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17/11/2015 B A BA de l'ANOVA1

Qu'est-ce que c'est ?A quoi ça sert ?Pourquoi ne pas se satisfaire de simples tests de t 2 par 2 ?

Trois individus (ou objets, ou sujets, ...)17/11/2015B A BA de l'ANOVA2à chacun desquels on affecte une mesure

44
44
52
Bleu = RougeRouge ≠ Vert Bleu ≠ Vert Trois groupes d'individus17/11/2015B A BA de l'ANOVA3dont on calcule la moyenne des mesures 42
42
47
mbleu = mrougemrouge ≠ mvert mbleu ≠ mvert 34
43
66
44
28
56
23
57
80
20 37
27
41
32
62
45
24
41
37
56
64

Trois très grands groupes d'individus(on parle de populations)17/11/2015B A BA de l'ANOVA4pour lesquels on ne peut accéder aux mesures de tous les individusmbleu

= mrougemrouge ≠ mvert mbleu ≠ mvert On peut démontrer que si on tire un échantillonreprésentatif de la population (par tirage au hasard de 30 individus, par exemple), la moyenne de cette échantillon (̅)est une bonne estimation(μ)de la moyenne de la population (µ) : Bonne estimation : l'espérance mathématique de μest égale à µ

E(μ) = µ

Ce qui signifie que si on tire un nombre très grand d'échantillons de même effectif, la moyenne (espérance) des moyennes ̅ de ces échantillons tend vers µ, moyenne de la population.17/11/2015B A BA de l'ANOVA5

Peut-on en conclure que les moyennes des 3 populations sont différentes ?17/11/2015B A BA de l'ANOVA7

µb ≠ µrµr ≠ µv µb ≠ µv = 3.93

̅= 4.28

̅= 5.17

Tirage au hasard de 30 individus dans chacune des 3 populations

μb≠ μr

μr≠ μv

μb≠ μv

NON, car

μ n'est pas µ, ce n'en est qu'une estimation. Sa valeur doit être accompagnée de son intervalle de confiancequi donne la précision de l'estimation de la moyenne de la population à partir de l'échantillon. Si on répétait l'estimation un grand nombre de fois, dans (1-α) % des cas l'intervalle de confiance contiendrait la vraie moyenne de la population, µ.

Dans cette estimation à

partir d'un échantillon de la population rouge la moyenne µ pourrait bien être dans l'intervalle [3.81 ; 4.75] avec un degré de confiancede 95%.

17/11/2015B A BA de l'ANOVA8

3 4 5 6

0.0 0.5 1.0 1.5

x densité

3 4 5 6

0.0 0.5 1.0 1.5

x densitéμ et ne sont que des estimations. Si la population rouge et la population bleue ont la même moyenne, µ, celle-ci pourrait bien être dans l'intervalle [3.81 ; 4.54] avec un degré de confiance équivalent à l'aire hachurée.

17/11/2015B A BA de l'ANOVA9

3 4 5 6

0.0 0.5 1.0 1.5

x densitéμ et ne sont que des estimations. Si la population rouge et la population verte ont la même moyenne, µ, celle-ci pourrait bien être dans l'intervalle [4.48 ; 4.75] avec un degré de confiance équivalent à l'aire hachurée.

17/11/2015B A BA de l'ANOVA10

On comprend que si le

degré de confiance est " trop petit », on choisira l'hypothèse la plus vraisemblable : les deux populations n'ont pas la même moyenne.

3 4 5 6

0.0 0.4 0.8 1.2

densité

Faisons l'hypothèseque

µr = µb alors µr -µb = 0 Si nous répétons un grand nombre de fois le tirage d'un échantillon dans chacune de deux populations de même moyenne µ = µr = µb, que nous calculons chaque fois la différence entre les moyennes des deux échantillons, cette différence suit une loi normale de moyenne µ = 0.

17/11/2015B A BA de l'ANOVA11

Reprenons nos échantillons rouge

et bleu

̅= 4.28

et = 3.93 donc = 0.35 différence entre les moyennes densité -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

La probabilité que la différence de moyennes entre les deux échantillons soit égale ou supérieure à 0.35, alors que les populations dont ils sont tirés ont des moyennes égales (hypothèse nulle), est donnée par l'aire colorée en violet. C'est le " petit p

Conclusion de ce rappel

•Si la question est :

" les moyennes des échantillonssont-elles différentes ? »nous n'avons pas besoin d'un test d'hypothèse.Exemple : Est-ce que la mesure moyenne est différente entre mes 6 patients et mes

8 sujets contrôle ?

•Si la question est : " au vu des échantillons, est-ce que les moyennes des populations dont ils sont tirés sont différentes ? »nous avons besoin d'un test d'hypothèse... ... et nous prenons des risques

liés à l'incertitude sur les estimations.Exemple : A partir de mes 6 patients et de mes 8 sujets contrôle, est-il raisonnable

de dire qu'en général la mesure moyenne des patients est différente de celle des sujets contrôle ? •L'incertitude est contrôlée par les conditions d'application des tests.

17/11/2015B A BA de l'ANOVA12

17/11/2015B A BA de l'ANOVA13

0 2 4 6 8

blue red green

Nombre de groupes : k = 3 {

bleu , rouge , vert

Effectif par groupe :

nbleu = nrouge = nvert = 30 Effectif total : n = 90ANOVA à 1 facteur (ayant 3 modalités) - 1 way ANOVA (3 levels) L'analyse de la variance ANalysis Of VAriance (ANOVA) Elle repose sur la décomposition de la variance totale : variance

totale≡ varianceentre les groupes + varianceà l'intérieur des groupes17/11/2015B A BA de l'ANOVA14

0 2 4 6 8

tous 1 2 3

0 2 4 6 8

groupe y dispersion

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0betweenwithin total

Mais il s'agit bien de comparer des moyennes :variancetotale : différence entre valeurs et moyenne globale

varianceentre les groupes: différence entre moyennes des groupes et moyenne globale varianceà l'intérieur des groupes : différence entre valeurs et moyennes des groupes

17/11/2015B A BA de l'ANOVA15*SCE : Somme des Carrés des Ecarts à la moyenne

La variance est la moyenne des carrés des écarts : estimation de la variancetotale= )=*+,-.-/01 22
-.-/0∗ =*+,-.-/01 3" estimation de la varianceentre les groupes= )$=*+,45-16 22
45-16
=*+,45-16 #3" estimation de la varianceà l'intérieur des groupes = )$=*+,45-6/ 22
45-6/
=*+,45-6/ 3#

17/11/2015B A BA de l'ANOVA16*ddl : nombre de degrés de liberté

Dans l'hypothèse nulle (H0) où il n'y a pas de différence entre les moyennes des 3 populations d'où sont tirés les 3 échantillons, le rapport entre la variance inter et la variance intra suit une loi de distribution connue, la loi du F de Fisher-Snedecor, à ν"= 9 - 1et ν= ( - 9degrés de liberté.17/11/2015B A BA de l'ANOVA17 $é>2&

ANOVA des données de notre exemple :17/11/2015B A BA de l'ANOVA18Conclusion : rejet de l'hypothèse nulle (au risque α), trop improbable.Les moyennes des trois groupes sont significativement différentes.

le facteur " groupe » bleu , rouge , vert les résidus (variance intra groupe) nombre de degrés de liberté somme des carrés des écarts moyenne des carrés des écarts valeur du F La probabilité que, sous l'hypothèse nulle, la valeur du F soit ≥ 3.171 est de 0.0469 (donc p < 0.05). Conditions d'application de l'ANOVA1. Indépendancedes échantillons -La meilleure solution : tirer les échantillons au hasard.

2. Normalitédes populations.

-Il faut pouvoir considérer que les populations d'où sont tirés les échantillons sont distribuées selon la loi normale.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32