12 nov 2008 · Exercice Plan 1 Codes Cycliques Rappel sur les polynômes Définition - Code Cycliques - Polynôme générateur Codage et décodage avec
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Exercice 1 – Traité en TD Exercice 2 – C code cyclique dans K = F5[X]/(X10 − 1) engendré par le polynôme g 1 En effectuant la division euclidienne de X10
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12 nov 2008 · Exercice Plan 1 Codes Cycliques Rappel sur les polynômes Définition - Code Cycliques - Polynôme générateur Codage et décodage avec
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Exercice 2 On consid`ere le code binaire o`u on envoie 16 bits pour 9 bits significatifs de la mani`ere suivante : On rappelle qu'il corrige une erreur On consid`ere le code cyclique C engendré par P quelle est sa longueur ? Quelle est sa
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Codes linéaires cycliques — L'exemple précédent sugg`ere de rajouter une structure d'alg`ebre `a un code linéaire C ; on obtient ce que l'on appelle un code
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Exercice 1 On considère Dire dans chaque cas si le code est linéaire ainsi que le nombre d'erreurs qu'il peut détecter et corriger Exercice 2 Montrer que si C est de longueur 17 et de dimension 7, il ne corrige pas plus d'une erreur 2 Montrer que le polynôme X5 + X4 + X + 1 engendre un code cyclique binaire de
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Le code de Hamming (3) Exercice (Correction) 1 0 1 0 1 1 0 C ' 2 vaut 1+0+ 1+0=0 (bits d'indice 7, 6, 5 et 4) C ' 1 vaut 1+0+1+1=1 (bits d'indice 7, 6, 3 et
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Codes Cycliques
Fin de la partie code lin´eaire en blocs
Codes Correcteurs d"Erreurs
Les codes cycliquesMarc Chaumont
November 12, 2008
Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateurCodage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Plan1Codes Cycliques
Rappel sur les polynˆomes
D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateurCodage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
2Fin de la partie code lin´eaire en blocs
Conclusion
Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateurCodage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
D´efinition
Unpolynˆome`a coefficients dansF2est une fonction de la formeP(X) =a0+a1X+a2X2+...+anXnavec?i? {0,...,n},ai?F2;Sian?= 0, l"entiernest appel´e ledegr´edu polynˆomePet not´edeg(P) ;Les entiersaisont appel´es les coefficients de P ;DansF2,(a+b)2=a2+b2.Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateurCodage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Division Euclidienne
Division polynomiale
SoitP1etP2deux polynˆomes `a coefficients dansF2. Il existe deux polynˆomes `a coefficients dansF2,QetR, uniques, tels queP1= P2×Q+Retdeg(R) Rest appel´e lerestede la division euclidienne deP1parP2.Marc ChaumontIntroduction Codes Cycliques
Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateur Codage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Plan 1Codes Cycliques
Rappel sur les polynˆomes
D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateur Codage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
2Fin de la partie code lin´eaire en blocs
Conclusion
Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateur Codage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Code Cycliques
Code Cycliques
SoitCl"ensemble des mots de code d"un code [n,k,dmin]. Le code est ditcycliquesi l"ensemble des mots du code eststable pard´ecalage circulaire.Dit autrement Si l"on dispose d"une fonctionσde permutation circulaire telle que σ(c1,c2,...,cn) =cn,c1,c2,...,cn-1, un codeCest cyclique si?c? C,σ(c)?CMarc ChaumontIntroductionCodes Cycliques Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateur Codage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Les codes cycliques
Quelques codes cycliques ...
Les codes de r´ep´etitions pures [n,k,.] sont cyliques,Les codes par bit de parit´e est cyclique,
Le code de Hamming [7,4,3] est cyclique; et plus g´en´eralement certains codes de Hamming,Certains codes simplexes [2 k-1,k,2k-1] (Les colonnes de la matrice g´en´eratrice sont une ´enum´eration deFk2except´e le vecteur nul) Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateur Codage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Les codes cycliques
Code cycliques engendr´e par un mot
(l"image d")Uncode cyclique engendr´epar un motm? {0,1}n est compos´e du vecteur nul ainsi que de tous les vecteurs obtenables par d´ecalage circulaire dem.Marc ChaumontIntroduction Codes Cycliques
Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateur Codage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Exercice :
Quel est le code lin´eaire (en bloc) cyclique engendr´e par 111 ? Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
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Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Correction :
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Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
G´en´erateur d"un code cyclique
G´en´erateur d"un code cyclique
SoitC(l"image d") uncode cyclique[n, k, .]
Il existe ununique polynˆomeg(X) =a0+a1X+a2X2+...+an-kXn-k avecan-k= 1 tel que :g(X) est un diviseur deXn+ 1,Cest le code cyclique engendr´e parm=a0a1...an-k0...0 (Il y ak-1
z´eros en fin dem),Les motsm=a0a1...an-k0...0;σ(m) = 0a0a1...an-k0...0; ...; σ(m)k-1= 0...0a0a1...an-kforment une base de C. La matrice g´en´eratrice de C est donc donn´ee par : ??a 0a1...an-k0 0... ...0
0a0...an-k-1an-k0... ...0
0 0...0a0a1... ...an-k?
??Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateur Codage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Polynˆome g´en´erateur
Repr´esentation polynomiale
Soitm=a0a1...anun mot de longueurn. On appelle
repr´esentation polynomialedemle polynˆomea0+a1X+...+anXn.Remarque 1: Dor´enavant, on identifiera syst´ematiquement un mot avec sa repr´esentation polynomiale.Polynˆome g´en´erateur
Soit C un codecyclique[n,k,dmin]. On appelle polynˆome g´en´erateur de C le polynˆomeg(X) d´efini par le th´eor`eme pr´ec´edement.Remarque 1 : Dor´enavant, on identifiera syst´ematiquement un code cyclique par son polynˆome g´en´erateur.
Marc ChaumontIntroduction
Codes Cycliques
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Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Exemple de polynˆome g´en´erateur
Le polynˆome g´en´erateur du code de r´ep´etition pure [n, 1, .] est 1 +X+X2...+Xn-1Le polynˆome g´en´erateur du code par bit de parit´e [n, n-1, .] est
1 +XLespolynˆomes g´en´erateurs du code de Hamming [7, 4, 3] sont
1 +X+X3et 1 +X2+X3.Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
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Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Remarque sur l"occupation m´emoire des diff´erentes cat´egories de codes en blocsLes codesen blocs quelconquesn´ecessitent de d´esigner les 2k mots de codes ainsi que la fonction de codage,Les codesen blocs lin´eaires quelconquessont d´ecrits par leur
matrice g´en´eratrice de dimensionn×k.Les codesen blocs cycliquessont d´ecrits par un polynˆome
compos´e den-kcoefficients.Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateur Codage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Plan 1Codes Cycliques
Rappel sur les polynˆomes
D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateur Codage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
2Fin de la partie code lin´eaire en blocs
Conclusion
Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateur Codage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Codage
Codage
SoitCun code cyclique de polynˆome g´en´erateur g(X). Soituun mot de source de repr´esentation polynomialePu(X). Le mot image correspondant (c"est-a-dire le mot de code correpondant) a pour repr´esentation polynomialePu(X)×g(X).Marc ChaumontIntroduction Codes Cycliques
Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateur Codage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Plan 1Codes Cycliques
Rappel sur les polynˆomes
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Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
2Fin de la partie code lin´eaire en blocs
Conclusion
Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
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Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Exercice
Soit le polynˆome g´en´erateurg(X) = 1 +X+X3.1Donner lemot de codedu mot issu du codage deu= 1101,2Donner lamatrice g´en´eratrice Gassoci´ee au polynˆome g´en´erateur,3V´erifier que le mot de code obtenu paru×Gest le mˆeme que
celui obtenu en question 1. Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
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Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Correction
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Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Correction
Marc ChaumontIntroduction
Codes Cycliques
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Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Plan 1Codes Cycliques
Rappel sur les polynˆomes
D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateur Codage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
2Fin de la partie code lin´eaire en blocs
Conclusion
Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
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Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
D´etection d"erreurs
D´etection d"erreurs
Un motcestun mot de codesi et seulement si sarepr´esentation polynomialeestdivisiblepar lepolynˆome g´en´erateurg(X) (le reste de la division par g(X) doit ˆetre nul). Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
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Codes Cycliques
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Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
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Conclusion
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Exercice
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Exercice
Code Cycliques
Code Cycliques
SoitCl"ensemble des mots de code d"un code [n,k,dmin]. Le code est ditcycliquesi l"ensemble des mots du code eststable pard´ecalage circulaire.Dit autrement Si l"on dispose d"une fonctionσde permutation circulaire telle que σ(c1,c2,...,cn) =cn,c1,c2,...,cn-1, un codeCest cyclique si?c? C,σ(c)?CMarc ChaumontIntroductionCodes Cycliques Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateurCodage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
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Exercice
Les codes cycliques
Quelques codes cycliques ...
Les codes de r´ep´etitions pures [n,k,.] sont cyliques,Les codes par bit de parit´e est cyclique,
Le code de Hamming [7,4,3] est cyclique; et plus g´en´eralement certains codes de Hamming,Certains codes simplexes [2 k-1,k,2k-1] (Les colonnes de la matrice g´en´eratrice sont une ´enum´eration deFk2except´e le vecteur nul)Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
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Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Les codes cycliques
Code cycliques engendr´e par un mot
(l"image d")Uncode cyclique engendr´epar un motm? {0,1}n est compos´e du vecteur nul ainsi que de tous les vecteurs obtenables par d´ecalage circulaire dem.Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
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Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
Exercice :
Quel est le code lin´eaire (en bloc) cyclique engendr´e par 111 ?Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
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Exercice
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Exercice
Correction :
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Exercice
D´etection d"erreurs - Correction d"erreurs
Exercice
G´en´erateur d"un code cyclique
G´en´erateur d"un code cyclique
SoitC(l"image d") uncode cyclique[n, k, .]
Il existe ununique polynˆomeg(X) =a0+a1X+a2X2+...+an-kXn-kavecan-k= 1 tel que :g(X) est un diviseur deXn+ 1,Cest le code cyclique engendr´e parm=a0a1...an-k0...0 (Il y ak-1
z´eros en fin dem),Les motsm=a0a1...an-k0...0;σ(m) = 0a0a1...an-k0...0; ...; σ(m)k-1= 0...0a0a1...an-kforment une base de C. La matrice g´en´eratrice de C est donc donn´ee par : ??a0a1...an-k0 0... ...0
0a0...an-k-1an-k0... ...0
0 0...0a0a1... ...an-k?
??Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateurCodage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
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Exercice
Polynˆome g´en´erateur
Repr´esentation polynomiale
Soitm=a0a1...anun mot de longueurn. On appelle
repr´esentation polynomialedemle polynˆomea0+a1X+...+anXn.Remarque 1: Dor´enavant, on identifiera syst´ematiquement un mot avec sa repr´esentation polynomiale.Polynˆome g´en´erateur
Soit C un codecyclique[n,k,dmin]. On appelle polynˆome g´en´erateur de C le polynˆomeg(X) d´efini par le th´eor`emepr´ec´edement.Remarque 1 : Dor´enavant, on identifiera syst´ematiquement un code cyclique par son polynˆome g´en´erateur.
Marc ChaumontIntroduction
Codes Cycliques
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Exercice
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Exercice
Exemple de polynˆome g´en´erateur
Le polynˆome g´en´erateur du code de r´ep´etition pure [n, 1, .] est1 +X+X2...+Xn-1Le polynˆome g´en´erateur du code par bit de parit´e [n, n-1, .] est
1 +XLespolynˆomes g´en´erateurs du code de Hamming [7, 4, 3] sont
1 +X+X3et 1 +X2+X3.Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
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Exercice
Remarque sur l"occupation m´emoire des diff´erentes cat´egories de codes en blocsLes codesen blocs quelconquesn´ecessitent de d´esigner les 2kmots de codes ainsi que la fonction de codage,Les codesen blocs lin´eaires quelconquessont d´ecrits par leur
matrice g´en´eratrice de dimensionn×k.Les codesen blocs cycliquessont d´ecrits par un polynˆome
compos´e den-kcoefficients.Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques Fin de la partie code lin´eaire en blocsRappel sur les polynˆomes D´efinition - Code Cycliques - Polynˆome g´en´erateurCodage et d´ecodage avec les codes cycliques
Exercice
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Rappel sur les polynˆomes
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Conclusion
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Codage
Codage
SoitCun code cyclique de polynˆome g´en´erateur g(X). Soituun mot de source de repr´esentation polynomialePu(X). Le mot image correspondant (c"est-a-dire le mot de code correpondant) a pour repr´esentation polynomialePu(X)×g(X).Marc ChaumontIntroductionCodes Cycliques
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Conclusion
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Exercice
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Exercice
Exercice
Soit le polynˆome g´en´erateurg(X) = 1 +X+X3.1Donner lemot de codedu mot issu du codage deu= 1101,2Donner lamatrice g´en´eratrice Gassoci´ee au polynˆome g´en´erateur,3V´erifier que le mot de code obtenu paru×Gest le mˆeme que
celui obtenu en question 1.