[PDF] 4 Codes cycliques - webusersimj-prgfr PDF 2M120-TD-2015-ch4-codes-cycliques.pdf

4 Codes cycliques Exercice 4 1 Soit C le code linéaire sur F5 de matrice génératrice G = Soit C le code cyclique de longueur 10 sur F5, engendré par le polynôme g 2 Quelle est la de code c émis ? Combien de bits ont été corrigés ?

Previous PDF

Next PDF

[PDF] Codes cycliques - DI ENS

Exercice 1 – Traité en TD Exercice 2 – C code cyclique dans K = F5[X]/(X10 − 1) engendré par le polynôme g 1 En effectuant la division euclidienne de X10

[PDF] 4 Codes cycliques - webusersimj-prgfr

[PDF] Codes Correcteurs dErreurs Les codes cycliques - LIRMM

12 nov 2008 · Exercice Plan 1 Codes Cycliques Rappel sur les polynômes Définition - Code Cycliques - Polynôme générateur Codage et décodage avec

[PDF] Exercices Codes Correcteurs - ENSIIE

Exercice 2 On consid`ere le code binaire o`u on envoie 16 bits pour 9 bits significatifs de la mani`ere suivante : On rappelle qu'il corrige une erreur On consid`ere le code cyclique C engendré par P quelle est sa longueur ? Quelle est sa

[PDF] Feuille dexercices 3

Codes linéaires cycliques — L'exemple précédent sugg`ere de rajouter une structure d'alg`ebre `a un code linéaire C ; on obtient ce que l'on appelle un code

[PDF] Université Pierre & Marie Curie

Exercice 1 On considère Dire dans chaque cas si le code est linéaire ainsi que le nombre d'erreurs qu'il peut détecter et corriger Exercice 2 Montrer que si C est de longueur 17 et de dimension 7, il ne corrige pas plus d'une erreur 2 Montrer que le polynôme X5 + X4 + X + 1 engendre un code cyclique binaire de

[PDF] T D Codes correcteurs derreurs POLYTECH 4i`eme année Année

Feuille de T D 3 corrigée : Codes cycliques Exercice 1 : code cyclique I) Soit C un code cyclique de longueur 15 sur IF2 de polynôme générateur g(x) = x4 + x

[PDF] Codes de Hamming 2 Codes cycliques et Reed-Solomon - Moais

(a) Ici, on construit un code de Hamming qui corrige une erreur unique dans Les codes cycliques ont un double intérêt : d'une part [exercice 1], le codage et le

[PDF] Th´eorie des codes correcteurs derreurs I - Page Personnelle du Pr

Fonctions booléennes 51 4 9 Exercices 52 Chapitre 5 Codes cycliques 53 5 1 Définition façon que les erreurs puissent être détectées et corrigées 1 2

[PDF] TD Réseau Les codes correcteurs et les codes détecteurs Claude

Le code de Hamming (3) Exercice (Correction) 1 0 1 0 1 1 0 C ' 2 vaut 1+0+ 1+0=0 (bits d'indice 7, 6, 5 et 4) C ' 1 vaut 1+0+1+1=1 (bits d'indice 7, 6, 3 et

1. Donner la longueurn, la dimensionket le nombre de mots deC.

2. Est-ce queCest un code cyclique? Si oui, en donner le polyn^ome generateurget le polyn^ome

de contr^oleh.

3. Montrer queH=1 1 3 0

0 1 1 3

est une matrice de contr^ole deC.

4. Calculer la distance minimumdet la capacite de correctiontdeC.

5. Les mots

1= (1101),

2= (1111) et

3= (2311) sont recus. Pour chacun d'eux, repondre

aux questions suivantes. (a) Calculer le syndrome de i. (b) Si cela est possible determiner le mot de codeciemis, et retrouver le messagemienvoye sachant qu'il a ete encode par la matriceG. (c) Sinon que cela signie-t-il?

Exercice 4.2

1. Montrer que dansF5[X], le polyn^omeg= (X21)2divise le polyn^omeX101.

SoitCle code cyclique de longueur 10 surF5, engendre par le polyn^omeg.

2. Quelle est la dimensionkdeC? Quel est le nombre de mots deC?

3. Donner une matrice generatrice deC.

4. Determiner le polyn^ome de contr^ole deCet donner une matrice de contr^ole deC.

5. Montrer que la distance minimumddeCest egale a 3. Quelle est la capacite de correctiont

deC?

6. Le mot

= (1111311111) est recu. (a) Quel est le mot de codecemis? (b) Quel est le messagemenvoye, sachant qu'il a ete encode par le polyn^omeg? Exercice 4.3SoitCle code lineaire surF7de matrice generatriceG=0 B

BBBBB@1 0

5 1 5 5 2 5 1 2 0 11 C

CCCCCA.

1. Quelle est la longueurndeC? Quelle est la dimensionkdeC? Quel est le nombre de mots

deC?

2. Est-ce queCest un code cyclique? Si oui, en donner le polyn^ome generateurget le polyn^ome

de contr^oleh.

3. Donner une matrice de contr^ole deC.

4. Determiner les generateurs de (F7)puis montrer queCest un code de Reed-Solomon. En

deduire la distance minimumdet la capacite de correctiontdeC.

5. Le mot

= (204512) est recu. (a) Quel est le mot de codecemis? (b) Quel est le messagemenvoye, sachant qu'il est encode par la matriceG?

Laurent Koelblen9maj 8 nov., 2015

2M120

ELEMENTS D'ARITHMETIQUE LICENCE D'INFORMATIQUE UPMC 2015-2016Exercice 4.4On considere le corps a 8 elementsK=F2[Y]=(Y3+Y+1)F2[Y] =F2[y] ouydesigne

la classe deYdansK. La table de multiplication deKest donnee ci-dessous.y1 +yy

21 +y2y+y21 +y+y2yy

2y+y21 +y11 +y+y21 +y21 +yy+y21 +y21 +y+y2y

21y
y

21 +y1 +y+y2y+y2y1 +y21

1 +y21y

2y1 +y+y21 +yy+y2y+y21 +y+y211 +y21 +yyy

21 +y+y21 +y2y1y+y2y

21 +yLes puissances successives deysont :i01234567

y i1yy

21 +yy+y21 +y+y21 +y21

On noteK[x] =K[X]=(X7+ 1)K[X].

1. Developper les polyn^omesg= (X+1)(X+y) eth= (X+y2)(X+y3)(X+y4)(X+y5)(X+y6).

(On peut aussi obtenirhcomme quotient deX7+ 1 parg.)

2. SoitCK[x] le code de Reed-Solomon engendre parg. Quelle est la longueurndeC?

Sa dimensionk? Sa distance minimaled? Sa capacite de correctiont? Donner une matrice generatriceGet une matrice de contr^oleHdeC.

On identieF32aKpar l'application', denie par :

'(m0m1m2) =m0+m1y+m2y2: On identieF212aK[x] par l'applicationF, denie pourm=m0m1m2m3m4m5::: m18m19m20par :

F(m) ='(m0m1m2) +'(m3m4m5)x++'(m18m19m20)x6

On identieF152aCpar l'applicationE, denie pourm=m0m1m2m3m4m5::: m12m13m14par :

E(m) ='(m0m1m2) +'(m3m4m5)x++'(m12m13m14)x4g(x):

3. Encoder le messagem= 100 001 010 111 100 en un elementcdeF212, c'est a dire : calculer

c=F1E(m).

4. Le message

= 011 010 111 111 111 100 100 est recu. (a) Quel est le mot de codecemis? Combien de bits ont ete corriges? (b) Quel est le messagemenvoye, sachant quec=F1E(m)?

5. On considereCcomme un code binaire de longueur 21 et de dimension 15.

(a) Donner la matrice generatriceG0deCcorrespondant a l'encodageF1E. (b) Donner la matrice de contr^oleH0deCcorrespondant au polyn^ome de contr^oleh. (c) Quelle est la distance minimum et la capacite de correction deCdans ce cadre? Commenter ce resultat.

Laurent Koelblen10maj 8 nov., 2015

quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

[PDF] [PDF] 4 Codes cycliques - webusersimj-prgfr

1. Donner la longueurn, la dimensionket le nombre de mots deC.

2. Est-ce queCest un code cyclique? Si oui, en donner le polyn^ome generateurget le polyn^ome

3. Montrer queH=1 1 3 0

0 1 1 3

4. Calculer la distance minimumdet la capacite de correctiontdeC.

5. Les mots

1= (1101),

2= (1111) et

3= (2311) sont recus. Pour chacun d'eux, repondre

Exercice 4.2

1. Montrer que dansF5[X], le polyn^omeg= (X21)2divise le polyn^omeX101.

2. Quelle est la dimensionkdeC? Quel est le nombre de mots deC?

3. Donner une matrice generatrice deC.

4. Determiner le polyn^ome de contr^ole deCet donner une matrice de contr^ole deC.

5. Montrer que la distance minimumddeCest egale a 3. Quelle est la capacite de correctiont

6. Le mot

BBBBB@1 0

CCCCCA.

1. Quelle est la longueurndeC? Quelle est la dimensionkdeC? Quel est le nombre de mots

2. Est-ce queCest un code cyclique? Si oui, en donner le polyn^ome generateurget le polyn^ome

3. Donner une matrice de contr^ole deC.

4. Determiner les generateurs de (F7)puis montrer queCest un code de Reed-Solomon. En

5. Le mot

Laurent Koelblen9maj 8 nov., 2015

21 +y2y+y21 +y+y2yy

2y+y21 +y11 +y+y21 +y21 +yy+y21 +y21 +y+y2y

21 +y1 +y+y2y+y2y1 +y21

1 +y21y

2y1 +y+y21 +yy+y2y+y21 +y+y211 +y21 +yyy

21 +y+y21 +y2y1y+y2y

21 +yLes puissances successives deysont :i01234567

21 +yy+y21 +y+y21 +y21

On noteK[x] =K[X]=(X7+ 1)K[X].

1. Developper les polyn^omesg= (X+1)(X+y) eth= (X+y2)(X+y3)(X+y4)(X+y5)(X+y6).

2. SoitCK[x] le code de Reed-Solomon engendre parg. Quelle est la longueurndeC?

On identieF32aKpar l'application', denie par :

F(m) ='(m0m1m2) +'(m3m4m5)x++'(m18m19m20)x6

E(m) ='(m0m1m2) +'(m3m4m5)x++'(m12m13m14)x4g(x):

3. Encoder le messagem= 100 001 010 111 100 en un elementcdeF212, c'est a dire : calculer

4. Le message

5. On considereCcomme un code binaire de longueur 21 et de dimension 15.

Laurent Koelblen10maj 8 nov., 2015