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Bernard LECLERC (Grenoble)

Titre : Base canonique duale deUq(n)

Soitgune algebre de Lie simple complexe, et soitnune sous-algebre nilpotente maximale. En 1985, Gelfand et Zelevinsky ont introduit la notion debonne based'une representation irreductible V() deg, et ont montre son existence pourgde typeAr. En 1990 Mathieu a prouve l'existence de bonnes

bases en general, mais il manquait une construction explicite. Lesbases canoniquesde Lusztig et lesbases

globalesde Kashiwara fournissent des solutions a cette question.

On expliquera dans ces exposes la construction algebrique de Lusztig de la base canoniqueBde l'algebre

quantiqueUq(n). La base canonique dualeBdonne une bonne base dans chaque representationV(). Lorsquegest de typeA, les elements de degremdeBpeuvent s'interpreter comme les caracteres irreductibles d'une certaine categorie de representations de l'algebre de Hecke aneHmde typeGLm. Le produit deUq(n) correspond a l'inductionHmHn!Hm+n. Ceci est l'une des motivations pour l'etude des proprietes multiplicatives deB, commencee des 1993

par Berenstein et Zelevinsky. On fera le point sur les resultats recents dans ce domaine et sur les nouveaux

problemes qu'ils suscitent.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28