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CHAPITRE 4
Symétrie centrale
I - Figures symétriques :
Définition :
Deux figures sont symétriques par rapport à un point si elles sont superposables par demi-tour autour de ce point. Ce point est appelé le centre de la symétrie.Exemple :
Les figures
(F ) et (F ") sont symétriques par rapport au point O, donc le point O est le centre de la symétrie.II - Symétrique d"un point :
1) Définition :
Le symétrique d"un point M par rapport à un point O est le point M" tel que le point O est le milieu du segment [MM"]. Remarque : Dans la symétrie de centre O, le symétrique du point O est lui-même.2) Construction du symétrique d"un point :
Pour construire le symétrique M" d"un point M par rapport à un point O :1ère étape : On trace la demi-
droite [MO). 2ème étape : On reporte à partir du point O la longueur MO. 3ème étape : L"arc de cercle tracé coupe la demi-droite [MO) en M".M
M O III - Propriétés de la symétrie centrale :1) Symétrique d"une figure :
Propriété :
Le symétrique d"une figure par rapport à un point est une figure qui lui est superposable. Ces deux figures ont donc la même forme et les mêmes mesures.2) Symétrique d"une droite :
· La symétrie centrale conserve l"alignement des points.· Le symétrique d"une
droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle.· Le symétrique d"une
demi-droite par rapport à un point est une demi-droite qui lui est parallèle et de sens contraireMéthode : Pour tracer le symétrique d"une droite il faut tracer les symétriques de deux de ses points.
3) Symétrique d"un segment :
· Le symétrique d"un segment par rapport à un point est un segment de même longueur qui lui est parallèle.La symétrie centrale conserve les longueurs.
Méthode : Pour tracer le symétrique d"un segment il faut tracer les symétriques des extrémités.
4) Symétrique d"un cercle :
Le symétrique d"un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon. Les centres de ces cercles sont symétriques par rapport à ce point.Méthode : Pour tracer le symétrique d"un cercle il faut tracer le symétrique du centre et garder le même rayon.
5) Symétrique d"un polygone :
On considère la symétrie de centre O.
Le symétrique du polygone
!"#$% est le polygone 23456 ; donc leurs périmètres et leurs aires sont égaux. Les angles݂݁݃ et ݒݓݔ sont symétriques, donc ݂݁݃൩ ݒݓݔ.
Conclusion :
· Le symétrique d"un
polygone par rapport à un point est un polygone superposable. La symétrie centrale conserve les mesures des angles, les périmètres et les aires.IV - Centre de symétrie :
1) Centre de symétrie de deux figures :
Définition :
Le centre de symétrie d"une symétrie centrale est le milieu de tous les segments (pointillés)
rejoignant deux points symétriques sur chacune des figures.Propriété :
Le seul point qui est invariant dans une symétrie centrale est le centre de symétrie. Remarque : La figure symétrique semble " à l"envers » : elle a fait un demi-tour.2) Centre de symétrie d"une figure :
Définition :
Lorsque le symétrique d"une figure par rapport à un point est elle-même, on dit que ce point
est un centre de symétrie de la figure. Ce point est le seul qui laisse la figure invariante par symétrie par rapport à lui-même.