontal, plan incliné, bille accrochée, exploitation de me- sures,Exercice 1 : Ressort horizontal 1. Représen terun système masse-ressort horizon tal: quand son élongation est maximale, un quart de période plus tard, une demi-période plus tard. 2.

Représen terég alementpar des v ecteursla f orcede tension sur l" extrémitémobile et le v ecteurvitesse

de ce point à chacun de ces instants. 3.

Si l" élongationest maximale (notée lmax) àt= 0, donner une expression de son élongation en fonction

du temps.

Exercice 2 : Questions courtes

1. On comprimeunressorthorizontald"uneélongationldonnée.Onyattacheunobjetqu"onlâchesans

vitesse initiale. Comment varient la vitesse maximale et l"élongation maximale atteintes par l"objet en

fonction de sa masse? 2.

C ommentse peser dans l" espacea vecun ressort ?

3. C ommentév oluentles oscilla tionsdes amortisseurs d"une bascule à ressort comme celle représentée ci-contre selon qu"un adulte ou un en- fant l"utilise?Exercice 3 : Différents paramétrages

On considère un ressort horizontal de raideurket de longueur à videl0dont une extrémité est fixée en

un point A. On fixe une massemà l"autre extrémité M. Le ressort est comprimé à l"instantt= 0 d"une

longueurl0>0. On note M0cette position.

Établir et résoudre l"équation différentielle vérifiée par la position du point M en utilisant différentes

coordonnées et différentes conditions initiales sur le vecteur vitesse#v0. #v0=#0, origine au point A, axe dirigé par# AM0.

vitesse de normev0>0 dirigée en sens inverse de A; origine au point O, défini par la position du point

M quand le ressort a son longueur au repos, axe dirigé par# M0A. #v0=#0, origine en M0, axe dirigé par# AM0.Exercice 4 : Ressort sur un plan incliné

On place un système masse-ressort sur un plan

incliné d"un anglepar rapport à l"horizontale. Le vecteur vitesse initial est ici nul et le ressort est initialement allongé d"une longueurl0. Dé- terminer le mouvement ultérieur en utilisant : 1. les coordonnées X et Z d" origineA et de vecteurs de base# eXet#eZ. 2. les coordonnées xetzde même origine et de vecteurs de base#exet#ez,AM ex#» ez# » eX# » eZαExercice 5 : Bille accrochée à un ressort vertical

Un ressort vertical s"allonge de 5;0cm par rapport à sa longueur au repos quand on suspend à son extrémité

libre une bille de 200g. On cogne la bille lorsqu"elle est à l"équilibre, verticalement et vers le haut. Elle

remonte alors de 2;0cm avant de redescendre. On néglige le frottement de l"air et on prendrag= 9;8ms1.

Déterminer :

la raideur du ressort, la période T et la fréquence de ses oscillations, l"expression du déplacementz(t) par rapport à la position d"équilibre, le module de la vitesse initiale communiquée à la bille lors du choc.

Exercice 6 : Exploitation de mesures

Un dispositif a réalisé l"acquisition de l"allongement d"un ressort au cours du temps. Les résultats sont

présentés graphiquement dans la figure ci-dessous. 1.

On cherche à exprimer l" allongementsous

la formex(t) = Asin(2f0t+'). Déterminer graphiquement les valeurs numériques de

A,f0et'.

2.

Représen terle système masse-ressort a ux

instants correspondant aux points P

1, P2,

P

3et P4. Représenter qualitativement les

vecteurs vitesse et accélération. 3.

La masse de l" objetaccrochée a uressort

vautm= 100g. En déduire la raideur du ressort.00,20,4-505 P 1P 2P 3P

4t(min)x(cm)Exercice 7 : Associations de ressorts

Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.1/52017-2018

MPSI2, Louis le GrandOscillateur harmoniqueSemaine du 8 au 14 septembre1.On considère deux ressorts de constan tesde r aideurrespectiv esketk0

et de longueurs à vide respectivesl0Oetl00associés en série comme re- présenté ci-contre. Montrer qu"ils sont équivalents à un unique ressort idéal dont on donnera la longueur à vide et la constante de raideur.OP M k,l

0k?,l?02.On considère main tenantdeux ressorts de constan tesde r aideurres-

pectivesketk0et de même longueur à vide respectiveslOassociés en parallèle comme représenté ci-contre : leurs extrémités sont toujours jointes. Montrer qu"ils sont équivalents à un unique ressort idéal dont on donnera la longueur à vide et la constante de raideur.O Mk,l0 k ?,l0Exercice 8 : Point matériel lié à deux ressorts

Ressorts horizontaux

Un point matériel de massemest attaché à deux ressorts hori- zontaux identiques (longueur au reposl0, constante de raideur k) fixés aux points A et B, fixes dansRT. A BM l 0l0O

xLe point est à l"instanttau point M d"abscisseOM =xà l"instanttet glisse sans frottement le long de

l"axe Ox. 1.

Établir l" équationdi fférentielle du mouvement du point M. Y identifier la pulsation caractéristique

du système!0. 2. À l"instan tinitial, le mobile est immobile en M

0tel queOM

0=x0. Exprimerxen fonction det.

3.

Déterminer les f orcesexercées sur les supports en A et B .Où se trouv ele poin tma térielquand ces

forces sont maximales? 4. V érifierla conserv ationde l" énergiemécanique.

Ressorts verticaux

Les ressorts sont maintenant verticaux.

1. C alculerà l" équilibreles l ongueursl1etl2des ressorts en fonction dem,g,ket a. 2. Établir l" équationdi fférentielle d"évolution dezet en déduire la pulsation carac- téristique. 3. À l"instan tinitial le poin tma térielse trouv een z= 0 animé d"une vitessev0diri- gée selon#ez. Établir l"expression dez(t) et vérifier la conservation de l"énergie. 2aA B M l 1 l 2x z#» gExercice 9 :IBattements entre oscillateurs faiblement couplés

On se propose de comprendre la nature du mouve-

ment du système de deux points matériels représenté sur la figure ci-contre lorsque le point matériel 1 est écarté de sa position d"équilibre d"une distancea(le point 2 est maintenu immobile) puis relâché sans vi- tesse.

Oxx1x2mmk k

k?LLes points matériels ont même massem, les trois ressorts on même longueur à videl0mais le ressort centrala une raideurk0différente de la raideurkcommune des deux ressorts extrémaux. Le mouvement de chaque

masse est unidimensionnel selon l"axe Ox. 1.

Déterminer les positions d" équilibresx1(eq)etx2(eq)de chacun des points matériels. On introduira les

facteurs sans dimension :=l0=L et=k0=k. 2.

Déterminer les équa tionsdi fférentielles satisfaites par les écarts à l"équilibre X1=x1x1(eq)et X2=

x

2x2(eq).

3. Afin de découpler les deux équa tions,on pose X

S= X1+X2et XA= X1X2.

(a) Quelles son tles équa tionsdi fférentielles vérifiées par ces nouvelles variables? (b) Les résoudre en in troduisantdeux pulsa tions!Set!exprimées en fonction des paramètres du problème. 4. En déd uireles équa tionshor airesde x1etx2.

5.IOn se place maintenant dans le cas où le ressort central est nettement moins raide que les deux

autres : le problème est alors celui de deux oscillateurs pratiquement indépendants, faiblement cou-

plés par le ressort central. (a)

Que peut -ondire des pulsa tions!+et!?

(b) T racerqualita tivementles quan titésx1(t) etx2(t) (utiliser les développements de cosa+cosbet cosacosb). (c) C alculerl" énergiecon tenuedans chaque oscilla teuret tr acerles gr aphesde leur v ariationen

fonction du temps. Montrer en particulier que l"énergie passe successivement d"un oscillateur à

l"autre. Ce phénomène porte le nom debattements.Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.2/52017-2018

MPSI2, Louis le GrandOscillateur harmoniqueSemaine du 8 au 14 septembreCorrection de l"exercice 1

En choisissant l"origine des temps à l"instant où l"élongation est maximale, et en notantlmaxsa valeur

et T la période, l"élongationl(t) s"écrit à chaque instant :l=lmaxcos(2t=T) et la vitesse du point

matériel est :l=2lmaxsin(2t=T)=T.

La force de tension est dirigée vers l"extrémité fixe du ressort, elle est maximale. Le vecteur vitesse est

nul.

Un quart de période plus tard, ent= T=4 l"élongation du ressort est nulle, la force de tension est

donc nulle. La vitesse est en revanche maximale, dirigée vers l"extrémité fixe, et a pour normejlj=

2lmax=T.

Une demi-période plus tard, ent= T=2, la force de tension est de nouveau maximale en norme mais dirigée dans l"autre sens. Le vecteur vitesse est nul.

Correction de l"exercice 2

1.

L "élongationmaximale ser aldans tous les cas. En revanche la vitesse maximale étant égale à!l

et!=pk=mdiminuant quand on augmente la masse, la vitesse maximale sera plus faible pour une masse plus grande. 2.

Il suffitdes"attacheràuneextrémitéd"unressortdontonconnaîtlaraideuretdefixerl"autreextrémité

à un objet de masse beaucoup plus importante (la cloison de la station spatiale). La mesure de la fréquence des oscillations permettra de remonter à la masse. 3.

Bien qu" onn "aitpas un ressort en mouv ementunidimensionnel, on peut tirer les mêmes concl usions

qualitatives. La fréquence varie enpk=m, elle augmente quand la masse diminue,iequand c"est un enfant qui utilise la bascule. Les oscillations avec un adulte seront plus lentes.

Correction de l"exercice 3

Dans tous les cas, la pulsation est!=pk=l. On note#exle vecteur unitaire dirigé par# AM0.

La force de tension a pour expression#T =k(xl0)#ex, l"équation différentielle d"évolution dexest

donc : m d2xdt2=k(xl0) de solution :x=l0cos(!t)+l0 On a maintenant#T =kx#ex, l"équation différentielle est : m d2xdt2=kxde solution :x=l0cos(!t)v0! sin(!t):

Cette fois-ci :#T =k(xl0), soit :

m d2xdt2=k(xl0) de solution :x=l0(1cos(!t)):

Correction de l"exercice 4

On détermine les expressions des coordonnées et des vecteurs de base dans les deux systèmes. On a :

X =xcos()+zsin() Z =zcos()xsin()

x= Xcos()Zsin()z= Zcos()+Xsin() # eX=#excos()+#ezsin()#eZ=#ezcos()#exsin()

#ex=# eXcos()#eZsin()#ez=#eZcos()+# eXsin()On en déduit les expressions des forces dans les deux systèmes de coordonnées

#P =mg#ez=mg(cos()#eZ+sin()# eX) #T =k(Xl0)# eX=k[xcos()+zsin()l0][xcos()#ex+sin()#ez];

On a toujours :m#a(M) =#T +#P +#N, avec#N la réaction du support, qui n"a pas de composante selon# eXen l"absence de frottement.

1.

En coordonnées X ;Z, on a :

m d2Xdt2=k(Xl0)mgsin() 0 =md2Zdt2=mgcos()+NZ Les conditions initiales étant X(t= 0) =l0+l0etX(t= 0) = 0, la solution est :

X =l0mgsin()k

+l0cos(!t) Z = 0: 2.

La méthode la pl ussim plepour déterminer xetzconsiste à utiliser leur expression en fonction de X

et Z. On obtient : x= Xcos()z= Xsin(): On vérifie facilement la vraisemblance de ces expressions dans les cas= 0 et==2.

Correction de l"exercice 5

À l"équilibre, la somme des forces appliquées (son poids en la force de tension du ressort) au point

matériel dans le référentiel terrestre galiléen est nulle : on a donc#P +#T =#0, soitm#gkleq#ez,

avecleqla longueur du ressort à l"équilibre. On détermine ainsik=mg=leq= 39;2Nm1. La période est 2pm=k= 0;45s, soitf= 1=T = 2;2Hz.

L"écartz(t) par rapport à l"équilibre (aveczorienté selon la normale ascendante) est de la forme :

z(t) = Acos!t+Bsin!t, avec!=pk=m. Les conditions initiales étantz(0) = 0 etz(0) =v0, la solution estz(t) =v0! sin!t. L"amplitude du mouvementv0=!est évidemment égale àz, résultat qu"on peut vérifier sur l"expression précédente dev0puisqueleq=mg=ketlf inz.Remarque:on peut

également vérifier la conservation de l"énergie mécanique entre l"instant initial où elle est entièrement

cinétique et l"extension maximale où elle est entièrement potentielle.

Correction de l"exercice 6

1.On mesure, sur la figure1, 2T0= 0;420;02 = 0;40min, soit T0= 0;20min etf0=1T

0=

8;3102Hz.

On lit également 2A = 8;0(8;0) = 16;0cm, soit A = 8;0cm. cette phase est nulle. Le premier passage par flanc montant de la courbe étant ent0= 0;125min, leretardest 2t0=T = 3;9rad = 225°. L"avanceest donc 360225 = 144°. 2.

La vitesse

xest positive en P2et P3, négative ailleurs. L"accélération¨xest négative en P3et P4, positive

ailleurs.Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.3/52017-2018

MPSI2, Louis le GrandOscillateur harmoniqueSemaine du 8 au 14 septembre00,10,20,30,4-10-50510 P 1P 2P 3P 42T

02AΔtt(min)x(cm)Figure1

3.

On cal culek= 42mf20= 3;3102Nm1.

Correction de l"exercice 7

Dans les deux cas, on désigne par T

i(i= 1;2) la tension du ressortiet# lison élongation. 1.

Dans l" associationsérie le principe des actions réciproques assure que chaque ressort exerce une f orce

de même intensité sur l"autre : les deux tensions ont la même tension qu"on notera T. On en déduit

les élongations#l1=#T=k1et#l2=#T=k2. L"élongation totale#lest, quant à elle, la somme des

élongations :#l1+#l2=#l. On en déduit :#l=(1=k1+1=k2)#T. On retrouve bien la caractéristique

d"un ressort de raideurktelle que1k =1k 1+1k 2. 2.

Dans l" associationpar allèle,c" estl" élongationqui est la même pour les deux ressorts (on la note

#l), et

le point matériel est soumis la somme des deux tensions. En notant#T cette somme, on a#T =#T1+#T2=

k1#l1+k2#l2=(k1+k2)#l: la raideurkest maintenant la somme des raideurs.

Correction de l"exercice 8

Horizontaux1.Dans RTgaliléen, le point matériel est soumis à la réaction#R du support normale à#ex(mouvement sans frottement), à son poids lui aussi normal à#exet aux forces de rappel élas-

tique exercées par les deux ressorts :8 TA=k# AMl0#uAM=k(x+l0l0)#ex=kx#ex#TB=k(# BMl0#uBM) =k(l0+x+l0)#ex=kx#ex. Le principe fondamental de la dynamique s"écrit, en projection sur #ex:m¨x=2kx:¨x+!20x= 0, avec!0=p2k=m. 2.

On a immédia tement: x=x0cos(!0t).

3.

La tension d"un ressort idéal étan tunif orme,la f orceen A (resp. en B )est sim plementl" opposée

de la tension exercée par le ressort de gauche (resp. de droite). On a#FA=kx#exet#FB=kx#ex.Elles sont maximales en norme quand l"élongation du ressort est maximale, soit quandjxj=x0,

soit encore pour!t= 0[]. 4.

On v érifieque

12 mx2+12 k(x)2+12 k(x)2; est bien une constante en utilisant le fait que sin

2+cos2= 1.

Verticaux1.Le poin tma térielest soumis à :

#P =mg#ez #FA=k(# AMl0#uAM)#ez=k(l1l0)#ez #FB=k(# BMl0#uBM) =k(l2l0)#ez À l"équilibre, on a donc :k(l1l2) =mg. Comme (l1+l2) = 2a, on obtient : l

1=a+mg=(2k) etl2=amg=(2k):

2. C ommeon l" avu en cours, le f aitde rendre l" oscillateurv erticalne chang epas sa pulsa tion,seule

la position d"équilibre est modifiée. On a donc toujours une pulsation égale à!=p2k=m. On a :

z+!2(zzeq) = 0;avec :zeq=mg2k: 3. Les conditions initiales z= 0 et#v=v0#ezassurent que : z=zeq(1cos(!t))+v0! sin(!t):quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23