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CORRIGES DES EXERCICES FONCTIONS LOGARITHMES 2 P G 2006/2007 b 1 2ln : 3 ln x g x x − + S La fonction x S lnx est dérivable sur ]0 ; +∞[ donc

Exercice n°2 Compléter le tableau suivant, à partir de certaines valeurs ( arrondies à 0,1) près de la fonction logarithme népérien a 2 3 4 6 9 8 27 72 216

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6°) Tracer la courbe représentative de g dans un repère orthonormé d'unité 1cm EXERCICE 6 : I) Soit f l'application de ] –1 ; 5] dans ℝ définie par :

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FONCTIONS LOGARITHMES 1 P.G. 2006/2007

2222 Simplifier le plus possible :

a. ln12 ln8 ln6ΔΓ 2

12 6ln12 ln8 ln6 ln ln9 ln3 2ln38=ΔΓ× ×× ×

b. ln1 ln2 ln3 lnnΓΓΓΓ! ln1 ln2 ln3 ln ln(1 2 3 ) ln( !)nnnΓ Γ ΓΓ × ====×!!

c. ln25 ln10 ln15ΔΔ

25 1ln25 ln10 ln15 ln ln ln610 15 6ΔΔ× ××Δ=

$$$$ Exprimer en fonction de ln 2 les nombres : a. ln 64 6 ln64 ln 2 6ln2×× b. 1ln16 4

1ln ln16 ln 2 4ln216×Δ ×Δ × Δ

c. ln 2 ln32Δ 5

11 9ln 2 ln32 ln2 ln 2 ln2 5ln2 ln222 2Δ× Δ × Δ×Δ

#### Donner une valeur approchée de chacun des nombres suivants, sachant que : ln 2 ? 0,69 ln 3 ? 1,10 ln 5 ? 1,61 ln 7 ? 1,95 a. ln 24 3 ln24 ln 2 3 3ln2 ln3×=×Γ ln24 3 0,69 1,10?= Γ ln24 3,17? b. 5ln18 2

5ln ln5 ln18 ln5 ln 2 3 ln5 ln2 2ln318×Δ ×Δ =×ΔΔ

5ln 1,61 0,69 2 1,1018?ΔΔ=

5ln 1,2818?Δ

c. 9ln14 2

9ln ln9 ln14 ln 3 ln 2 7 2ln3 ln2 ln714×Δ × Δ =× ΔΔ

9ln 2 1,10 0,69 1,9514?= Δ Δ

9ln 0,4414?Δ

$$$$%%%% Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : a. -+ 2 :5ln3fx xΔ"

La fonction x " lnx est dérivable sur ]0 ; + [ donc la fonction x " 5lnx Δ 3 est dérivable sur

]0 ; + [ (produit et différence de fonctions dérivables sur ]0 ; + [ ). Inutile de chercher dans quel ensemble elle prend ses valeurs car la fonction x " x 2 est dérivable sur f est donc dérivable sur ]0 ; + [ comme composée de fonction dérivables.

5]0; [ '( ) 2 5ln 3

xfxx x ?? Γ × = Δ = formule : 1 nn unuu 10 ]0; [ '( ) 5ln 3xfxx x

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FONCTIONS LOGARITHMES 2 P.G. 2006/2007

12ln:3lnx

gx x

La fonction x " lnx est dérivable sur ]0 ; + [ donc la fonction x " 1 Δ 2lnx est dérivable sur

]0 ; + [ (produit et différence de fonctions dérivables sur ]0 ; + [ ).

De même, la fonction

x " 3 + lnx est dérivable sur ]0 ; + [ (somme de fonctions dérivables sur ]0 ; + [ ) et ne s"annule qu"en e Δ3 3 ln 3 0 ln 3 exxx g est donc dérivable sur ]0 ; + [ Δ {e Δ3 } comme quotient de fonctions dérivables sur cet ensemble. 3 22

2113ln 12ln 23ln 12ln

0; e '( )3ln 3ln

xxxxxxxxgxxx 3 22

162ln 12ln70; e '( )3ln 3ln

xxxxgx xxx c. :ln2hx x xΔ" Recherchez tout d"abord l"ensemble de définition ! h(x) existe si et seulement si :

00001012104202210x

xxxxxxxxxxx

 ???? ΔΔΔR

La fonction

xx" est dérivable sur ]0 ; + [ donc sur

1;4

. La fonction

2xxxΔ" est dérivable sur

1;4

(différence de fonctions dérivables sur

1;4

et prend ses valeurs dans ]0 ; + [ (voir recherche de l"ensemble de définition) or la fonction ln est dérivable sur ]0 ; + [ donc h est dérivable sur

1;4

comme composée de fonctions dérivables.

141214122;'()42222x

x xxxhxxx xx xxxΔ ou, si vous préférez,

14141;'()4221221xxxhxxx x x xΔΔ

$$$$&&&& Déterminer les limites suivantes : a. 2

2ln 1limln 3

x x x 22
22

11ln 222ln 1 1lnln0; 133lnln 31ln 1lnlnx

xx x xxxx lim ln x x

×Γ donc

1lim 0ln

xxΓ

× théorèmes d"opérations ...

2ln 1lim 0ln 3

x x x

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FONCTIONS LOGARITHMES 3 P.G. 2006/2007

b. 20

2ln 1limln 3

x x x On utilise la même écriture ∞→ 2 2

122ln 1 1ln0; 13lnln 31lnx

x xxx x

ΔΔ?? Γ Δ × =ΓΓ et comme

0 limln x x

×Δ donc

1lim 0ln

× théorèmes d"opérations ...

2ln 1lim 0ln 3

x x x c. 2 0 lim 2ln x xx 2 0 lim x x

Δ ×Δ et

0 limln x x

×Δ donc

2 0 lim 2ln x xx $$$$'''' Déterminer les limites suivantes : a. 2 0 ln 1lim x x x 2 ln 1x x

Γ existe si et seulement si

0010xxx

?Γ. Ensemble de définition : 2 0 lim 0 x x

× et

0 ln(1 )lim 1 h h h

Γ× donc

2 2 0 ln 1lim 1 x x x

Γ× (théorème de composition)

or 22
2 ln 1 ln 1*xx xxx x

ΓΓ?? × =≥ donc

2 0 ln 1lim 0 x x x (théorème de multiplication) b. ∞ 3 lim ( 3)ln( 3) x xxx 3 lim ( 3) 0 x x

Γ× et

0 lim ln 0 X XX

× donc

3 lim ( 3)ln( 3) 0 x xx

ΓΓ× (théorème de composition)

3 lim ( 3)ln( 3) 3 x xxx

ΓΓΔ× (théorème d"addition)

c. 2 ln 1lim x x xΓ On a déjà déterminé l"ensemble de définition ≥*. 22222

11ln 1ln ln 1ln 1*x

xxx x x xxx 22

1ln 1ln 12ln0;xx

x x

Par théorème (croissances comparées)

lnlim 0 x x xΓ 2

1lim 0

x x

× donc

1lim 1 1

x x 1 lim ln 0 X X 2

1lim ln 1 0

x x théorème de division : 2 1ln 1 lim 0 x x xΓ 2 ln 1lim 0 x x xΓ

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FONCTIONS LOGARITHMES 4 P.G. 2006/2007

d. 2 0 lim ln x xx 2 lnxx existe si et seulement si 2

00xx?. Ensemble de définition : ≥*.

2 *ln 2lnxxx xx?? ×≥ 2

0; ln 2 lnxxx xx?? Γ × or

0 lim ln 0 x xx

× donc

quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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FONCTIONS LOGARITHMES 1 P.G. 2006/2007

2222 Simplifier le plus possible :

12 6ln12 ln8 ln6 ln ln9 ln3 2ln38=ΔΓ× ×× ×

25 1ln25 ln10 ln15 ln ln ln610 15 6ΔΔ× ××Δ=

1ln ln16 ln 2 4ln216×Δ ×Δ × Δ

11 9ln 2 ln32 ln2 ln 2 ln2 5ln2 ln222 2Δ× Δ × Δ×Δ

5ln ln5 ln18 ln5 ln 2 3 ln5 ln2 2ln318×Δ ×Δ =×ΔΔ

5ln 1,61 0,69 2 1,1018?ΔΔ=

5ln 1,2818?Δ

9ln ln9 ln14 ln 3 ln 2 7 2ln3 ln2 ln714×Δ × Δ =× ΔΔ

9ln 2 1,10 0,69 1,9514?= Δ Δ

9ln 0,4414?Δ

5]0; [ '( ) 2 5ln 3

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FONCTIONS LOGARITHMES 2 P.G. 2006/2007

12ln:3lnx

De même, la fonction

2113ln 12ln 23ln 12ln

0; e '( )3ln 3ln

162ln 12ln70; e '( )3ln 3ln

00001012104202210x

La fonction

1;4

2xxxΔ" est dérivable sur

1;4

1;4

1;4

141214122;'()42222x

14141;'()4221221xxxhxxx x x xΔΔ

2ln 1limln 3

11ln 222ln 1 1lnln0; 133lnln 31ln 1lnlnx

×Γ donc

1lim 0ln

× théorèmes d"opérations ...

2ln 1lim 0ln 3

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FONCTIONS LOGARITHMES 3 P.G. 2006/2007

2ln 1limln 3

122ln 1 1ln0; 13lnln 31lnx

ΔΔ?? Γ Δ × =ΓΓ et comme

×Δ donc

1lim 0ln

× théorèmes d"opérations ...

2ln 1lim 0ln 3

Δ ×Δ et

×Δ donc

Γ existe si et seulement si

0010xxx

× et

Γ× donc

Γ× (théorème de composition)

ΓΓ?? × =≥ donc

Γ× et

× donc

ΓΓ× (théorème de composition)

ΓΓΔ× (théorème d"addition)

11ln 1ln ln 1ln 1*x

1ln 1ln 12ln0;xx

Par théorème (croissances comparées)

1lim 0

× donc

1lim 1 1

1lim ln 1 0

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00xx?. Ensemble de définition : ≥*.

0; ln 2 lnxxx xx?? Γ × or

× donc